III. — Définition analytique des fonctions X

18. Causes actives et causes passives. — Les causes intervenant dans la production d'un pliénomène peuvent êtie :

i'' Des causes actives, dont Fexistence est indépendante de celle du phénomène et sans lesquelles, d'autre part, le phénomène ne saurait avoir lieu. Telles sont la force d'attraction dans les phénomènes dynamiques; les forces électriques ou magnétiques dans certains phénomènes physiques; la tendance transformatrice dans les réactions chimiques; la force destructive de bacilles dans leur action sur l'organisme.

2° Des causes passives auxquelles donnent naissance les modifications mêmes qui constituent le phénomène con>idéré, dont le rôle consiste à s'opposer à ces modifications et qui disparaissent ou apparaissent de nouveau lorsque ces modifications elles-mêmes disparaissent ou réapparaissent. Comme exemples de causes passives, citons la résistance au mouvement des corps solides due au frottement; la résistance au mouvement à travers les liquides et les gaz; la résistance développée par induction d'après la loi de Lenz; la résistance élastique dans les vibrations d'une verge; les réactions provoquées sur la rétine par des changements brusques de l'excitation lumineuse (^); diverses espèces de réactions de l'organisme vivant.

Quelle que soit sa nature, une cause peut être assimilée à

(') A. Charpentier, Oscillations rétiniennes {Comptes rendus, t. CXIII, 1S91, p. 147)5 Oscillations rétiniennes consécutives à l'inipression lumineuse { Comptes rendus, t. CXXII, 1896, p. 87); j\ouvelle forme de réaction négative sur la rétine ( Comptes rendus, t. CXXII, 1896, p. 207 ).

ESQUISSE d'une MÉGANIQUE GÉNÉRALE. 35

une force mécanique et cette assimilation fournit la possibilité d'exprimer les grandeurs X, figurant dans les équations précédentes, en fonctions des éléments avec lesquels elles varient pendant le phénomène. Ces grandeurs peuvent être définies de deux manières différentes.

19. Définition des fonctions X par leurs e.vpressio/is en fonction des variables du phénomène. — On sait déjà qu'on peut définir les fonctions X par leurs lois de variation pendant la durée du phénomène; les formes de ces fonctions peuvent être très variées; aussi nous bornerons-nous à citer celles qu'on rencontre le plus souvent dans les phénomènes les plus connus. Les causes peuvent être principalement :

1° Des causes d'intensité constante

X = const.,

c'est le cas de la pesanteur.

2° Des causes à variations indépendantes

f{t) étant une fonction donnée de la variable indépendante. Ce cas général comprend comme cas particuliers : a. Les causes à variation périodique

X = 7 ( A,^sin2/i7ï 7|T + B,iC0S'2/ir — j ,

c'est le cas des forces électromotrices en jeu dans les phénomènes de courant alternatif, des composantes de la force d'attraction luni-solaire dans le phénomène de la marée. ^. Les causes à variation périodique amortie

X = Ae-«'( ;Msin6^-+- Xcosèn,

apparaissant dans certains phénomènes mécaniques et électriques.

Y. Les causes à variation exponentielle

qui représentent l'activité de bacilles se multipliant suivant une progression géométrique.

3« Des causes d'intensité proportionnelle à l'objet direct

correspondant

X = Aoc;

cette loi est celle des causes amortissantes ou retardatrices dans un grand nombre de phénomènes comme celui du mouvement lent d'un pendule dans un milieu résistant, celui de l'action destructive d'un groupe de bacilles, périssant après avoir agi.

4° Des causes d'intensité fonction de la valeur de la variable caractéristique correspondant à la valeur antérieure t — t^^ de la variable indépendante, t^ étant une constante.

,X =F[':.(t-fo)]

si l'on pose a = 'j(^). Il y a lieu de considérer des causes de cette nature, qu'on appelle des causes à retard, pour expliquer certains phénomènes photochimiques.

5° Des causes dont Pinlensité varie en raison directe de la racine carrée de l'objet direct

cette loi se rencontre en particulier dans les phénomènes

hydrauliques, où a désigne la hauteur de niveau du liquide

et À et a des constantes positives.

G"" Des causes d'intensité proportionnelle au carré de l'objet

direct

X = Àa^:

cette loi représente la résistance opposée par un gaz comprimé au mouvement rapide d'un plan : la résistance intermoléculaire par laquelle s'explique l'extinction graduelle de la phosphorescence, proportionnelle au carré de la vitesse des molécules.

7° Des causes d'intensité proportionnelle à la coordonnée

du phénomène

c'est l'expression de la force mécanique proportionnelle au chemin parcouru; de la force de torsion proportionnelle à l'angle de torsion; de la résistance élastique dans les vibrations d'une tige ou dune membrane, proportionnelle à Télongation. C'est encore celle de la force antagoniste dans la décharge des condensateurs, proportionnelle à la charge élec-

ESQLISSE d'une MÉCANIQUE GÉNÉRALE. 87

trique; de la pression du liquide sur le fond d'un récipient Oli il s'écoule, proportionnelle au débit. 8° Des causes d'intensité

\i étant l'intensité de la cause directe du phénomène (a^), et a/^. une autre variable caractéristique du système étudié. On rencontre des causes de cette nature dans les phénomènes d'induction électromagnétique.

Le coefficient de proportionnalité X dans toutes les lois précédentes peut varier arbitrairement d'un phénomène à un autre de même espèce sans que la nature dynamique de la cause ni le mécanisme de son action en soient altérés. La grandeur de ce coefficient détermine en quelque sorte le degré d'activité de la cause : c'est pour cette raison qu'on peut l'appeler coefficient d activité de la cause par rapport au phénomène considéré.

En mécanique, par exemple, le coefficient d'activité serait le cosinus de l'angle que fait la force avec la direction du mouvement; dans le phénomène de l'absorption d'une radiation lumineuse, le coefficient d'activité de la cause aflaiblissante serait la grandeur du pouvoir absorbant de la couche; dans l'action des bacilles le coefficient d'activité de leur tendance destructive serait le pouvoir destructif spécifique de l'espèce de bacilles; dans le phénomène de l'accroissement d'une population, ce coefficient serait le pouvoir reproductif moyen de la population. Dans les phénomènes à oscillations amorties c'est la grandeur du coefficient d'activité de la cause amortissante qui détermine la vitesse avec laquelle les oscillations s'amortissent.

20. Autre mode de définition des fonctions X. — Les fonctions X peuvent aussi être définies par les lois que suivrait le phénomène si chacune de ces causes agissait seule. Plaçonsnous en elTet dans le cas général d'un système défini par n variables caractéristiques aj, a^, . . ., a,,, et soient

a,, = ç,/ / ). ao, = 92,'' O, • • • , <^>n = ?",( O

les lois que suivraient les variables, si la cause C/ agissait

seule; les ii équations (6) du n° 16 donnent immédiatement dy.,. d%,. dcc„.

ce qui détermine les intensités relatives à la cause G^. On voit que le problème est analogue à celui de la détermination d'une force, connaissant le mouvement qu'elle produit.

Comme application, proposons-nous d'établir l'équation du phénomène de l'affaiblissement continu d'un état qui se propage radialement autour d'un point O dans un milieu sous l'action des deux canses suivantes :

1° Une cause affaiblissante qui, si elle agissait seule, imposerait à l'intensité de l'état la loi de proportionnalité à linverse du carré de la distance t du point considéré au point O;

2° Une cause se manifestant par une sorte d'absorption par le milieu avec une intensité affaiblissante proportionnelle à l'intensité de l'état.

En désignant par a la variable qui définit l'intensité de l'état à une distance t du point 0, la première cause correspond à la loi

A désignant une constante; l'intensité de cette cause aura pour expression

d% .zKa '2Ka

' ^ ~ ^ dt ~ 7^ ~ T"

L'intensité de la deuxième cause est. d'après l'énoncé du problème,

X étant le coefficient d'absorption du milieu, constant si le milieu est homogène et isotrope, fonction de t si le milieu est hétérogène et isotrope, fonction de t et de deux angles de position si le milieu est hétérogène et anisotrope.

L'équation différentielle du phénomène sera par suite

dy.

21. Formes définitives des équations. — En résumé, les fonctions X peuvent être :

ESQUISSE d'uXE MÉCANIQUE GÉNÉRALE. 89

i" Constantes ;

2° Fonctions de la variable indépendante t]

3° Fonctions des variables caractéristiques du système;

4° Fonctions des intensités des phénomènes (a);

5** Formées de la combinaison des cas précédents.

D'après la constitution des fonctions X, les phénomènes (a) seront simples ou complexes.

Lorsque les équations d'un phénomène * sont indépendantes [ équations (6), n"* 16], C'est-à-dire lorsque l'équation relative à l'une des variables caractéristiques est indépendante des autres variables du système, le phénomène * est dit simple si /i = i , ou bien composé de n phénomènes simples (aj) (a^) . . . (a,J si le nombre des variables est égal à n. Tel serait le cas de plusieurs mouvements rectilignes indépendants l'un de l'autre; celui de l'absorption de la lumière par plusieurs couches non superposées; celui des variations de l'intensité d'un système de courants ne s'intluençant pas mutuellement.

Lorsque Téquation relative à l'une des variables caractéristiques dépend des autres variables du système, le phénomène sera dit complexe. Tel serait le cas d'un mouvement curviligne dans le plan ou dans l'espace; celui des variations de rintensité d'un système de courants à induction mutuelle.

Ceci étant, il résulte facilement de ce qui précède les conclusions suivantes :

1° Tout phénomène simple se ramène à une équation différentielle ordinaire ou à difterences mêlées;

2** Tout phénomène composé de n phénomènes simples se ramène à un groupe de n équations différentielles indépendantes, ordinaires ou à différences mêlées;

3° Tout phénomène complexe se ramène à un svstème d'équations différentielles simultanées.