A TIQUE

uns avec It's autres, pour efTerliier ce que l'on appelle les opérations arilhniétiqiies.

Ces opérations, romnie on sait, du moins les opérations élénientaireH, dont toutes les autres découlent, sont au noiubre <le quatre.

\Saililitioii des nombres entiers est encore une de ces idées fournies par l'observation du monde extérieur, et qui sont plus simples en elles-mêmes qiii^ ton les les définitions qu'on tenterait d'en donner. Ajouter, réunir, mettre ensemble des collections d'ohjets, cela représente à notre esprit quelque chose de très compréhensible ; et il en résulte aussi celle propriété essentielle de l'addition, que l'ordre dans lequel ont été ajoutés les nombres que l'on veut ajouter n'inllue en aucune manière sur le résultat, c'est-à-dire sur \a. somme. La soustraction se déllnit imuu-diatenient comme opération inverse de l'addition. Si en ajoutant A et B. j'ai trouvé G pour somme, je <lis qu'en soustrayant B de C, je trouverai A pour différence. Il s'ensuil immédiatement qu'en soustrayant A de C, je trouverais B pour différence.

La inuUiplicQtion des nombres entiers, sous la forme la plus simple, se définit par l'adtlitton. Multiplier uo nombre (mtdtîplicande) par 7 (multiplicateur), t'est former une somme de 7 nombres tous égaux au mtdtipl^ cande. Il importe de remarquer dès l'abord que le niul^ tiplicateur est forcément un nombre abstrait. Si la notion de rapport a été introduite, comme nous l'avons proposé im peu ]»lus haut, il en résulte auKsi que la multiplication ])eut élre définie de cette autre manière: formation d'un nombre (jjroduit) qui ait avec le muitt* plicande le même rapport que celui Au miilliplicirteur avec l'unité. En d'autres tenues, le nombre aïS mesurerait le produit, si le multiplicande était pris pt^l^,' unité, n'est autre que le multiplicateur. On arrive aii^ *'»ii coup à une définition tout à fait générale, et enti^- •nt satisfaisante au point de vue philosoplii<iuâV'

^^^^^ L'.ItllT/IMETIQLE ET LARtlIlMOLOGIE

Il 8iiU (le là {|iie le produit sera un nombre concrel ou alïstrait, suivant que le multiplicande sera lui-mém4 concret ou abstrait.

On démontre que l'ordre des facteurs, dans la muli plication des nombres entiers, est sans inHuence si le produit. Le produit de A par B, ou de B |iar A, étant C, on définira la division eu disant que A est li résultat ou quotient obtenu lorsqu'on divise C par Bj ou B le résultat obtenu lorsqu'on divise C par A

L'Arithmétique nous enseigne les moyens d'ertectuel les opérations dont nous venons de parier. En même temps, elle envisage les propriétés que présentent ces opérations, étend quelques-unes d'entre elles, comme la multiplication, qui s'applique à des produits d'autant de nombres (ou fadeurs) qu'on voudra. En outre, elle] établit que la division n'est pas toujours possible montre comment elle pciit le devenir au prix d'une modification légère dans la délînition.

Diviaibilité. — L'examen des conditions de possibilité de la division engendre la théorie de la divisibilité, l'un des chapitres intéressants de l'arithmétique, mais que celle-ci ne peut étudier que dans ses parties les |>lus élémentaires. C'est de là, en elFel, que la théori», des nombres premiers tire son origine, et cette théorie est a la fois l'une des branches les plus dilficîles et les moins complètement connues de la Mathématique.

Quand le produit de A par B est égal à C, il s'ensuit que la division de C par A, ou par B, peut se faire exactement. On dit alors que C admet A et B comme diviseiU'S, ou que C est divisible, soit par A, soit par B. Tout nombre C est évidemment divisible par lui-ménic, le qui donne i comme quotient, et aussi par l'unité, ce ([ui donne C pour quotient. Si un nombre n'admet pas d'autres diviseurs que ceux-là, comme 7 par exemple, l'est un nombre premier. Dans le cas contraire, il est composé. L'étude de la réparlilic:

3j i-.i M.iT/tt:.VAriQi t:

micrs, à mesure que l'on s'avance dans l'échelle indéfinie des nombres entiers, est d'une (Itllioutté eUVoyaWe, et r'est à puîné si ellu a été abordée. L'v\i'ithmL>tt<]a( élémentaire peut donc i\ peine J'clïleiii'or. Mais elle établit aisément que tout nombre composé est un produit de fadeurs picuiiciK; elle montre (-oiiinienl on l'orme ce produit, (]iii ne peut être obtenu pourchaquo nombre que par les mfimes facteurs ; enfin, elle fournil des règles sûres pour trouver tons les diviseurs d'un nombre, les diviseurs communs à deux ou plusieurs nombres différents, et en particnlier le plus grand de ces diviseurs communs, qui joue un rôle important dans cette partie de la science du calcul.

On rencontre, en s'engageant dans celle voie, un certain nombre de propositions dont l'utilité est manifeste au point de vue de la pratique des opêralions, el dont rintérôl théorique est peut-être encore plus grand.

Les fractions. — Jusqu'ici, nous n'avons opéré que sur des nombres entiers; mais, suivant la nature des grandeurs concrètes soumises au calcul, il peut fort^ bien arriver que le calcul des mesures, limité à ce domaine, se trouve insuffisant. De cette nécessité nou» velle découle le calcul des fractions. Si l'unité concrète, par sa nature, est subdivisible en parties égales, chacune de ces parties, prise isolément, pourra être considérée comme une unité nouvelle. Une notatios spéciale, et bien connue, permet de représenter une fraction; -^ par exemple, représente deux fois une quantité obtenue en divisant l'unité en trois parties égales; -r- d'une pomme, -s- d'un mètre ont une signt^ fication nette et précise; mais -^ d'un homme expvîl» nierait une absurdité; on voit que la nature concr^ de l'unité joue ici un rôle important, ce qui n'empêche en rien, du reste, de considérer en soi le nombre abstrait -r-. Seulement, lorsque dans une question

L'ARITHMETIQUE ET LARITHMOLOGIE 35

arilhDiétiqtie, il s'attira d'effecluer le roloiir de l'ahs- Irait ail coiicfct, cela nous oI)ligera à Liiie |)récaiitioii ajxioiale.

L'Arithmétique, abordant l'étude des fractions, éteud ■A ces nombres toutes les opérations élémentaires, et l'est tout un chamji nouveau sur lequel la science du calcul vient de la sorte exercer son action.

Dans ces dernières années, il y a eu certaines tentatives faites en faveur d'une théorie nouvelle des fractions que nous voulons seulement indiquer en quelques mots, et qui nous parait donner prise, au point de vue philosophique, aux critiques les plus justifiées. Dans cette doctrine, on prétend se passer de la divîsibilitié de l'unité; -r- est, par définition, un symbole se composant des deux nombres entiers a et 3 séparés par un trait. Sur ces symboles, au moyen de conventions préalablement faites, on établit des propositions, puis des règles de calcul, qui sont d'ailleurs en complète concordance, bien entendu, avec les procédés de l'Arithmétique ordinaire,

Quel que soit le talent des propagateurs de semblables théories, il est nécessaire de réagir énergiquenient contre l'état d'esprit qu'elles nous révèlent. En continuant dans une pareille voie, on marcherait dans un sens radicalement contraire à celui du progrès. Cette préoccupation du symbolisme à outrance, qui se re- Irouve dans certaines manifestations littéraires ou philosophiques, et non pas seulement dans le dojnaine Biatilématique, répond en réalité à une sorte de sentiioent de mépris pour les vérités que nous apporte la conoaissance raisonnée du monde extérieur. Par une aberration pour ainsi dire incompréhensible, on en arrive à se figurer la science mathématique comme d'autant plus parfaite qu'elle emprunte moins à la connaissance extérieure des faits. On la regarderait volontiers comme idéale, si elle se passait totalement de cette

J6 /. f M.iniLM.iriQL'K

.Lonnaissaiice, cl se Ijornaîl à raisonner sur des abstmtlions. On oublie que l'abntrarlion elle-même suppose la notion préalulile des rlioses, on oliscureit les propositions simples, on rend dillicilc co qui est aist, on jettp le scepticisme dans les esprits en accumulant ainsi comme à plaisir les obstacles artificiels, on fontrcdît enfin la nature elle-mênie.

Ceci n'est pas une discussion ; la place nous manque rail pour nous y livrer avec les développements nécessaires. Nous avons simplement voulu établir, à l'occasion de cette queslioti des tractions arithmétiques, une protestation contre des théories dites modernes, et beaucoup moins modernes qu'elles n'en ont l'air, car l'esprit sophiste qui les inspire est aussi vieux que le monde; et leur triomphe, ai malheureusement il se produisait, sei'ait niaj'quc par une période inévitable de décadence.

- I, 'infini en Arithmétique. — La notion mathémjitique de l'infini s'est indirectement présentée à nous dè8 les débuts de l'Arithniélique. Rn formant successive-

-ment les nombres entiers, il tombe sous le sens que lï suite qu'ils forment ne s'arrête jamais, puisqu'à chacoK d'eux, si grand qu'il soit, on peut ajouter une unïtË pour former un autre nombre plus grand encore. GettCf notion revient encore à propos des nombres premiers^ puisqu'on démontre, très aisément d'ailleurs, que Itr

.suite qu'ils forment est illimitée.

Mais c'est surtout dans l'étude des fractions que l'idée .de l'infini se présente sous une forme qui nous oblige Si l'introduire dans le calcul lui-même. Je veux parler de la conversion des fractions ordinaires en décimales, laquelle donne naissance aux fractions décimales périodiques, qu'en réalité nous ne pouvons écrire, puîS^ .qu'elles se composent d'un nombre illimité de chiffres ilécimaux, mais que nous indiquons cependant d'une manière précise, parce que les chifl'res finissent

t a une i t pars* J

L'AIIITIIMÉTIQL-E ET L'ARITII M OLOGI E I7 \

siiccédof d'iinu façon régulière, les mêmes chiff'reg ' revenaot dans le môme ordre. Dans une étude un peu complète de l'Arithmétique, cette théorie des Tractions J périodiques mérite de tenir une place considérable, ea I raison des vues qu'elle permet de prendre sur ime I Ibule de questions qui s'y rattachent. 1

Ce sont aussi les fractions qui nous amènent ponr la première fois à l'idée de l'infiniment petit. Si Ton considère la fraction^, et si A est un nombre entier très grand, la fraction elle-même sera 1res petite, d'autant plus petite que A sera plus grand. Si A, par la pensée, représente un nombre qui prend successivement les valeurs de tous les nombres entiers successifs, nous établissons que la fraction -r- diminuera sans cesse, et qu'elle finira par prendre une valeur aussi petite que nous le voudrons, pourvu que nous donnions à A une valeur entière sullisamment grande. C'est ce qu'on exprime mathématiquement en disant que -x"^st une quantité variable qui a pour llniUe zéro, ou encore (|ue -j- est un infiiiinient petit.

Ces idées s'introduisent fatalement en Arithmétique; peut-être serait-il sage d'introduire en même temps les locutions et les notations nécessaires pour exprimer les idées, au lieu de renvoyer ces notions simples à beaucoup plus tard.

Les incomjnensur&bleB. — Encore un sujel sur lequel ont été versés des (lots d'encre, qui a donné lieu à d'interminables discussions, et qui est, par nature, absolument inextricable ou d'une extrême simplicité philosophique, suivant l'ordre d'idées qu'on adopte.

Persévérant dans la doctrine que nous suivons systématiquement, nous n'avons qu'à considérer les grandeurs «oncrètes naturelles, pour nous convaincre quç entre elles présentent un caractère de con-

38 LA MATIIK.MATIQVE

linuUé. Nous ne pouvons pas imaginer, par expmple, (m'iinf longiietii' d'un mètre soit parcourue par un poîiil d'un bout à l'aiilre, sans que le nombre qui mesurera la longueur comprise entre l'origine i;t le point en ifucslion passe par toutes les valeurs comprises entre zéro et un. Or, parmi ces valeurs, en nombre infini, il en est que nous ne pouvons exprimer par une fraction {ni, bien entendu, à plus forte raison, par un nombre entier). Ce sont là les nombres incommensurable», dont nous avon.s l'idée concrète très n('tte,etque cependant nous ne pouvons représenter par les symboles abstraits créés jusqu'ici. Nous définirons cependant, d'une manière très précise, un nombre incommensurable A par une suite de fractions «,, a,,... a,i,en nombre indéfini, et qui croissent sans cesse, et par une seconde suite de fractions 6,, i,,,..6„, qui décroissent sans cesse, s'il est bien établi : i" que A est toujours supérieur à toute fraction a; 2° qu'il est toujours inférieur à toute fraction 6; 3° qu'en prenant n suffisamment grand, la différence entre bn et o„ peut devenir aussi petite qu'on le voudra, c'est-à-dire inférieure à tout nombre assigné. Le symbole A prendra alors une signification précise ; ce sera la limite, soit des fractioitB. a, soit des fractions b. Nous aurons ainsi précisé par un signe et par une locution le nombre qui peut servir de mesure à la quantité concrète répondant à A.

En Arillnnélique, c'est par le calcul des racines que s'introduisent pour la première fois les incommensurables, Un produit de plusieurs facteurs égaux entre eux est ce qu'on appelle une puissance. Par exemple aaaaa, quis'écrilavantageusement*?', es\.\^ cinquiènie piUss(fnce de a. Si nous appelons N cette cinquième puissance, et que, voulant faire l'opération inverse, nous cherchions, connaissant N, à trouver a, nous dirons que a est la racine cinquième de N. Si nous donnions N = 32, il serait aisé de reconnaître q L'Arithmétique, pour les racines a" et 3'' tout,

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^H VARITIIMKTIQUE ET VARITII iiOLOGt E 3j 1

moins, qu'on appelle racines carrées et cubiques, | donne les moyens de Faire celte opération. Mais il s'enl faut qu'elle soit toujours possible. Ainsi, que l'on se I propose d'extraire la racine carrée de a: nous saurons! trouver des fractions qui, élevées au carré, donneront m toujours des résultats de plus en plus grands, mais I constamment inférieurs à a : nous aurons aussi d'autres I fractions, dont les carrés seront de plus en plus petits, I mais toujours supérieurs à 2 ; enfin, l'une des premières M fractions différera aussi peu que nous le voudrons de'fl la fcaction correspondante de la deuxième suite, pourvu! qu'on la prenne assez éloignée. Dès lors, nous ne poLi*A vons écrire le nombre qui représente la racine carrée^ de a, ni sous forme entière, ni sous forme fractionnaire ; I mais ce nombre est parfaitement défini, à l'exclusion 1 de tout autre, etil l'est tellement que ia Géométrie nous I permet de construire très simplement une longueur J mesurée par ce nombre ; le signe y'a sera donc l'ex- 1 (iression très nette du nombre que nous avons voulu 1 représenter. 1

En essayant de trouver des difficultés qui n'existent ' pas (alors que tant de difficultés sérieuses seraient plus dignes des ellbrts de l'esprit humain) et en voulant J toujours se placer dans le domaine de l'abstraction et I de l'absolu, certains savants en sont arrivés à se deman- J der si le nombre /a existe ! M

Autant se demander si 2 existe ; je sais bien ce que 1 c'est que 2 arbres, 2 ânes ou 2 kilomètres ; mais 1 tout 1 seul, comme nombre abstrait, n'existe qu'à l'état de J création du cerveau et de signe représentatif. De 1 même ^/2 a une existence pareille ; c'est un signe. 1 visible, qui représente une notion nettement définie; J c'est la traduction précise d'une quantité concrète, 1 si je l'applique au mètre pour unité, puisque je 1 sais construire la longueur \/3. La seule différence, 1 c'est que je ne pourrai appliquer le symbole d'un | ^uunbre incommensurable qu'à des grandeurs continues I

(jo i.l M.irnL'M.irlQLE

par essence, aussi bien «jiie j« uc peux appliquer le syiiibotc (l'une fraction qu'à des qiianlilès divisibles.

Sur CCS bases t-onronaes à la raison, au bon Hens et l'i l'observation des faits, le calcul des nombres incummciisurables peut s'établir en toute rigueur en Aritlimétique.

On peut utilement y rattadicr le chapitre des appruximations et des erreurs, du moins dans les parties les plus clénientaires. C'est d'autant plus utile que, dans l'appliralion, un judicieux emploi de la Malhémaliqui' exige une intervention ;i peu près constanlc de cette ibéorie.

Proportions. — Nous iivnns dil les avantagea que présenterait l'introduction de la nolimi de rapport dès le début (le l'Aritbniétique. L'étude des égalités entreles rapports t'ait l'objet de la théorie des proportions, <|ui conduit à la solution d'un grand nombre de (piestions l)ratiques, par l'application des procédés appelés, assez improprement du reste, régies de trois.

Cette partie de l'Arithmétique, en dehors des applications utiles, présente un grand intérêt, en ce qu'elle permet, sous une forme exceptionnellement simple, d au moyen d'exemples tangibles empruntés aux f&ÎW d'ouvrir pour la première fois l'esprit à la conceptioff des quantités variables et à l'idée de fonction, sitr laquelle nous reviendrons plus tard. Sans empîél sur uu domaine qui n'est pas le sien, et en poursuivasl seulement le problème des évaluations, l'Arithmétiai embrasse donc avec raison l'étude des grandeurs p| portionnelles et fournit de précieux procédés de caT à ce sujet.

Système des mesures. — Kn Fi-auce surtout, l'Arithi tique, réduit(ï iiiéiuo a sa pai'tic la plus élémentaî consacre un important chapitre à l'exposé du systâQJ les mesures on du système métrique. Il n'y a îcl i éorie ni règles de calcul s|)éciales à propreu