CHAPITRE III

L'Algèbre.

Les fonctions. — D*après la conception très juste cU Auguste Comte, l'Algèbre a pour objet le calcul des fonctions, par opposition avec l'Arithmétique, qui se propose le calcul des valeurs. Il est donc nécessaire, avant tout, de présenter maintenant cette notion de fonction^ si fondamentale dans toute la doctrine mathématique. Hâtons-nous de dire que cet aperçu rapide ne saurait suffire à caractériser entièrement l'Algèbre» et que nous devrons ensuite revenir quelque peu sur nos pas, pour essayer de délimiter un peu nettement, sinon d'une manière absolue, chose impossible, le domaine de l'Algèbre.

Cherchons en premier lieu, pour ne pas abandonner la méthode constamment suivie par nous, à nous rendre compte des faits que nous présente le monde extérieur. Deux circonstances générales frappent notre esprit: c'est que tout ce que nous voyons est l'objet de continuelles transformations, et, d'autre part, que ces changements sont liés les uns aux autres. L'idée de variabilité, l'idée de loi s'introduisent ainsi spontanément dans notre esprit, sous la forme suivante : les choses changent, et les changements ont pour causes immédiates d'autres changements. Ceci est vrai dans tous les ordres de faits : qu'il s'agisse du monde plkysique

L'ALGÈBRE 4y

et malériel, des phénomènes moraux, de ce qui relève de rimagination pure, les exemples se présentent en i'oiile à la pensée.

Mais, pour l'objet que nous avons en vue, il importe B de descendre immédiatement de cette extrême généralité, en nous contentant d'appliquer cette observa- , lion aux choses mesurables, c'est-à-dire aux grandeurs, qui seules relèvent de la Matliématîque. Un exemple , va nous permettre de préciser davantage. Parmi les — grandeurs naturelles, la variable par excellence, dont J nous avons la notion instinctive avant de savoir même la mesurer, c'est le temps. Supposons que nous pre- . nions une pierre, et que nous l'abandonnions à ellemême, au-dessus du sol ; elle va se mettre en mouvement, et dans toute la période qui s'écoule jusqu'à ce qu'elle touche le sol, elle parcourt un chemin tel que sa position à chaque instant est nettement déterminée. Si nous imaginons, a cet instant, qu'on ait mesuré la longueur du chemin parcouru depuis que nous avons lâché la pierre, et aussi le temps qui s'est écoulé depuis cet abandon, nous avons le sentiment très net que cette longueur, variable, est liée au temps écoulé, également variable ; l'une dépend de l'autre ; la longueur, dans eet exemple, sera d'autant plus grande que le temps écoulé sera plus grand, et l'on comprend que, connaissant le temps écoulé, il sera possible de trouver ! la longueur du chemin parcouru. C'est ce qu'on tra- i duira, en langage mathématique, en disant que la m longueur du chemin parcouru est une fonction du temps M employé h la parcourir. Il en serait de même si nous ' J considérions le chemin parcouru par un train de , , chemin de l'er se rendant d'une ville à une autre ; mais ■ ,, la l'onction, dans ce dernier cas, ne serait plus du tout la ., même que dans le premier.

Toutes les l'ois que les choses variables, comme dans , ces exemples, sont des grandeurs mesurables, toutes les fois que l'on peut, en outre, exprimer d'une façon J

prt^rise la relation ipii <luil exister entre las nomma <|ui i'orr(;s|)oiidfnl à ct-s grandeurs, la fonction ronsidûrév est du iIoni»inc iitalh(''ntati<|ue. Dans la n'ralit^ des ihits, les Ibiirtions niathriaatiques ne so présentent [las dans la nature, à eause de lu complexité iû- .finie des phénomènes. On comprend en edet qu'iinr variable ]mi3se dépendre des variations de phisicu» autres variables, et non pas d'une seule; en fait, ii eti est toujours ainsi, et le nombre des variables qui interviennent dans un fait )diysi(|ue (|uelcnn«{ue dépasse même l'imagiitation; cela ne diminue d'ailleiin en riea, conmie nous le verrons, l'importance et l'iUiliti' des fonctions mathématiques.

Reprenons notre exemple de la chute d"iine pienr. Cette chute, que nous avons considérée d'une laçou générale et un peu superficielle, ne s'opère pas aussi simplement que nous avons pu le croire tout d'abord: la pierre tombe dans l'air ; de là une résistance qui altère le mouvement ; si cet air est lui-ménifi agil*< deuxième cause de perturbation; en tout cas, la résistance dépendra aussi de la l'orme de la pierre, de s» constitution physique, peut-être de sa composition dff mique.-Et puis, cette pierre n'est pas un point : peutêtre tournera-t-elle tout en tombant ; que voudra dire alors la longueur du chemin parcouru? Mais supposons qu'il s'agisse d'un objet assez jietit pour (jue nous négligions tous ces détails, d'une petite boidc de plomli par exemple, et que nous fassions tomber lette bouW dans un endroit complètement dépourvu d'air, si difiSit cile, si impossible même, que cela soit en réalité. Noul n'en avons pas encore fini. Nous remarquons en el que les longueurs parcourues, pour un temps donné, dépendront de la hauteur à laquelle on se Iiouvt; placé, Suivant qu'on fera l'expérience au bord de la mer oi bien au sonunet du mont Blanc, le résultat ne sera pai le même ; il ne sera pas le môme non plus, si l'on &< trouve près de l'équateur, ou bien dans une région voi

^V L'ALGEBRE 49 I

sine du pôle. Ainsi, la hauteur de chute est fonction, non pas seulement du temps de chute, mais encore de l'altitude et de la latitude. Et encore n'avons-nous pas l'ait entrer en ligne de compte le mouvement de rotation de la terre, ni sa circulation autour du soleil, qui compliqiient singulièrement lo phénomène.

Nous voyons, par cet exemple, combien le fait naturel le plus ordinaire présente de complexité, si l'on veul . l'analyser rigoureusement, et combien une grandeur ' variable dépend d'autres grandeurs variables en nombre considérable. Cependant, on obtient une approximation t|ui peut différer très peu de la vérité, en négligeant plus ou moins de ces causes accessoires, pourvu qu'on lasse avec discernement cette abstraction, analogue à l'opération fXii même nom que nous avons considérée au début du chapitre précédent. Cette abstraction opérée, dans rc\emple dont il s'agit, nous pourrons dire que le chemin parcouru par un corps pesant qui tombe dans le vide est une fonction du temps depuis lequel il tombe. L'expérience nous apprend qu'au bout de une, deux, trois secondes, et ainsi de suite, les Ion- ■ gueurs parcourues seront entre elles comme les ■ nombres i, 4i 9» etc. C'est ce qu'on traduit par cette loi physique: les espaces parcourus par un corps pesant gui tombe dans le vide sont proportionnels aux carrés des temps employés à les parcourir ; mathématiquement,

ion dira que l'espace est mesuré par un nombre exprimé par kP ; c'est un exemple d'une fonction mathématique, k étant un nombre constant, t le nombre qui exprime le temps de chute, (" le carré de ce nombre, et Ai* le produit de k par ;^

Si nous avons un peu insisté sur cet exemple très •-impie, c'est pour faire comprendre clairement comment la nature nous oH're le spectacle de variables dépendantes ou fonctions, lesquelles dépendent ellesiiiémes d'autres variables, dites indépendantes; et comt possible, dans certains ras, d'exprimé

.1 rjQVE

(li'|n?iiiJuiice par des oiir rations il« calcul. [>uiirvtl qii« les variables soient ilu doiiiairiL' Avs grandf^urs niemirnhles, et pourvu ((iriuu' abstrarlîon préalable nmts ait piTiiiis df reniplarei' lo phi'-iioiiii*ne rom[iliqtié par autre plus sinipli!, dans Icfjnel nous saurons indiquer . quelles sont les opérations h faire sur les vai-iabifs [m sur ta variable) pour obtenir la tbnctinn.

l'ne fois (|u'on un ost In, lir problème est. on le vnîl. d'un ordre tout dill'érent de co qu'il <^tait d'abord ri appartient exclusivement à la Mathématique. Eo représentant toutes iiis quantités (ou plutôt les notiibres les mesurent) par des lettres, on pourra, au mnyen de signes convenables, exprimer les opérations qu'ii faut ell'ectuer sur les nombres représentant les variable» indépendantes pour olitenir celui qui représente 11 l'onction.

Langage algébrique. — - L'ensemble des signes en (jueslinri constitue ce qu'on pourrait appeler ValphabrX lie l'Algèlire. Celle-ci nous apprend à combiner ces signes, à les associer, a les transformer, et à obteaif) par les tableaux d'opérations à effectuer, ce qu'i appelle les formules algébriques. La science qui nous occupe prend ainsi le caractère d'une langue écrît»; langue merveilleuse dans sa rigueur et sa eoncieioa elle évite les longues circonlocutions, n'cmprunle se règles qu'au raisonnement et à la pure logique, el partant d'un point de départ exln'iniement simple, pef met (le pousser jusqu'à des limites indéfinies les dé"?* loppeuients qu'on en peut déduire.

On croit fréquemment, faute d'unç éducation matU niatique suffisante, que la distinction entre l'ÂrithRi^ tique et l'Algèbre tient à ce que la première emploie cbîQ'res et la seconde des lettres pour représenter \t nombres. C'est une erreur capitale ; l'Arithmétique sot vent se sert des lettres avec avantage ; l'Algèbre, et c'eï Lia distingue, ne poursuit que l'indicatii

L'ALGkBnE Si

opérations à l'aire, en nous iburnîssanl ses forinides; une fois les formules obtenues, qu'on emploie chiffres ou lettres, si l'on chercho à déterminer des valeurs, le problème appartient à l'Arithmétique.

Dans le développement de ce langage algébrique, on aura tout d'abord à faire usage des signe» qui correspondent aux quatre opérations élémentaires de l'Arîthinètique ; mais on serait vile arrêté s'il fallait s'en tenir là ; aussi la science algébrique s'est-elle enrichie de signes nouveaux, dont le nombre s'accroit chaque jour, et qui présentent l'avantage d'exprimer sous forme concise une succession d'opérations qui seraient sans cela d'une explication longue et dillicile. Cette introduction des signes nouveaux est une question de mesure. Si l'on en introduit un trop grand nombre, on surcharge la mémoire et l'on tombe dans les inconvénients de Talphabet chinois; si l'on refusait systématiquement lout signe nouveau proposé, on se priverait des plus précieux avantages, II en est un peu de cette question comme de l'introduction des mots dans une langue ordinaire: il Gnit par se former une tradition et des usages qui ont force de lois.

Ce qu'il y a d'important à retenir ici, c'est ce caractère général de l'AIgéhre, et les conséquences considérahles qu'entraîne une pareille conception. Puisqu'en effetf au point de vue où nous nous plaçons, l'Algèbre Uaduit les faits mesurables qui nous sont fournis par l'observation des grantleurs concrètes, sur lesquelles a été opérée l'abstraction nécessaire, il s'ensuit que l'AIi^idire variera siùvant la nature de ces quantités concrètes, s'il arrive qu'elles présentent par leur essence (iiéme des propriétés mathématiques dillerentes, 11 y a ilonc plutôt rfe^.l^èû/'ei' que V Algèbre . C esi une notion utile â introduire dès maintenant, mais que nous allons liientôt retrouver, dans l'examen des opérations algébriques les plus élémentaires. iVous l'accompagnerons alors des développements qu'elle comporte.

ia LA .v.ir/ii:>i.i I iQtE

Cls^BBiûc&tioa des fonctions. — Les l'iinclions iiiatlirinati<|iios suiit en îioTiiliri' illiiiiilr. Suivant ([ircl!i;s exigent, |i(iiir iHii' i'\]nimccs. »Iph signes (|iii se rajiporteitt aux opérationn ai-ilhiut-tiques oi-Jiiiaires, ou bien Jes signes nouveaux, nu lesarlassécsen fonclionK algébriques nu Ireiiisceiu/anles. mots assez mal a|i|iropriés, mais (]ui uni cours, et «jue l'nn ne peut songera modifier.

Les l'onctions algébrii|iteselles-uii^messc subdivisent en fonctions entières, rationnelles, irrationnelles, dont tous les traités fournissent les définitions. Mais il est une notion bien supérieure à toute cette énuniératinn, et à laquelle nous avons liAte d'arriver. Si y représente une quantité variable, etqui ne dépend que d'uiie seule autre variable, appelée x, on est convenu d'exprimer cette dépendance par un signe tel que /■(,)■) et d'écrire y^^f(jc). Dans cette expression, /"est un symbole qui exprime toutes les opérations à taire sur ,r jiour obte* n\ry; et si ces opérations sont nettement précisées, noua disons que y est une fonction explicite de .r ; ainsi, en revenant à notre exemple de la chute d'un corjis pesant, nous avons vu qu'en appelant e l'espace, nous obtenions e^ kâ \ ici, e est une fonction explicite de t. Si nous nous étions proposé de résoudre le pi'oblènifti inverse, c'est-à-dire de trouver le teuijis depuis lequeE^) tombe un corps, sachant le chemin qu'il a parcouru, il' eût fallu trouver (, connaissant e; l'opération mathém^ri tique qui nous permettra d'aboutir à ce résultat en ^«fs^ tant <\k la relation e = ht* aura pour objet d'expliciter^ variable /, considérée comme fonction de e; jusque- / est une fonction implicite.

Équations algébriques. — Lorsqu'on se propose déil résoudre un problème quelconque appartenant domaine mathématique, depuis le plus simple jiisqu' Mus com|>liqué, il y a toujours lieu de considérer cér<^B raines grandeurs a, b, c, ..., que l'on connaît, appelées T

L'ALGÈnnE 53

données ou quantités connues ; et certaines autres, .ïz, ... que Ton cherche, et que l'on appelle les inconnues. Or, la nature même de la question nous amène imivitablenient à un raisonnement de cette forme : si je fais, sur toutes les quantités que je considère, telles opéralions, j'aurai le même résultat que si je faisais telles autres opérations.

D'après ee que nous avons dit, cela se traduira en algèbre par une relation d'égalité qui s'écrira ainsi :

nu plus simj)leinent, o

entre les l'ont-tions F c

représentant par /'la dill'érence

Une telle relation d'égalité entre des inconnues et des données est ce que l'on appelle une équation algébrique. Si l'on peut obtenir un nombre suffisant de relations de ce genre, on sera théoriquement en possession des éléments suffisants pour la détermination des quantités inconnues. On voit qu'il faut bien se garder de confondre une équation avec une identité, telle que a + ■ï ^ ^1 P^i" exemple.

Ceci posé, on peut dire, sans porter aucune atteinte au caractère général de l'Algèbre, qu'elle a pour objet \sl résolution des équations, c^es\.-k-A\Tc, ce qui revient exactement au même, la transformation des fonctions implicites en fonctions explicites,

Supposons, pour simplifier, que la question ne comporte qu'une seule donnée a et une seule inconnue x. On a une équation f{x-, a) ==0; cette équation sufGt à nous prouver que .r e.«t une fonction de a ; mais jusqu'à présent c'est une fonction implicite ; résoudre cette équation, c'est en conclure une formule telle que !=»(«!, qui nous présentera le tableau exact des opérations à faire sur a pour obtenir ,r-

Ce problème, même réduit aux termes que nous

.1 TIQLS

voilons (l'iiuliqiier, c-'est-a-diru à imv seulu équation t^t une Benle iiifonniit', tiépnsse et dépassera probableiin-nt totijours les liniUi-s rie riiilelligeiico hiimaiti<', CVst à poinii s'il a pu être complèlement résolu dans quelques cas 1res simples que nous allons Indiquer. El cependant, eoinhien res résultats prennent d'importance et représentent une somme considérable dr vérités découvertes et de Ihéories dignes d'inlérétoii même d'admiration !

ClaaBiScittion des équations. — Suivanl que. dans une équation algébrique /'(j-, >/, z, ...} = o, où nous n'écrivons maintenant que les inconnues, la l'onction fsen algébrique ou transcendante, on dira que l'équation est elle-même algébrique ou transcendante. Lorsque, dani une question, entreront plusieurs équations et plusieurii inconnues, l'cnsenibie de ces êqualious l'ormera un système d'équations.

On établit qu'une équation algébrique isolée /"(jrjso, à une seule inconnue, peut toujours se mettre sous une forme telle que /"(.r) soit un polynôme en ,r, c'est-à-dire une expression de la l'orme ci^x" -\- n, .r"-* -|- ... -|- a,. On classe alors les équations algébriques suivant leurs degrés, c'est-à-dire suivant le nombre entier qui indique la plus haute puissance de l'inconnue entrant dans f(x). Or, si l'algèbre résout très i'acilement les équations des deux premiers degrés, si elle lournit des formules» un peu compliquées et d'une application pénible poui le 3" et le 4° degré, elle vient s'arrêter impuissante devant les équations du 5' degré. C'est à ce point que la démonstration de l'impossibilité radicale de résoudw l'équation générale du 5' degré à l'aide drs l'onclions ordinaires de l'algèbre a été considérée, ;i juste titre, comme une découverte importante.

- Il est bon d'ajouter, comme compensation, qm nombreux procédés permettent de déterminer valeurs numériques des racines d'une équation qw

LAI-GEBRE

iConque avec telle approximation que Ton désiie ; mais c'est un problème qui, par sa nature, relève plutôt de l'Arithmétique que de l'Algèbre, ainsi que nous l'avons Badiqoé déjà.

Théories algébriques. — En ilôpil de I'iiiipuissauc&* «elative de lalgêbre au delà du 4" degré, el de la simplicité apparente du problème général dont oUe poursuit 1 solution, les développements de la langue algébrique pForment une suite indélinie de chapitres, dont l'enemble, dans l'état présent de la SLieni;e, est un véritable |TD3onunient qui atteste la puissance de Tesprit Knniaîn, et montre quel secours merveilleux apporte au raisonnement la constitution logique d'un système heureusement combiné de signes ou symboles. Chacun île ces chapitres constitue ce qu'on appelle iréquemini-iit une 'héorie algébrique.

Nous n'énumérerons pas les principales théories algéirîques; nous ne saurions le faire sans risquer «l'être piffus sur certains points, incomplet sur d'autres. Une feplle liste n'apprendrait rien d'ailleurs, el, pour la fresser, nous sortirions fatalement du cadre dans lequel «us nous renfermons ici. Mais il est essentiel de reniar- ~qoer que cet incroyable développement des théories algébriques est relativement tout moderne, et date de l'époque où le génie de Viète introduisit dans cette partie de la science une véritable révolution. C'est lui qui doit ôtre en réalité considéré comme le créateur de l'Algèbre, telle que nous la concevons aujourd'hui, Cette Iipulsîon si puissante est due à une cause l'onilameue : avant Viète, on représentait bien les inconnues t questions par des lettres, pour faciliter l'écriture ; \ eut l'idée d'ap|)liquer cette représentation aux donnes elles-mêmes. De ce jour, à la recherche des valeurs jfl trouvait substituée la recherche des opérations à faire, ; de fonction mathématique était portée dans la i^nce, et c'est là l'origine de tant de progrès.

5G t.l MAillÉSH TIQl E

Extension des idées et du langage algébriques. — On u'aiiiail (jii'utiv i(lô<^ iiiroiiiplêle de lu |MiissancL' dr l'Algèlii'c-, si l'un croyail devoir on reslrcimlre les applications iiu\ seules granilciirs nicsuraltles que l'on con- HÎdère en Arill)iiiôti(|iie. Loiigteiujis on a cultivé oettc erreur; (|iR>lqties-tiiis iiu^ine la prolessent encore aiijourcl'hnî; c'est d'autant plus excusable, que de grande génies, comme celui de Newton, par exemple, n'y onl pas échappé. Le titre iVArithméliqne universelle, par lequel il a cru pouvoir caradcriser l'Algèbre, et qui n'indique qu'iniparfailenienl l'objet de cette science, en est une preuve.

(^ette conception incomplète a été d'autant plus funeste, qu'elle a contribué pour une bonne part à dénaturer l'esprit même de la science mathêmatii)ue. On a remarqué, en effet, que le calcul algébrique, en combinant systématiquement les signes sur lesquels il upire, conduisait à des résultats nouveaux et fournissait des formules, alors même que les questions qui avaient servi de point de départ ne comportaient pas de solntion. De là l'idée d'attribuer au catcid lui-même une puissance de généralisation particidière et quelque peu mystérieuse, en vertu de laquelle les transformations qu'on opère auraient une véritable valeur créatrice.

La premièie, et la plus simple, des manifestations de ce l'ail, se trouve dans la théorie des quantités néga-^ tives. Retrancher 5 de 3, en Arithmétique, est une pure impossibilité; retrancher b de a, en Algèbre, sera toujours faisable, et le résullal s'écrira a — i : si l'on suppose que rt^3, ù^5, on s'imagine que l'algèbre a créé un nombre nouveau, le nombre négatil' — 2; et l'on s'est évertué pendant des siècles à essayer à'itUerr-j prêter ces résultats inattendus, en s'éniervei liant dç,' les voir s'adapter aux {piestions, moyennant certaine» nindificationM.

Ce donl on ne s'était pas aperçu, c'est qu'en insli-

? najrfT.\l fl»h» mvrr set- iàg»»t «4 ses- rc^icfi 4'»^

1 « sntn- cJMMM- ^nr f 'a^(4 pràsû- .

plus loim, 3 smic bbx yen que ^ Donf: tn»o«ats ffi^. i

une ligne drftître OX saaÉKsaHi^teBl praIonj>r<>, nousJ pourrons reprêseaUr to«s l«s wnibres de l'Arithat^ I tique par des fragineals de eette dfxnte. des ft^mtmts, comme l'oo dit, tels qae O.V, AB. etc.. daol la loitjnio»' ^oit mesurée, pour elurun, par le nombre rorre-spoD» | liant.

Il de^-ienl alors évideat que, poarajoulpr deux nom- ^ bres représentés |iar les segments OA. AB, il suffin de porter l'un d'eus, AB, au IhjuI de l'autre OA. ei qu'on aura la somme reprêsenlée par le iioiii1>re ipi: mesure OB. Si l'on veut au contraire relranchor AU I (le OA. il n'y aura qu'à purk'r AB' de longueur égale i à AB, au Ijout de O.A. mais en sens coiitrtiire. et Toa I aura en OB' la différence. Cela va IK'S Iiien si ,\B est 1 |ilu» cour! que OA ; mais s'il devient plus long, l'inwj possibilité se manireste par ce laît que nous loinhons] Lii dfliors de la droite OX. à gauche du point O. Vro--

longeons au contraire cctio droite en OX (lig. 2). «*t nous aurons un point B'siir ce prolongement. Ln diffé- Pfmoe .sera figurée par le segment OB', dirigé à [nirlir du point O, non plusde gaucho ù droite, mais do droilo . ;i gaucUc.

Sans plus insister, nous voyons que la ilemi-di'oUe OXJ

iS LA M.iT/IFM ITIQCK

nous prrst'iite l'image «lu tlniiiaiiit' de Umtos les gf (leurs arîUiiiiélîques, et que la droite iiidêHuic X'X nous offre celle de toutes les grandeurs de l'Algèbre, positives nu uégatives. Et ce n'est pas de l'Algèbre qu'elles sont sorties, ces quantités négatives: elles appartiennent à la nature ntènie des choses, elles sont soumises aux mêmes régies d'opérations que les quantités arithmétiques; et par suite, il n'est pas étonnant que l'Algèbre, traduisant les propriétés des unes, s'applique aux autres. Cette unique remarque dissipe toutes les obscurités qu'on s'est plu à déverser sur la théorie <les quantités négatives et démontre intuitivement ce théorème général : « SI une quantité concrète, par sa nature, peut avoir deux sens différents et opposés (comme une échelle thermométrique, lui débit ou lui crédit, un temps compté dans l'avenir ou dans le passé, etc.), cette quantité étant soumise au calcul algébrique, tout résulT tat algébrique positif ou négatif, obtenu comme solution, exprimera une valeur de la quantité dont il s'agit, ett grandeur et en sens, l'expression algébrique ayant une grandeur et un signe ».

Cette simple indication est suirisante pour donner une idée première de !a théorie des quantités négatives, qui trouvent ainsi leur représentalinn sur la dt-nii-

droite OX'. N'était-il pas naturel, dès lors, de chercher à sortir de ce domaine étroit, la ligne droite, où leS' quantités algébriques positives ou négatives sont e*' quelque sorte emprisonnées, et de se demander si, p9!fdes synd>oles convenables, on ne jiourrait pas reprt '"■Merles laits géométriques qui se passent sur un plai

LALOEBRE

\ faudri

r cela (fig. iï) i

éseiitei" lin segiiRint //(•<•■ r/me'OM, partant de Poriginp pour aboutir à iinpoioH quelconque, par une notation spéciale, puis étendre à een segments les opérations élénienlaipe» de l'Arilliniétiquîfl et de TAIgèbre. En suivant cette voie, on arrive à écUneH une méthode de calcul dont les règles sont exactement! celles de l'Algèbre; les nouvelles quantités représen*^ tant les segments inclinés sont, iion pas analogueSpl mais identiques aux expressions dites imaginaires. CeV n'est pas préi;isément ainsi que Ton a procédé en réalité. ■ Les imaginaires, sorties de la réHolutioii des équationfFfl du second degi-é, ont été prises pour un produit pui^ de l'Algèbre, et on a versé des flots d'encre pour eii'l élucider la nature, même après les beaux travaux del Cauchy sur les -quantités géométriques. C'est à peine"! si l'on commence timidement aujourd'hui à donner un ] coup d'oeil en passant à l'admirable méthode des eVy«t- J pol/eiices, aussi reuiarquabic jiar sa fécondité que patj sa conception fondamentale, et qui est du<i à l'un desf plus profonds géomètres dont l'Italie ait pu s'honorer,! Giusto Bellavitis. Cette méthode n'est autre qu'un calcul] géométrique, identique à celui de l'Algèbre, et tradut-1 sant, comme nous venons de le dire, les faits géométri- 1 i du plan tout entier, 1

est à un illustre astronome et géomètre de laj prande-Bretagne, Ilamiiton, qu'est <lue l'idée de créer J

1 calcul s'appliquant aux faits géométriques de l'esface, et non plus seulement a ceux du plan. De là sa Itéthode des guateniions, pratiquée avec tant d'avauges par les savants anglais depuis bien des années, t qui pénètre à peine et difTicilenieot en France. Mais ^ci, en raison de !a nature même des clioses, les règles fie calcul à appliquer ne sont plus exactement celles de r.\lgèbrc ordinaire. Kiles subissent des modifications "terofondes, parmi h'S(piolles la plus importante consiste" Bms l'impossibilité d'intervertir les deux facteurs d'u >duit, sans altérer ce produit lui-même.

6i. /,.( MA TIIEMATIQrE

Une iiiélhodt- d'iiiii' vxlr«^me |iuîssance. rfille de (jrassmanii, l'orme en <|iK<l(|ue sorte la synthèse, le lien niiiiiiiiiti entre celles liont nous vcmins de parler, et présente des ressources considérables, permettant de résoudre parfois très sitaplement des questions difficiles. Elle mériterait dVtre plus généralement connue <|u'elle ne l'est encore.

On voit la gradation : sur une semi-droite, domaine de l'Arithmétique, représenlalion des quantités positives; sur 1-a droite entière, domaine de l'Algèbre, des quantités réelles, positives ou négatives; sur le plan, domaine des éqiiipollenees, où se trouvent représentées les quantités dites imaginaires, et qui sont cependant tout aussi réelles que les autres; dans l'espace, domaine des quaternions, avec leur Algèbre spéciale; toutes ces méthodes venant se fondre dans celle de Cirassmann.

Mais ce n'est pas seulement aux faits géométriques que le calcul peut s'appliquer. Dès que des éléments d'une nature quelconque, mais comparables et mesurables, peuvent être représentés par des symboles spéciaux; dès que les relations entre ces éléments peuvent être exprimées par des signes particuliers d'opérations sur ces symboles, on a par cela même créé une Algèbre nouvelle. Cette conception nous porte bien au delà du domaine étroit de l'Algèbre ordinaire. Nous nous bornerons à en citer i\ci\x exemples, deux tentatives plutôt, qui auraient mérité peut-être d'attirer d'une façon plus particulière l'attention des savants : les essais d'application d'un symbolisme systématique aux faits de Is logique, dont l'expression la plus caractéristique se trouve dans les Lois de la pensée, de Boole; puis, le Calcul des opérations chimiques, de Brodie, Il faudrait peut-être rattacher encore à cette Algèbre générale l'application, si souvent essayée, de la méthode et de la ' langue mathématiques aux phénomènes sociologiques,

■nomiques ou démographiques. Enfin, il serait injuste

s faire rentrer les travaux si int^'reasants entre-' |jris (lupiiis plusieurs années, en Italie, par M, G, Peano>l et quel<]ues-uns de ses disciples, sous le titre de Lûg\ que mathématique. C'est la mise à ext-cution, sous une^fl l'orine peut-être perfectible encore, d'une idée dont4 Leibniz semble avoir jeté le premier germe. Cela porte I à penser que ce grand esprit comprenait l'Algèbre 1 autrement qu'on ne l'a fait souvent depuis. Il ne lui I attribuait pas une puissance de création et de généra- ! lisation qu'elle ne peut avoir, mais il voyait dans I principes mêmes dont elle découle la possibilité d'édifier une langue écrite, pouvant exprimer rigoureuse-" I «lenl el simplement les faits et les relations qu'ils ont j entre eux, dan» des ordres d'idées très divers.

Importance historique. — Lii tic'i'ouverte du Cali'iil inlmilésiiiiLil est pL-iit-iMi-t; lu l'ait le plus considérable qui se soit jamais produit dans l'histoire de la science iiiiitliématique. Ce fut une véritable révolution : à partir de rc moment, les applications se succédèrent avec une rapidité et une l'écondilé surprenantes; les problèmes réputés les plus difficiles furent abordés, et parfois résolus avec une intirvcilleuse facilité. L'instrument nouveau mis a la disposition de la science paraissait tenir du prodige, être une sorte de clef magique destinée à ouvrir toutes les portes et qui devait permettre de pénétrer tous les mystères de la nature.

A qui l'humanité doit-ello reporter ia gloire de cet immense progrès ? On sait quelle lutte passionnée fut la conséquence de cette question, entre les disciples de \ewton et de Leibniz. Depuis lors, des travaux historiques relativement récents permettent de faire remonter jusqu'à notre grand Fermât l'honneur de la première conception du Calcul inlinîtésimal ; mais ces questioott. de prédominance ou de priorité, au profit de telle jMfelitê ou de telle nation, n'ont plus guère 'aujour^ il'hui qu'un intérêt de simple curiosité. Ce qu'il faut onstater surtout, c'est que la découverte était à l'étet d'incubation, comme il arrive souvent dan

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science ; les procétiés des anciens, les ressources (iefl l'Algèlire moderne créée par Vîète ne suffisaient plufrfl pour aborder quelques-uns des plus importants pro-^ blêmes de la nature. Les moyens nouveaux dont lefl génie mathématiqiu; de quelques hommes vint enrichira la science étaient devenus en quelque sorte une néoes-l site. II n'est pas à regretter que cette illumination sefS soit produite simultanémentouà peu près strr plusieursv points du monde et sous des apparences diverses, lll ciU été beaucoup plus difficile sans cela de dégager lëfl véritable caractère philosophique du nouveau calcul, cefl à quoi nous soiuniesà peine arrivés à l'heure présentem

Analyse transcendante. — Cette Itranche de la sciencefl mathématique a reçu des dénominations diverses,! parmi lesquelles celle d'Analyse transcendante, opposésfl à Analyse algébrique, a longtemps prévalu. Aujourd'huifl encore, le terme i^Analyse parait être en TaveurM puisque plusieurs des chaires les plus importantes de-l Calcul infinitésimal sont ainsi qualifiées. On remarquerai que nous avons évité ce vocable en tète du présents chapitre : sans attacher aux mots plus d'importancflfl qu'il ne convient, il est permis cependant de rcgretteîM l'usage abusil' de ceux qui peuvent entraîner â leura suite des idées fausses, et nous croyons que c'est ici'9 cas. ■

L'analyse et la synthèse sont deux grandes méthode»^ iposées l'une à l'autre, et qui se retrouvent dan^J toutes les recherches scientifiques. Qu'il s'agisse d&il logique pure, de Chimie ou de laits mathématiques^J un l'ait de l'analyse quand on décompose une questiosffl en éléments plus simples, pour arriver ainsi, par un&l sorte de réduction poussée au.v dernières limites, 1 jusqu'à la solution complète, obtenue par un procédé J systématique et méthodique, qui conduit au résultats par une voie, pénible peut-être, mais sûre. On fait ait,l Xpnlraire de la synthèse, quand on construit de toutea

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