I.AItirilMETIQLE ET LAHITHMOLUGIE

pavlcM'. Mais les explications nécessaires pour faire I elaiieiiiciit comprendre l'ensemble dti ces unités, devant | s'appliquer à toutes les grandeurs usuelles, n'en sont J pas moins d'une hante ntilité. Elles se rattachent] d'ailleurs sur bien des points à des notions géométriques ou mécaniques, qui, pour être présentées d'une façon rapide et sommaire, sont cependant très utiles en 1 vue d'une étude ultérieure plus complète. II faudrait ] donc se garder de voir dans l'étude du système [ métrique une simple nomenclature séclie, dans laquelle -I ou ne ferait appel qu'à la mémoire. Ce serait e naître l'esprit et la portée.

Calculs arithmétiques d'ordre supérieur. — Les ordres d'idées que nous avons signalés jusqu'ici repré-"] sentent à peu près tout ce qui constitue la partie élémentaire de l'Arithmétique. Rationnellement, on doit 1 aussi faire rentrer dans son domaine, d'après la donnée I générale d'Auguste Comte, des opérations qui prennent J ordinairement place dans d'autres branches de 1% j science. C'est ainsi que le calcul numérique des séries, la théorie des logarithmes, et même la résolution numérique des équations, pour ne citer que peu | d'exemples, relèvent de l'Arithmétique à proprement 1 parler. Seulement, il faut remarquer d'abord que les / calculs de cette nature, même les plus compliqués, dérivent au fond de simples combinaisons des opérations élémentaires. D'un autre côté, l'Arithmétique, dans | les questions dont il s'agit, ne peut guère interve utilement qu'après une préparation préalable, une étude i des relations et des propriétés, qui est faite par les s de l'Algèbre. Aussi n'y a-t-il pas un sérieux inco nient, même au point de vue de la pure docirin borner le domaine de l'Arithmétique proprement dite i aux limites indiquées, et qui suffisent déjà à lui assurer I une place bien importante dans l'ensemble delà Mathé— 1 matique.

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Aritbmologie. — A l'Arilliiiu''li()tie,f()iiirncnonsl'aTiTns indiqué ih-jà d'un mol, iloil «Mrc rattachée une partie iW la siiLMirc i-oiii|ii-(!iiant rétiule <!cs jiropriétés qui appartiennent aux noiuLi-es, et qu'on a caraotépiaôe dans les temps modernes du nom A'Arit/iiiiologie.

Cette partie de la scieni-e, si peu avaneée, exerce une attracliou exli'éme siirceux qui s'y adonnent ; etle a été cultivée par les plus illustres mathématiciens; c'est à elle que Gauss doit une bonne partie de sa gloire, et Fermât y a consacré les plus grands efforts. L'intérêt de l'Arithmologie, ou Théorie des nombres, l'attrait particulier qu'elle inspire, tiennent en grande partie au caractère mystérieux, en quelque sorte, des propositions qu'elle comporte, et à la disproportion singulière entre la simplicité des énoncés et la dilliculté ou nierai? l'iuiposaibilité d'établir les démonstration!

Nous avons indiqué plus haut le problème de la répartition des nombres premiers. Voici quelques autres exemples de questions arithmologiques restées jusqu'ici insolubles malgré d'innombrables efforts.

« La somme des puissances semblables de deux nombres entiers ne peut pas donner une puissance exacte de même degré, à moins que les puissatices ne soient simplement des cariés » (Théorème de Fermai),

Autrement dit, l'égalité .C -|- j/"= 3" est impossiblB< avec des valeurs entières de ,r, y, z, si n est différei^ de 2.

« Tout nombre pair est la somme de deux nombi premiers. )i (Théorème de Goldbach).

« Peut-on trouver deux nombres entiers cousécuti autres que 8 et g, qui soient des puissances exactes nombres entiers n (Théorème de Catalan)

L'extrême difficulté de ces questions et de beaucoup d'autres, en Arithmologie, tient à l'absence de méthode^f 11 ne faudrait pas croire cependant que tant d'effort des plus grandes gloires mathématiques soient rostéV totalement inTruclucux. On a pu, tout d'abord, étendre

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niTIIMÊTIQVE ET LAfllTIlMOLOGIE

rertaîues théories de l'Arithuiêlique élémentaire, résoudre un grand nombre de propositions particulières, rattacher quelques questions arithmétiques aux plus I hautes spéculations du calcul inGnitésimal, faire progresser jusqu'à un certain point la théorie des équations indéterminées, apporter à TAlgèbre un secours inat- i tendu et parfois en faire autant pour la Géométrie, j comme il est arrivé pour la résohttion des équations J binômes et pour l'inscription, dans le cercle, des ( polygones réguliers.

La considération de certaines suites arithmétiques, parmi lesquelles les progressions, soit par différence, soit par quotient, a souvent aussi fourni de précieux ' résultats. En dehors des progressions, nous donnerons ' ici comme miique exemple la série qu'on appelle souvent série de Lamé, et qui appartient en réalité à Fibo- (Léonard de Pise) :

Elle se forme en ajoutant toujours deux termes consécutifs pour obtenir le suivant, et elle jouît de pro- i priétés nombreuses, qui sont utilisables dans une foule de questions.

La formation des puissances d'un binôme, le triangle arithmétique de Pascal, le carré arithmétique de Fermât, doivent prendre place également dans l'Arithmologie.et pourront même être introduits avec avantage dans tes éléments de l'Arithmétique, bien qu'on classe en général dans l'Algèbre toutes ces questions.

Un très grand nombre de questions concernant Vanalyse combinatoire, c'est-à-dire l'étude des groupements des choses, en tenant compte de l'ordre et de la nature, appartiennent encore au domaine de l'Arithmologie, lien est de môme de ce qui concerne les nombres polygonaux et les nombres figurés, dérivant des séries arithmétiques. C'est également à l'Arithmologie que se rattachent, au moins par certains côtés, les problèmes (

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géomélrie desiiaaiioH,&% aU»ch»ntselfUiuventmâi\ parmi lesquels nous pouvons i-iu-r on |>as&nnt I«s magit/ues l-I Ii-s figures iuagM[ucs eu gêni-ra).

Nous avons dit que l'une des grande» dîllicullés de l'Arithmologic ri-sidc dans Taltsence des mvtliodes qui s'oirrent en général dans les autres branches de la Mathématique. Il iiuporli* done d'autant plus de s'attacher au petit nombre de relies qui ont été créées par quelques esprits supérieurs, et nous ne saurions, dans cet ordre d'idées, passer sous silence la définition de» congrtiences, qui est due à Gatiss et qui offre de précieuses ressources. Lorsque deux nombres, a et b, divisés par un même nombre p, doiuieiil le mému reste, on dit qu'ils sont congrus par rapport au module p. Cette relalioii s'appelle une congruencc, et s'écrit :

Par exemple, alS et g sont congrus par rapport à 7 ; il en est de même de a3 et de a; par rapport au même module 7, le nombre ai est congru à o, etc. Les opérations qu'on peut l'aire sur les congruences sont souvent d'un secours puissant en Arilhmoiogie.

ÏVous ne voulons pas quitter ce sujet sans citer un savant qui a ]>oussé très loin l'étude de l'Arithmétîqitt supérieure, el qui l'ut nialheureuseuient enlevé à U science d'une l'açon prématurée, dans toute la force de son talent, et avant d'avoir produit tout ce qu'on était en droit d'en attendre. Dans le premier (cl unique) volume de sa Théorie des nombres, paru en 1891, l'année: même de sa mort, Edouard Lucas, car c'est de lui que nous parlons, jette au cours de sa Prél'acc quelques aperçus si justes et si intéressants sur la science dejj nombres, que nous n'hésitons pas à lui emprunter ait» courte citation, ]»ar laquelle nous terminerons ce cha-

" (Connue toutes les sciences, l'Arithmétique résulte lie riihsfivalioii ; elle progresse par l'élude des phéno-