i LA VAIlIKM.iriQVE

picrps la saliitioii, uvrr Ips malttriaiix qu'on possède dûjà, sauf à vériiier cctlv solution par la iiiûtlin<l« analytit|iie.

Or, (lanB le domaine mallii'iii!iti(|ue, on a complèleinent dêtouriié ces termes de leur signification générale, en assimilant analyse a Calcul et synthèse à Géométrie. Et, s'il est vrai ([u'cn soumettant les questions au calcul on suit le plua souvent une marche analytique, le contraire se présente aussi, et plus souvent qu'on ne l'imagine. On t'ait fréquemment du calcul synthétique, de niônie qu'on peut, en Géométrie pure, recourir i l'analyse sans l'aire le moindre calcul. Il importa donc de ne pas se laisser surprendre par l'emploi de mote en usage, mais détournés de leur signification normale.

Caractère général du Calcul inOnitésimal. — Augiislf Comte, grand admirateur de Lagrange, — et une telle admiration est certes justifiée, — a cru pouvoir établir une distinction nette entre l'Algèbre ordinaire et le Calcul infinitésimal, en assignant à la première l'étude des fonctions directes, et à celui-ci l'étude des fonctions indirectes. Pour pénétrer complètement le sens d'une telle distinction, il faut posséder déjà les notions fondamentales du calcul dont il s'agit. Il y a là une conception un peu artificielle, non pas fausse, mais construite après coup, de même que les théories de Lagrange ont suivi celles de Leibniz à un long intervalle. Au lieu de l'adopter apriori, n'est-il pas préférable de remonter à l' origine même du Calcul infinitésimal, pour en préciser nettement le caractère et la portée?

L'étude des fonctions, nous l'avons remarqué dans le chapitre précédent, appartient en propre à l'Algèbre ;. mais, dès qu'on veut serrer la question d'un peu près^ dès qu'on veut examiner comment une l'onction sa comporte, on ne tarde pas à rencontrer des dillicultés pour ainsi dire insurmontables, surtout sicelli/ l'unctiou ïrésente par sa nature une assez grande conii)l('.\ité.

LF. CALCUL lyFlMTESni.lL

Ces (liflieultés, à mesure que lascienre iiiathématiqu progressait, se révélèrent surtout à l'occaBion de ce que l'on appela le « problème des tangentes », c'est-àdire à propos de la détermination des tangentes aux tourbes en général. Lorsque Descartes eut le premier donné une définition véritalilement sa tisi'aî santé de la tangente a une courbe, ce grand géomètre et d'autres, parmi lesquels nous nous bornons à citer Roberval et à rappeler Fermât, se mirent à la recherche d'une méthode générale, que Leibniz et Newton eurent enfin la gloire d'ériger en corps de doctrine. Cette origine géométrique de la plus grande découverte mathématique est bien propre à montrer une fois de plus la nécessité première des éléments concrets, jnéme dans les branches du savoir humain qui paraissent les plus abstraites. Mais pour ne pas empiéter ici sur le domaine de la Géométrie, nous éviterons quant à présent d'y revenir.

L'idée de fonction, nous l'avons dit, est indissolublement liée à l'idée de continuité. Si une fonction d'une variable, f{j:), que nous désignerons par y, prend une valeur particulière b lorsqu'on donne à x une valeur particulière a, il importe de connaître les valeurs, de plus en plus voisines de b, qu'elle prendra quand x prendrj des valeurs de plus en plus voisines de a. Si l'on représente par a -f- A fl une valeur de x voisine de a, et par ' b ~\- S b\a valeur correspondante de y, les accroisse' i meiits itt et A6 de la variable et de la fonrlion seront évidemment liés entre eux. C'est la recherche de cette liaison qui contient en germe tout le Calcul inllnitésimal.

Ne-wlpn parvint à l'établir en introduisant dans cette recherche des notions mécaniques, par son calcul des fluxions. Il considère les vitesses des variations de X et de y ; ce sont ces vitesses qu'il désigne par 1 il fluxions », tandis que .f et y elles-mêmes sont leg I ( fluentes ».

rilt:!tlATlQVK Lciliiii/., iui rtiiiliniiT, Cl) 1181 livrant les arcroîâsein) irt et iô, «Il i.r ot i^, coinini? do v^rital>li>s quantités, bien (pie <•<• soient des expressions ^■niiiieuimenl variables, ne rniiiit |»i« de les Taire entrer directenieni dans le ealnd, et montre suivant <]tielles règles il y aura lien de les y l'aire entrer. C'est la doelrine des infiniment petilH, disenlable et peu rigoureuse dans sa l'orme primitive, mais (|iii s'impose par la stniplicité dp la mise en œuvre et par la grandeur des résultats obtenus. De nos jours seulement, on est arrive à montrer toute la rigueur des notations de Leibniz, de l)eaueou|) les plus avantageuses, et do ses mélhtxles de calcul, (|ue rien n'a pu mettre en défaut. Lagrange, bien plus lard, introduit la notion de fonction dérh'ée. On appelle ainsi, dans la notation (pii précède, la limite vcra laquelle tend le rapport ■-- lorsque Art diminue de plus en plus. Pour chaque valeur a donnée h .r, cette dérivée a une valeur particulière. C'est donc une l'onction nouvelle de ,r, représentée par f'{x) dans le sv«lêmp (If Lagrange.

On peut écrire ain.si

rw =

tandis que Leilini/. é

et désignera e/i/ et (/.r sous le nom de (li/ft'rciiliellesAv la fonction et de la variable.

Dans la notation de Newton, enfin, on aurait

fV) = -

y et X étant les fluxions de y et de x.

Lagrange, en créant le calcul des dérivées, a rema:

toute.s les fonctions analytiques étutUÀ

surtout qui

LE CALCUL lyFiyiTÈSIMAL

sont telles c|iie leur accroissement, Si/ ]>;ii' cxeiii |ieul se luellre sous la forme siiivanlc :

et ([lie le coefficient A, du premier terme est précis<;iiient la dérivée. An fond, malgré la puissance de son esprit, il n'est pas arrivé de la sorte à affranchir la Malliéiuatique de l'idée d'infiniment petit, comme il s'en était flatté, car le développement qu'il prend comme |ioinl de départ est loin de pouvoir être admis comme lin axiome. D'un autre côté, les notations des dérivées sont trun usage si incommode, en comparaison de celles de Leibniz, que Lagrange lui-même s'est empressé de recourir à ces dernières, aussitôt qu'il a dû appliquer le calcul, et particulièrement dans sa Mécanique analytique.

Aujourd'hui, les principes se trouvant élucidés d'une façon à peu près satisfaisante, il nous est permis do voir les choses d'un peu plus haut, et de constater dans toutes ces manifestations de tant d'hommes de génie, le développement sous des formes diverses, mais non [)as contraires, d'une grande pensée commune. Quant à l'emploi des notations de Leibniz, il est consacré défi iiitivement par l'usage, et c'est justice.

On peut comprendre maintenant le sens qu'il faut attacher à l'expression de fonctions indirectes, employée par Auguste Comte. Ces fonctions indirectes ne sont autres que les dérivées, qui aideront d'une façon si heureuse à l'étude des fonctions dont elles proviennent.

A une étude compliquée, peut-être impossible, viendra se substituer une recherche relativement simple ; et, grâce aux propriétés fournies par le Calcul infinitésimal lui-même, on aura sous la main un outil propre à faire reconnaître la marche générale d'une fonction, à permettre de trouver ses maximums ou ses minimums, de savoir si cette fonction est croissante ou décroissante; sans parler des applications géométriques si importantes et pour ainsi dire innombrables.

6S LA MATIIEMATtQVE

Dans la théorie des foDctions dérivées, f'{x) étant la dérivée de /'(.r), cette dernière Ibnclion f[.r-) est dite b fonction primith'e d« f'{x). Dans la théorie intiDÎtésiniale de Leibniz, f'{x)dx est la différentielle de f[x). Trouver la fonction primitive d'une fonction donnée, ou la fonction qui a pour différentielle une difTérentielle donnée, ne constitue donc qu'un seul et même problème, d'ailleurs très diflicile et à peine ébauché aujourd'hui, malgré des efforts nombreux et considérables.

Ce problème est ce que l'on a appelé dans les siècles derniers le pro!)lèine inverse des tangentes, et constitue, pris dans sa généralité, ce qu'on nomme le Calcul intégral, tandis que la recherche des diiïérentielles ou des dérivées fait l'objet du Calcul différentiel.

Telles sont les deux branches'qui, réunies, formentlc Calcul infinitésimal. Les applications géométriques nous permettront tin peu plus loin de caractériser mieux encore et d'éclaircir plus entièrement ces notions générales sur lesquelles nous devons ici passer rapidemenl. Mais nous ne voudrions pas quitter ce sujet sans faire une remarque qui pourra surprendre plus d'un lecteur, tellement elle indique l'irrégularité, nous pourrions dire le caprice, qui préside aux progrès de l'esprit humain.

Le Calcul intégral passe à juste titre pour offrir des difficultés très supérieures à celles du Calcul différentiel. Ce dernier est de création relativement récente. Et cependant, si l'on veut chercher sincèrement les ori^nes du Calcul intégral, c'est jusqu'à Archimède qu'il nous faut remonter. Lorsque cet illustre géomètre détermînàil l'aire d'une parabole ou le volume du paraboloïde, ï faisait du Calcul intégral bien des siècles avant quell mot ne fût inventé. Les méthodes enij)loyée3 par lui ni différaient pas sensibloment, quant au fond des idées de celles qui sont encore en usage, 11 y a plus : li simple détermination classique du volume du tétraèdre enseignée aujourd'hui dans nos classes les plus élémei]

LE CALCL'L IXFiyiTÉSIM.tL

taîres, est un problême de Calcul intégral; ce problème est identiquement lo niéiiie que celui de l'aire de la parabole. Peu de professeurs s'en doutent, et pas un élève ne le devinerait de lui-même. C'est un fait, entre mille,,! qui nous montre combien il y aurait de réformes et d'à liorations à apporter dans renseignement mathématique. J

Divisions du Calcul différentiel. — L'objet principal!] du Calcul différentiel est, d'après ce qui précède, 1* détermination des dérivées, et par conséquent deiq difi'érentielles des diverses fonctions mathémalîqui Ce seul problème comprend tout un ensemble de règlei obtenues d'après la définition première, et qui s'applt^ quent aux fonctions élémentaires, algébriques outran8-l rendantes, à leurs diverses combinaisons, et aussi, qui est d'une grande importance, aux fonctions implîJ cites, que nous avons définies plus haut.'

Ce n'est pas tout. De la définition de la déi-ivéi décotile celle des dérivées' des divers ordres ; la déri-l vée de f'(.r) par exemple, étant la dérivée seconde d^-l /'(j;), que nous désignerons par / "(.r) et ainsi de suite.! Comme conséquence correspondante, nous aurons lafl formation des difl'érentielles des divers ordres, expri»! niables par les notations de Leibniz. Toutes ces dé minations formeront autant de chapitres du Calcul dif- I férentiel.

Mais les fonctions d'une seule variable ne sont qu'un ( cas très particulier; de même qu'en Algèbre, on devra examiner les fonctions de plusieurs variables, et l'on étudiera les diverses dérivées de ces fonctions, consi- 1 dérées comme dépendant d'une seule variable, les autres I restant provisoirement constantes, ou bien considérer le cas où toutes les variables changent à la fois de valeur. Cela donne naissance aux dérivées partielles d'une part, et de l'autre aux différentielles totales.

Enfin, il est une branche du Calcul différentiel, fort [portante en elle-même et surtout au point de vue des

7<1 /..) M.ITU/CM.iriQlE

!i|)|)licjiti<ins. C'est collf qu'oïl di'signe sous Je nom iliangcinniil de variables, et qui peut se rt'sumer dans l'éiinncé suivant : cpriaincs (onctions de .i^.y, -,... vlant <lonnées, quelle (|ue soit (l'ai)leiirs la nature de ces loiirtiona, en tiouvcr les dérivées ou les dill'érentielles des divers ordres en prenant pour variables nouvelles j',, ^,, :;,,... qui sont liées aux aneiennes par des relations connues. Ce problème peut donner lieu à des opérations de ralcul lon^^nes et pénibles dans certains cas particuliers, mais la théorie en est achevée d'une façon aussi parl'aile qu'on le puisse désirer.

Une doctrine complète du Calcul différentiel comprend nécessairenienl aussi les applications déco calcul •I l'étude des fonctions elles-mêmes, c'est-à-dire les variations des fonctions, les déterminations des maximums et des miniuuims, et enfin les développemenis lies fondions en séries.

Ce dernier point a été volontairement passé par nous sous silence dans le chapitre précédent, bien qu'on l'incorpore volontiers dans l'algèbre. Nous nous bornerons ici à rindiquer rapidement en quelques mots: il nous parait du reste appartenir essentiellement par sa nature au domaine inliuitésimal. Si l'on a une siiUi finie de termes

^^ d'une s

^^^ puissan

là

telle que chacun d'eux soit une Ibnclion de son rangttil cette suite forme ce qu'on appelle une série. La séricj

est converf^ente si la somme

elle-même fonction de h, tend vers une valeur iinie bien déterminée à mesure que it augmente indéfiniment, 0( s'il est possible de mettre la fonction f{.r) sous forme d'une série convergente, soit développée suivant les puissances de ta variable, soit autre,

LE CALCUL lyriMTÉSIMAL

on foniprend, même au point de vue des applications pratiques, l'intérêt que présentera ee développement en fe qui lourlie le caliui numérique approximatif de la l'onction. Un seul exemple nous le fera comprendre. cosinus d'un angle .r, développé en série, peut s'écriraS

Si ,r est un an^le très petit, la valeur i limitée]

aux deux premiers termes, et d'un calcul tout à fait sim-J pie, sera eiilacliée d'une erreur extrêmement faible, dont on connaîtra dans tous les cas une limite supérieure. '

Il va sans dire qu'au point de vue théorique pur, cette! question des développements des fonctions en séries! n'est pas d'une moindre importance.

Formation des équations différentielIeB. — On appelle équation difi'érentielle une équation dans laquelle entrent une ou plusieurs fonctions inconnues, les variables dont elles dépendent et leurs dérivées ou différen-; lielles de divers ordres. Pour comprendre l'importance J d'une telle notion, le mieux est d'invoquer un exemple! simple.

Considérons la fonction implicite 1/ de la variable x i définie par l'équation y^ — ayj.r — y^o. En appelant ^ | la dérivée de y, suivant la notation de Lagrange, ou dy, I et dx les différentielles de^et de .r, suivant Leibniz, les règles les plus .-^iniples du Calcul diflerenticl montrent 1 qu'on obtient

yy- = p ou ydy—pdx

Voilà donc une relation qui conviendra à toutes les. ("onctions y définies par l'équation 1/' — 2 px — q = «el que soiL q. Mais on a encore

73 t.l W.l TIIHMATIQVK

fl fivii*} tleriiioro relation es! une «équation difrérentîellï qui sera aussi vôrifioc par toiile fondion y définie plus haut, qiielicK (|Ui* soient les valeurs lU" p et de q.

Chacune de rcs équation» dilTérentielles caractérise donc une Caniilie de fonetinns ditrérentes les unes des autres, maïs offrant outre elles des analogies et des rapprochements, L'tHude d'une équation différentielle peut donc pormottre de «lêcouvrïr des prniiriêtés commîmes à toutes les l'onctlons qui la vérifient. D'un autre l'ùté, la mise en équation des problèmes de la nature accessibles aux méthodes mathématiques conduit invariahlement, en Mécanique, en Astronomie, en Physique, à des équations différentielles. Remonter de ces équations difrérenliclles aux lonctions, ou, pour employer le langage courant, intégrer les équations diflerentielles, l serait donc résoudre entièrement les problèmes de Mathéuialique appliquée, et pénétrer les secrets de la I nature dans la mesure où nous le permet Tensemble i des procédés d'observation et de mesure. Malheureuse- 'i ment, c'est là le chapitre le plus difficile et le moins , avancé du Calcul infinitésimal.

Calcul intégral. — Les explications rapides qui pncèdent étaient nécessaires pour faire comprendre U division du Calcul intégral en deux grands chapitres:]

intégration des différentielles, intégration des équations) différentielle a.

Ainsi que nous l'avons déjà dit, lorsque la fonc-| tion /'{.!.') a pour dérivée f'i->^), et par suite |K)ur différentielle /■'(.!■) (■/.!', on dit que fi.v) est Vinlégrale de f'{.c)d..r, et l'on écrit

Récipro<{uement,si Ton donne la difl'érenliellcf (.ï;)(ii:, on aura

F(..)=Jç(,r)rf.,.,

LE CALCrC I.\FI.\ITÊSI3IA1. 7;

et f [x] est la tiérivéc de F [jc). Trouver la fonction priniilive de f (.f) ou intégrer f {x) dx constitue donc un seul problème. C'est celui qui, pris dans toute sa généralité et dans toute son extension, fait l'objet de la première partie du Calcul intégral.

Longtemps bornée à des catalogues de fondions et à quelques procédés particuliers, cette branche du Calcul infinitésimal s'est progressivement enrichie de méthodes plus rationnelles. Mais il s'en faut encore qu'on soit en possession d'instruments satisfaisants, d'un usage assez,:' général, II faut reconnaître cependant qu'en ce qui eonr cerne les applications, et grâce aux méthodes de ealeiit' approximatives, on ne se trouve pas habituellement trop entravé.

On ne saurait en dire autant lorsqu'il s'agit (le l'intcgratioa des équations différentielles, c'est-à-dire de la détermination des fonctions ou des classes ds fonctions qui satisl'ont à une équation dillérentielltf. donnée. Dans quelques cas très particuliers seulement, ce problème d'une si haute importance a pu être résolu.

Les traités classiques de Calcul intégral eonliennent de voIumineu.>i développements et de nombreux chapitres sur l'intégration des équations diflcrentieltea. Chaque année, c'est par centaines, même par milliers, que sont publiés, dans le monde entier, des travaux sur ce sujet. Et cependant, la partie de la science dont ïl s'agit, si elle ne demeure pas stationnaire, n'avance du moins qu'à pas Ijien lents. C'est vrai surtout en ce qui touche les équations aux dérivées partielles dont l'importance serait cependant ai grande pour les applications. Cela tendrait à faire croire que certaines des difficultés contre lesquelles on vient se heurter sont d'une nature intrinsèque, si l'on peut ainsi parler, inhérentes au sujet lui-même, et presque insurmontables à l'homme, jusqu'au jour ou, par une révolution comparable à Fin- —vention du Calcul infinitésimal, quelque instrument

MArin:M.iTiQLE

nouveau sera uns au

et viondra aoulager son infirn

Intégrales déûnieB.

■ Unu exposition, luèitic rapide l't Kiuiiriiaii'c, des caracliVroa i-ssenlielt; du Calcul infinili'simal ne saurait i^tre coiiiplùte sans niCDlionner au moins les intégrales délinies. Leur iléteriiiînation, en efl'et, ne comporte pas une intégration dans le sens philosophique du mot ; mais elles sont dans les applications (l'une importance extrOme, et df [dus, elles fournissent à la Mathématique la définition de nouvelles l'onctions, de symboles qui peuvent devenir de précieux instruments pour des recherches théoriques ultérieures. Les fonctions eulérîennes en sont un exemple ; de tnéinp les intégrales elliptiques, sur lesquelles nous aurons à revenir dans le chapitre suivant. Enlin, pour rester dans un domaine |>hi9 élémentaire, c'est dans la notion de l'intégrale définie qu'on doit chercher la véritable origine des logarithmes.

Lorsqu'iuie l'onction f[x) dépend dune seule variable, si Ton donne à cette variable x toutes les valeurs comprises entre deux nombres n et i, on peut supposer que cet intervalle de « à 6 ait été partagé en n parties, d'une façon quelconque, par des valeurs intermédiaires a^, «j, ,.., (ï,i i . Dès lors, si l'on forme les quantités

n«) (",-«) Y (",)(".-".) rK-

et qu'on en fa.sse la somme, on démontre que la limite de cette somme, lorsque le nombre n des divisions augmente indéfiniment, tend vers une certaine valeur qu'on représente ainsi

l't que cette valeur est précisément V\b) — F(a)v F (.r) est l'intégrale de f{x) dt, c'est-à-dire si F (.c) est uaS'. '""■•tion primitive de f'{.r). C'est ce qu'on appelle l'i

est uttO' L

■ LE CALCUL I.\FI.\irf:SIMAL jM

grale définie de /"(.r) <l.e entre les limites a et 6 ou de 4Ê à /}. Cette intégrale n'est plus une fonction de s, uiaJH seulement des limites a el 0. On saura la ilétcrminea numériquement si l'un a pu déterminer la l'onction F {jîm elle-même. En outre, si à la place de a on a mis unafl valeur fixe, zéro par exemple, l'intégrale ne sera plii^ qu'une fonction de b. M

Ce qui est important dans les applicaliiiiis, c'est ({u'iU sera le plus souvent possible de déterminer l'intégraLcifl définie lors même qu'on ne connaîtrait pas la formu algébrique de la fonction F{x) ; les développements eqn série sont à cet égard une précieuse ressource, et pera mettent d'aborder ainsi des questions qui ont plus d'une* analogie, comme le fait justement remarqiier AugusteV Comte, avec la résolulion numérique des équations. M

Calcul des variations. — L'un des problèmes qu|l préoccupèrent le plus les tnathémaljciens, dans \esM deux derniers siècles, fut celui des isopérimèlres. Le I mot est U'op particulier, et vicieux par conséquent, mais'l il a le mérite de rappeler, sous une forme assez siniple,1 l'origine géométrique des questions dont il s'agît. En 1 voici le type : quelles sont, parmi toutes les courbes del même longueur tracées entre deux points donnés, celles I dont l'aire est un maximum ou un minimum ? J

Dans toute son extension, le problème consiste dansia la détermination de la forme d'une fonction inconnue! pour qu'une certaine intégrale définie, dépendant de ] cette fonction, ait ime valeur maximum ou minimuia J entre des limites assignées. I

Les exemples de problêmes de cette nature furent J variés à l'infini, et des dépenses prodigieuses d'ingé- J niosité et d'habileté furent laites par de grands géo- J mètres, jusqu'au jour où Lagrange vint en apporter une solution entièrement générale, par la création du Calcul des variations. Nous ne pouvons songer à en exposer jci les principes, mais il est bon de mettre en relief

ifi LA MATIIti.VATIQUE

l'idée de gt-nic qui l'a inspirr. Elle consiste dans la coa-l sidi^ration de difTêrentîalionR nouvelles, auxquelles i! applique la caractéristique particulière S, et quirésultenl, non plus des accroissements des variables, mais d'une modification infiniment petite dans la forme de la fonction. Aces d i (le renli elles spéciales, Lagrang;e donne le nom de variations. Il institue sur les variations tout ' un ensemble de règles de calcul qui permettent de les soumettre aux mêmes opérations que les différentielles <^t de les combiner avec ces dernières. Dès lors, les 1 problèmes considérés sont ramenés à des questions 1

ordinaires de maxii

I ou de minimum.

Du jour où fut créée cette branche nouvelle et si inté- 1 ressante du Calcul infinitésimal, on cessa d'inventer | comme à plaisir des exemples de problèmes d'isopérimètres, dont le principal intérêt tenait à la difficultt' particulière que présentait chacun d'eux. Cet intérêt sf trouvait effacé par la généralité de la méthode de

Lagrange.