IV. — Quelques théorèmes généraux
22. Théorèmes de Véquilibre dynamique et de l'impulsion des causes. — Les équations fondamentales précédentes conduisent à des conceptions et à des principes embrassant, comme cas particuliers, ceux de la Dynamique.
4o CHAPITRE II.
Ainsi Téquation générale du svslème (6) écrite sous la foraie
— Ki-j^~ Xi, -^ Xo^. 4- . . . + X„,, = o dt
exprime le théorème suivant :
// y a à chaque instant équilibre entre Vinertie d'un phénomène et les causes actices relatives à ce phénomène,
l*ar analogie nous pouvons ?^\^\)e\tY ini pulsion élémentaire d'une cause d'intensité X Texpression \dt. Linlégrale
\dt
représenterait Vimpulsion totale de la cause relative à Tintervalle t — ^o de la variable indépendante. L'équation générale du système (6) donne encore
a/ — a/o = j^ / ( X,^. -^ X,,. -T- . . . -^ X,„ . ) dt ;
de là le tiiéorème suivant :
L'accroissement d'une variable caractéristique correspondant à une variation t — ^o ^^^ ^(^f^ variable indépendante est proportionnel à l'impulsion totale des causes relatives à cette variable.
23. Travail des causes. — Par analogie avec la dynamique, nous appellerons travail élémentaire Se d'une cause d'intensité X l'expression Xdq., q étant la coordonnée relative à la variable caractéristique a, objet direct de la cause X. L'intégrale
CB = / X dq
représentera le travail total de la cause dans l'intervalle t — to de la variable indépendante. Le Tableau suivant met ea évidence la signification plivsique de (sc- X et q dans quel([ues cas particuliers.
ESQUISSE d'une mécanique GÉNÉRALE. ^l
Tableau VII.
, . , . [ Coordonnée géo-
Travail mécanique, borce mecaiiique. < , .
' ( métrique.
Travail élastique. Pression extérieure. Volume.
Travail thermique. Température absolue. Entropie.
^ ., ,, . ,, . \ Quantité d'électri-
Travail électrique. Force electromotrice. , . ,
' / cite.
„.,,.. „ ... \ Masse du corps
Iravaii ciiimique. rorce chimique. < ,. , ,
' ^ ( transiorniable.
Posons pour simplifier
et considérons la fonction T définie par Texpression
(7) 2T = K,af-4-K2a|4-...-+-K„a;2,
on en déduit
De sorte que les équations générales (6) s'écrivent
isy-^
d / ôT d't
(8) { dt\â%o
dt\d'xj-^"'
Multiplions les premiers membres par 'Xidt et les seconds par son égal dqi et ajoutons, il vient
les signes \ désignant des sommes étendues de i à n. Gomme on a identiquement
le premier membre de réqualion (9 ) peut s'écrire
dT ^^ oT
d 7 a,- 7 - — ch.;
A^ ÔT-i ^ ÔOLi
Comme on a cFaiitre part
dT ^T' ôT
> oi; — -5 clT = 7 - — dii.
réqualion (9) s'écrit finalement, en simplifiant et en remarquant que le second membre représente le travail élémentaire ^e des causes qui assissent sur le système,
dT = (?,.
Dans le cas particulier où le tra\ail élémentaire (?^ serait la diflTérentlelle totale exacte dV dune fonction U des variables du système, Téquation précédente s'écrirait
dT = dU,
d'où Ton tire en intégrant
h désignant une constante. Cette équation est analogue à l'intégrale des forces vives en mécanique; T correspondant à la demi-force vive du système et U à la fonction des forces.
2i. Remarque sur l'énergie cinétique d'un système. — Bien que la fonction T définie plus haut joue le rôle de la demi-force vive en mécanique, nous ne pouvons pas l'appeler énergie cinétique du système. Si, en effet, nous adoptions cette définition, l'énergie cinétique ainsi définie ne correspondrait pas à la réalité : dans tous les cas, en électromagnélisme, par exemple, l'énergie d'un système de courant en présence devrait seulement comprendre la demi-somme des produits des coefficients de self-induction par les carrés des intensités; or, on sait que les coefficients d'induction mutuelle figurent dans l'expression de cette énergie.
Tout ce qu'on peut dire, c'est que, si T désigne l'énergie cinétique réelle du système, les équations générales ( 6) doivent pouvoir se mettre sous la forme
d ( dT\ ^^
ESQUISSE D UNE MECANIQUE GENERALE. 4i
qui est celle des équations de Lagrange; la fonction -X, pourra être identique à la fonction X, ou n'en être qu'une partie. Dans le premier cas, l'énergie du système aura évidemment la forme (7); dans le second, l'expression de l'énergie sera plus compliquée. Mais cette condition ne suffit pas à définir l'énergie, car dans beaucoup de cas il arrive qu'il existe plusieurs fonctions T, telles que les équations générales du système ont encore la forme (10). C'est ce que nous allons montrer par un exemple emprunté à l'électromagnétisme.
Considérons un système de courants I,, L, ..., 1„ en présence; en désignant respectivement par E, R, L, M les forces électromotrices, les résistances, les coefficients de selfinduction et les coefficients d'induction mutuelle, les équations du système sont
It ^'2 -F R T AI "^^1 AT '^^' M ^^"
f T ^^^'^ - F RI AI ^^^1 AI ^^^2 ,j f^l«-l
En posant
•2T = L,Jf+L,I:2-i-...-i-L„12,
\. p. D.T. AI . ^'1 AI ^^^",
les équations (11) peuvent se mettre sous la forme (10). Nous allons voir cju'on peut former une autre fonction T jouissant de la même propriété. Considérons en effet la fonction T définie par l'expression
2T = Ml, J| -+- M, 2 1, J, ^. . .+ M,„ f, 1„
^ M„i l« Il -^ M„2 1« I2 + . . . -i- M,,,, l^ Posons
Mii=:Li, M.2 2=1^2? •••5 ^l/^«=L/^•
Comme on a d'autre part M/y= My^, il vient
<12) 2T = 3:L,lf4-2^M,yl,ly.
Il en résulte qu'en posant
la «'«^'^ équation du système (i i) coïncide avec Féquation (lo), et que la fonction T définie par l'égalité (12) satisfait aussi à la définition de Fénergie du système. C'est elle qui représente l'énergie électrocinétique donnée pour la première fois par Maxwell.
Envisageons encoi-e un système formé par des courants et des aimants, en considérant les aimants comme des systèmes de courants particulaires fermés. En désignant par I l'intensité de l'un des courants proprement dits du système, par J celle de l'un des courants élémentaires magnétiques, la fonction T qui représente l'énergie réelle du système sera de la forme T = Ti + T.24-T3,
Tj étant une fonction quadratique des variables I, T., une fonction bilinéaire des variables I et J et T3 une fonction quadratique des J. Nous allons voir que la fonction T ainsi définie satisfait à l'équation (10) en posant çV-/ = E/ — H( ii.
Développons, en effet, celles de ces équations qui se rapportent au\ variations des intensités I des courants proprement dits. Comme l'on a
(Li désignant les coefficients de self-induction des circuits proprement dits. M/y leurs coefficients d'induction mutuelle et M^y les coefficients d'induction électromagnétique), et comme T3 ne dépend pas des I/, on aura
âT ôTi dT^ 'dT/ ~ ~d\7 à\i '
de sorte que Téquation (10) donne ici
Cette équation est bien celle que l'on admet comme régissant le mouvement de l'électricité dans les circuits
SCHEMAS GENERAUX REPRESEXTAM L ACTION DKS CAUSES.
25. Préliminaires. — Les principes et les équations qui précèdent embrassent une foule de phénomènes particuliers dont on déduirait les lois en attribuant aux conceptions abstraites qui en font l'objet, diverses significations concrètes. Ils s'appliquent directement à la recherche des lois des phénomènes dans lesquels on connaît la nature dynamique des causes engagées et ces lois restent les mêmes quelles que soient la nature physique de ces causes ainsi que celle du phénomène lui-même.
Nous en ferons quelques applications à l'étude des actions des causes de nature dynamique connue, en nous bornant au cas des causes directes; c'est d'ailleurs à ce cas, comme nous l'avons vu, que se ramènent aussi ceux des causes indirectes. Dans ce qui va suivre nous ne considérerons que des systèmes définis par une seule variable caractéristique a et par suite une seule coordonnée g. Cette variable caractéristique sera Tobjet direct de causes d'intensités Xj, X2, . . . , X,„, de sorte que les équations du phénomène seront
il) K — = Xi + X, 4- . . . -^ X,,,, dq — y.dt = o.
Xous allons étudier en détail ce système d'équations en faisant sur les fonctions X les diverses hypothèses qui ont été indiquées au n° 19, et nous signalerons, dans chaque cas particulier, quelques applications physiques de ces schémas généraux.
26. Action d'une cause d'intensité constante. — Nous avons par hypothèse m =r i avec
Xj = const. ;
46 CIIAPITUE III.
les équations (i) donnent immédiatement
Ka = Xi ^ -^ A,
A et B étant deux constantes arbitraires déterminées par les conditions initiales; a suit une loi linéaire en fonction de /, q une loi parabolique, a croîtra indéfiniment dans le sens positif ou négatif suivant le signe de la cause.
Ce schéma s'applique, en particulier, au mouvement descendant ou ascendant d'un corps pesant tombant dans le vide; au mouvement de Félectricité produit par une force électromotrice constante dans un circuit doué de self-iiiduction et de résistance négligeable. Dans le premier cas % désignerait la vitesse et q la cote du corps pesant ; dans le second les deux variables désigneraient respectivement l'intensité du courant et la quantité d'électricité.
27. Action crime cause à cariation indépenclante. — On a par hypothèse m = i avec
f{^t) étant une fonction donnée de la variable indépendante. On voit facilement que l'intégration du système ( i ) se ramène à deux quadratures successives. La fonction /(^) étant proportionnelle à la dérivée de a, il en résulte que a croîtra ou décroîtra suivant que la cause sera renforçante ou antagoniste et passera par ses maxima ou minima lorsque l'intensité de la cause s'annulera. Ce schéma s'applique au mouvement rectiligne d'un point matériel sous l'action d'une force dont l'intensité est fonction du temps; à la variation d'une variable a, caractérisant le progrès d'une maladie, lorsque celle-ci est l'effet d'un groupe de bacilles combattu par un autre groupe, les bacilles se multipliant sui\ant des progressions géométriques.
Dans le cas particulier où la cause est périodique, l'eiret sera aussi périodique, avant précisément pour période celle de la cause elle-même. Si, par exemple, les variations de la cause sont régies par une loi pendulaire simple, il en sera de même de celles de la variable a. L'intensité de la cause sera
en avance d'un quart de période sur la variable a. Quant à la loi de variation de la coordonnée 17, elle sera la superposition d'une loi pendulaire et d'une loi linéaire.
28. Action d'une cause d'intensité proportionnelle à son objet direct. — On a dans ce cas m =r i avec
Xi = Xa,
X étant le coefficient d'activité de la cause Xi. L'intégration des équations (i) donne ici
K r ht-t,. ]
ao et <7o sont les valeurs de a et de ^ correspondant à la valeur initiale t^ de t.
La variable caractéristique variera toujours dans le mênie sens, en croissant ou en décroissant suivant le sens de la cause; dans le premier cas elle augmentera indéfiniment avec la variable indépendante; dans le second cas, elle tendra asymptotiquement vers zéro. La variation est d'autant plus rapide que le coefficient d'activité de la cause est plus grand et le coefficient d'inertie plus petit. L'expression
Io<it. a — loiïc^o X t— t, "" K
conservera une valeur invariable pendant toute la durée du phénomène, et cette valeur sera positive ou négative suivant que la cause sera renforçante ou antagoniste.
Ce schéma embrasse tous les phénomènes dans lesquels les causes, en agissant, grandissent en intensité ou s'affaiblissent en raison directe de l'effet produit; il s'applique à tous les phénomènes contenus dans le Tableau I dans lequel x correspond à t, et y à a.
29. Action d' une cause antagoniste d'intensité proportionnelle à la coordonnée. — Comme on a par hypothèse m =2 I avec
Xi=:— X^,
les équations (i) deviennent
(!([ — y-dt = o.
En éliminant a entre ces deux équations, on obtient ^r d^q .
équation dont l'intégrale générale est
.y=:As,n^/-^-Bcosy/ -t,
A et B désignant deux constantes arbitraires. Si l'on suppose que pour ^ = o, a = ao, q z=z o, il vient
?=a„^|sin^A,^ o< = a„cos^.
On voit que le phénomène est oscillatoire et de période T donnée par l'équation
On voit que T augmente avec le coefficient d'inertie et diuiinue lorsque le coefficient d'activité augmente.
Les maxima de la coordonnée ont pour valeur commune
et varient dans le même sens que la période avec les coefficients K et X. Le maximum de la variable caractéristique est ao.
L'exemple le plus simple de phénomènes rentrant dans ce schéma est fourni par les petites oscillations d'un pendide simple pesant dans le vide : a désigne la vitesse, q l'élongation et t le temps; la cause Xj est la pesanteur qui tend à ramener le pendule vers sa position d'équilibre.
Ce schéma embrasse aussi le phénomène des vibrations d'un pendule simple élastique, celui des oscillations d'un liquide dans deux vases réunis Ipar un tube horizontal, celui
de la décharge des condensateurs, elc, en supposant toutefois les résistances de frottement et les résistances électriques négligeables.
30. Action simultanée de deux causes; Vune à variation indépendante, Vautre d'intensité proportionnelle à son objet direct. — On a m = 2 avec
Xi=/(0-, Xs^zhXa.
La première équation du système (i) est par suite
l'intensité X2 étant prise avec le signe -H ou le signe — suivant que la deuxième cause est renforçante ou antagoniste. Si la cause d'intensité Xi est constante, on obtient facilement comme expression de a en fonction de t
on en déduit
• a = aoe ^
le premier signe correspondant au cas où la deuxième cause est renforçante, le second au cas où elle est antagoniste. Dans le premier cas a croît indéfiniment avec t\ dans le
seconda tend asymptotiquement vers la valeur -r- qui caractérise l'état permanent.
Ces équations s'appliquent aux phénomènes suivants : 1° Mouvement d'un treuil muni d'ailettes sous l'action d'un poids constant. Le poids produirait un couple constant Xi et les ailettes un couple résistant X2 proportionnel à la vitesse angulaire a.
2° Mouvement de l'électricité dans un circuit doué de résistance et de self-induction sous l'action d'une force électromotrice constante Xi produite, par exemple, par une pile. L'effet de la résistance du circuit serait de produire une Sclentia, n° 27. 4
5o CHAPITRE III,
force contre-électroiiiotrice X2:= — Àa proportionnelle à l'intensité du courant a.
3° Transformation graduelle d'un comjiosé défini sous l'action de deux causes, Tune d'intensité constante Xj. l'autre antagoniste Xo proportionnelle à la quantité a du corps transformé.
Dans le cas général, Xj est fonction de t et l'équation (2) devient une équation linéaire du premier ordre à coefficients constants avec second membre; comme son intégrale généiiele est la somme dune solution particulière et de l'intégrale générale de l'équation sans second membre, il en résulte que le phénomène peut être considéré comme la superposition de deux phénomènes plus simples :
i<^ L'un défini par une solution particulière de l'équation (2) consistant dans la variation de la variable caractéristique suivant une loi qui change avec la forme de la fonction X,, mais qui reste invariable quand l'état initial du phénomène change.
2° L'autre donné par l'intégrale générale de l'équation sans second membre, qui est une loi exponentielle indépendante de Xj mais variant avec les conditions initiales. Ce phénomène deviendra de plus en plus intense ou de plus en plus faible suivant le signe de X,.
Si la cause X, est antagoniste, le deuxième phénomène tend à disparaître et devient insensible pour des valeurs de t suffisamment grandes. A partir de là le phénomène résultant entre dans un régime définitif qui s'établit et reste le même quel que soit l'état initial du phénomène; ce régime se confond avec le premier phénomène.
Parmi les phénomènes qui rentrent dans ce schéma, citons les suivants :
1° Lorsqu'un conducteur est parcouru par des courants alternatifs, sa température T varie avec le temps t suivant une certaine loi (^). Admettons :
a. Qu'on opère avec un fil métallique assez fin pour que
(^) Ch.-Eug. Guye. Quelques remarques sur les vaj'lations de température cVun conducteur parcouru par des courants alternatifs {Ar^hU-es des Sciences physiques et naturelles de Genève, 1897, p. 254).
SCHÉMAS GÉNÉRAUX REPRÉSENTANT l'ACTION DES CAUSES. 5l
FacLion du courant soit la même dans toute l'étendue de sa section ;
p. Que la loi du refroidissement soit celle de Newton ;
Y. Que l'intensité du courant varie suivant une loi pendulaire simple,
i = losm'îT. — .
fc)
La température T du iil peut être considérée comme l'objet direct de deux causes : Tune à laquelle donne naissance la différence entre la température du til et celle du milieu, l'autre due au courant. La première, jouant le rôle de X,, varie, d'après la loi de Newton, en raison directe de la température du fil; la seconde, jouant le rôle deXj, varie, d'après la loi de Joule, en raison directe du carré de l'intensité i du courant. L'équation différentielle du phénomène de variation de la température sera donc de la forme
K —r- = rt 1 -f- t> sm-ST —> dt e
où a et b désignent des constantes. Les particularités du phénomène sont contenues dans le schéma précédent.
2" Lorsqu'une radiation lumineuse simple décompose un liquide translucide (^), elle peut subir en le traversant une double absorption, l'une, qu'on peut appeler absorption physique, due à ce que le milieu n'est pas parfaitement transparent, l'autre, qu'on peut appeler a650A'/?^fo/z chimique^ qui provient de ce que la lumière décompose le liquide en diminuant sa transparence, et cela d'autant plus que l'intensité de la radiation lumineuse est plus grande. La variation de cette intensité i avec la profondeur t peut donc être regardée comme étant due à deux causes, la première d'intensité Xi correspondant à l'absorption physique, la seconde d'intensité X, correspondant à l'absorption chimique. D'où l'équation
.- di.
(^) G. Lemoixe, Étude quantitative sur l'action chimique de la lumière {Comptes rendus, i8gi, p. 906; Comptes rendus, 1894, p. 5'25).
La cause Xi. si elle agissait seule, imposerait aux variations de i une loi de la forme
i = Ae-«^
où A et a désignent des constantes positives; on aura par suite (Chap. II, n« 20)
B désignant également une constante positive.
Enfin l'intensité X, de la deuxième cause qui est antagoniste peut être supposée proportionnelle à l'intensité «, de
sorte qu'on aura
X, = — Ai.
De là l'équation dinférentielie du phénomène
Iv -y- = — Be-«^- A/, dt
à laquelle on peut appliquer directement les conclusions contenues dans le schéma précédent.
31. Cas particulier oit la fonction f(t) est sinusoïdale. — Le cas ou la cause X, est à variations pendulaires simples ou sinusoïdales et la cause Xg antagoniste est particulièrement intéressant. L'équation (2) devient dans cette hypothèse
,doi t .
K -r- = a SI H?.- - — /a, dt r
équation dont lintégrale générale est
où A désigne une constante arbitraire et -^ un angle défini I ar la relation
Lorsque la variable indépendante t atteint des valeurs suffisamment grandes, Je terme exponentiel devient négli-
geable et la variable caractéristique -j. suit une loi pendulaire simple de même période que la cause Xo et indépendante des conditions initiales. Remarquons que le régime permanent s'établit d'autant plus vite que le coefficient d'activité À est plus grand et le coefficient d'inertie K plus petil. Enfin la variable caractéristique a présente par rapport à la cause X, un retard ou décalage o proportionnel à leur période et au coefficient d'inertie.
Ce schéma embrasse, par exemple, le phénomène bien connu de la variation d'intensité d'un courant sous Faction d'une force électromotrice périodique, produite par la rotation uniforme d'un cadre dans un champ magnétique uniforme autour d^un axe perpendiculaire à la direction du champ; ^désignerait le temps, a l'intensité du courant, Iv et À respectivement le coefficient de self-induction et la résistance du circuit, a la valeur maxima de la force électromotrice due au mouvement du cadre. La quantité ^ T représente le temps qui s'écoule entre deux passages consécutifs par zéro de la force électromotrice et de l'intensité du courant.
32. Action simultanée d'une cause d'intensité constante et d'une cause à retard antagoniste fonction de l'objet direct (^). — Nous avons ici m = 2 avec
Xi = const, X, = — F[a(^ — ^0)],
a(i tç,) désignant la valeur de la fonction a(0 q^i correspond à la valeur antérieure t — t, de la variable indépendante. La première des équations (i) donne ici
(3) K^^=X,-[Fa(^-^o)].
Sans faire d'hypothèses particulières sur la fonction X,, si Ton suppose simplement que a tend vers une limite finie a quand t croît indéfiniment, il est facile de déduire de l'équation (3) la propriété suivante :
(') Les développemenls qui suivent sont empruntés à un travi encore inédit de M. G. Sagnac.
Si la variable a traverse sa limite a en croissant ou en décroissant, elle passe par un maximum ou par un minimum un instant t^ après un passage par sa limite.
Remarquons d'abord que jDOur t^=zyz^ 'x{t)z=z a et — =: o,
il en résulte d'après l'équation (3) que
Xi=F(a).
Soit maintenant ^i la valeur de ^ qui correspond au passage de a par sa limite a.
On a
y.[tx) = a;
posons ^2= ^i-H ^o; à l'instant t^ la fonction F a pour valeur
F[af/,-^o)] =F[a(/0] =F(»=Xi,
on en déduit que pour t z= t.^ -— z=: o, ce qui caractérise précisément un maximum ou un minimum de a.
Nous allons étudier en détail le cas où la fonction F est de la forme
F[a(^ — t,)] =Xa(^— ^0,),
À étant le coefficient d'activité de la cause Xo. L'équation (3) devient dans cette hypothèse
^, df. ^^ . , K— =X,— AaC^ — fo), dt
et son intégrale générale est
(4) a = Ji ^ Ale'•.^-^A2e'■.^^-l-y C/e^i^sin(3,r-4-cp/),
dans laquelle Aj, A,, C/, '-p^ sont des constantes arbitraires, /■, et /'o les racines de l'équation
et a^- et |B;- les racines du systènit
a," -T- 7^ e-x.-^o cos 3/ ^o = o>
SCHÉMAS GÉNÉRAUX REPRÉSENTANT l'aCTION DI:S CAUSES. 55
L'équation en /• a deux racines négatives î\ et i\ si ). I
elle n'a qu'une racine si 7^ ^0= -; *in^\n elle n'a pas de ra-
cines si -r^ ^o> -• Iv e
On voit que le phénomène (a) est la superposition d'un phénomène constant et de phénomènes partiels qui se dissipent avec des vitesses dififérentes, les uns suivant la loi exponentielle, les autres introduits par le retard, suivant des oscillations sinusoïdales amorties d'amplitudes et de périodes difïérentes.
Les termes purement exponentiels diminuent d'autant plus
rapidement que j^ 6t ^0 sont plus grands; au contraire l'amortissement des termes oscillatoires est d'autant plus rapide que ces deux quantités sont plus petites. La variable a tend
en résumé vers la valeur -V^, en effectuant une série d'oscil-
lations amorties.
Si l'on veut savoir ce que devient le système quand l'action constante Xj cesse, il suffit de faire Xj égal à zéro dans l'expression de a. On voit alors que le système revient à un état initial en effectuant une série d'oscillations d'amplitudes décroissantes.
Dans les deux cas, on peut remarquer que la variable caractéristique tend vers la même limite que si le retard /^ n'existait pas.
La série (4) joue, dans l'étude du régime variable du schéma précédent, un rôle analogue à celui que joue la série de Fourier dans l'étude des régimes oscillatoires permanents. Les constantes de la série de Fourier sont remplacées par des exponentiels amortis.
On peut, à un certain point de vue, regarder t^ comme l'analogue de la période fondamentale d'un phénomène pério-
dique permanent; les phénomènes partiels de périodes -^ et
de coefficients d'amortissement — a^ sont alors les analogues des sons supérieurs d'une corde vibrante.
33. Calcul de la variable caractéristique par quadratures successives. — De même que la connaissance d"un phénomène périodique pendant toule une période fondamentale définit le phénomène à toute époque, de même, si Ton connaît les variations d"un système soumis à une cause à retard, pendant tout un intervalle ^^i révolution entière du système est définie à toute époque. En effet l'équation (3) déterra ..
mine -7- dans l'intervalle suivant t^ d'où Ion déduit a (^) dans
cet intervalle et par suite a( ^ — ^ç,), d ou — dans 1 intervalle
suivant, etc.
Nous allons faire ce calcul dans le cas d'une action constante X], en supposant qu'on parte d'un état vierge caractérisé par a =: o. Prenons comme origine de la variable indépendante que. pour fixer les idées, nous supposerons être un temps, l'instant où la cause \i apparaît. Alors, dans le |)remier intervalle t^^, a(^ — ^0 ) =: o par Inpothèse et l'équation (3) donne
3ti désignant la valeur de a à un instant quelconque du premier intervalle, d'où
ai= — i ?-+- A.
A étant une constante aibitralre; or pour ^ = 0, «1 = 0, donc A = G.
Dans le deuxième intervalle, c'est-à-dire quand t varie de ^0 à 2^0- ^2 (^ — ^0) correspond à la variation de a dans le premier intervalle ; on a donc
a^{t — t^) = -^ {t — t,), et Téquation (3) donne
d'où
SCHÉMAS GÉNÉKAUX REPRIÎSENTAN T l/.VCTION DES CAUSES. 5;
A étant une constante arbitraire; or pour t = t'o, a^izz — i t^,
ce qui détermine A et donne finalement
On trouverait de même pour le troisième intervalle et dans le /z'*"'^^ intervalle
Si l'on considère maintenant le retour à l'élal primitif, la
variable a partant de la valeur limite ^ vers laquelle elle
tendait lorsque le système était soumis à l'action constante X,, ou trouve pour l'expression aj, de a dans le /i'^™'' intervalle t^
a,^ étant donné en fonction de t par l'équation précédente. Autrement dit, la variable caractéristique décroît exactement comme elle avait augmenté dans le phénomène de la modification due à une action constante Xj exercée sur le système à l'état caractérisé par a = o. Les courbes des deux phénomènes ne diffèrent que par une translation et par un retournement autour d'un axe parallèle à l'axe des t. Si la
courbe d'aller oscille autour de la valeui
la courbe d(
retour oscille de part et d'autre de la valeur zéro.
M. Sagnac a été conduit à ce schéma pour expliquer certains phénomènes pholochimiques. L'expérience a montré, pour l'action piiotochimique de la lumière, que, si le temps d'illumination de la couche sensible va en augmentant, limage se développe en noir de plus en plus intense jusqu'à une certaine valeur; cette valeur une fois atteinte, l'intensité
du noir va en diminuant jusqu'à un certain minimum; celui-ci est suivi d'un second maximum, puis vient un second minimum et ainsi de suite. jNI. Janssen en a compté trois, mais la rapidité avec laquelle les oscillations du phénomène s'amortissent semble seule avoir empêché d'en compter davantage. D'après le schéma précédent l'une des explications de ce caractère oscillant consisterait en ce qu'on le considère comme l'objet direct de deux causes : l'une renforçante et invariable, l'autre antagoniste proportionnelle à la valeur de l'objet direct relative à une époque antérieure. D'après l'hypothèse par laquelle M. Sagnac explique le phénomène, la première cause serait la tendance invariable de la lumière à modifier le sel d'argent de la couche sensible; la seconde serait due à une réaction de cette couche, qui produirait, avec un certain retard, une modification inverse de la couche sensible.
^k. Cas où la cause Xj est périodique simple. — Supposons qu'on ait
on
aura XiiniP pour ^ = o et l'équation (3) deviendra
,r doL . ^ . P/ ^\
(a) K — -^ Aa(^ — /o) = -( i-i- COS27: - ).
L'intégrale générale de cette équation est la somme de l'intégrale générale de Téquation sans second membre, donnée par l'équation (4) où l'on y fait X,=: o, et d'une solution particulière
F(0= ^IC0S(2-;^ -Oj^-y,
dans laquelle M et 0 sont des constantes définies par les
relations
tango ==-^ ^-
-cos.::-
SCHÉMAS GÉNÉRAUX REPRÉSENTANT l'aCTION DES CAUSES. 59
Pq^ip iJl :r= o, on retrouve le résultat connu
L'intégrale générale de l'équation (5) est donc en définitive
et, si les a, ne peuvent être que négatifs, on voit que a tend vers ¥{t) quand t croît indéfiniment; autrement dit la variable caractéristique tend à osciller suivant une loi sinusoïdale de même période que la cause Xi mais de phase différente.
35. Action simultanée de deux causes antagonistes, l'une proportionnelle à l'objet direct, l'autre proportionnelle à la coordonnée. — On a par hypothèse m r=z i avec
Xi= — Xa, X2= — [J.^,
X et [j. étant les coefficients d'activité des deux causes. Les équations (i) donnent ici
^. doL
dt ' ^
dq — oLdt = o,
ce qui donne en éliminant a entre ces deux équations
^. d'^q . dq
Le caractère du phénomène dépend essentiellement des
grandeurs relatives des coefficients K, X et [x.
Posons
X2— 4tjiK
et distinguons les trois cas suivants :
i»p<o; en posant p = — r/-, on trouve pour l'intégrale générale de l'équation (6)
q = e~'^^ (A sin«^ -{- B cosrt^), A et B désignant des constantes arbitraires.
Si Ion suppose que pour ^ z= o, «y = o, il vient simplement
On en déduit
(j -= e -^ A sin at.
en posant
Le phénomène est périodique amorti; la période T a pour valeur
Les amplitudes successives des oscillations diminuent en
AT > rp,
progression Géométrique de période e -'^•. la quantité— p-
s'appelle le décrément logarithmique des oscillations.
"2° p>o; en posant pszza-, on trouve pour l'intégrale générale de l'équation (3)
A et B étant deux constantes arbitraires: on en déduit
en posant
Les quantités — ^ + a et — |^ — a étant essentiellement
* 2lv 2K
positives, la variable a ne peut présenter qu'un seul maximum ou minimum, à partir duquel elle varie constamment dans le même sens, en tendant vers zéro.
3° p =: o; l'intégrale générale est dans ce cas
g ={A -^ Bt le'^ ,
SCHÉMAS GIÏNKRAUX REPRÉSENTANT l'aCTION DES CAUSES. 6l
A et B étant deux constantes arbitraires; on en déduit :
en posant
(Ai-t-BiDe '^^',
2 K iW
La coordonnée et la variable caractérislirfue présentent au plus un maximum et tendent asymptotiquement vers zéro.
En résumé, l'effet sera continu ou oscillant. Dans le premier cas, qui aura lieu lorsque le coefficient d'inertie est petit par rapport au coefficient d'activité de la cause Xj, l'effet sera une fonction de t ne pouvant présenter qu'un seul maximum ou minimum, à partir duquel elle varie constamment dans le même sens en tendant vers zéro. Dans le second cas, qui aura lieu pour des valeurs suffisamment petites du
rapport jr, l'effet sera périodique amorti et tendra vers
zéro.
Parmi les phénomènes rentrant dans le schéma précédent, citons les suivants :
1° Mouvement d'un pendule simple pesant dans un milieu résistant, la résistance étant proportionnelle à la vitesse.
2° Mouvement d'un pendule simple élastique.
3° Décharge d'un condensateur électrique.
4° Mouvement d'un liquide dans deux vases réunis par un tube horizontal.
T^es éléments correspondants de ce groupe d'analogie sont indiqués dans le Tableau II du premier Chapitre; la correspondance des notations est facile à établir.
36. Action simultanée de deux causes, l'une d'intensité constante, l'autre antagoniste proportionnelle au carré de U objet direct. — \ous avons ici m = 2 avec
Xi=const., Xo = — Àa-.
L'équation difierentielle du phénomène est par suite
(7) K-=X,-Xa^
En supposant la première cause renforçante, c'est-à-dire
rintensité X^ positive, l'équation précédente a pour inté-
grale générale
A désigne une constante arbitraire; si nous comptons le temps à partir du commencement de l'action, nous devons avoir a r=z o pour / = o, ce qui donne
■et, par suite,
e '^ -^ I On voit que la variable caractéristique a va conslamment
en croissant et tend vers la limite i / -r- quand la variable
indépendante croît indéfiniment.
Si nous supposons maintenant que la cause d'intensité Xj cesse d'agir, l'équation (7) se réduit à la suivante
(8) kS = -"^
d'où Ton lire en intégrant
A désignant une constante arbitraire. Si nous supposons que la cause X^ a agi pendant un temps assez long pour qu'on
puisse prendre, à l'origine du temps, a égalai /^j il vient d'où
è'-i/xT'
ce qui montre que le système tend à revenir à son état pr mitif caractérisé par a == o.
Le schéma précédent s'applique à certains changements limités par une réaction provoquée par la modification ellemême. On peut citer des exemples très variés de systèmes qui, soumis à une action constante, éprouvent une modification graduelle qui tend vers une limite déterminée quand la durée de l'action augmente indéfiniment. Quand l'action est supprimée, ces systèmes tendent graduellement vers leurs états primitifs avec une vitesse de plus en plus lente. Ainsi une surface de sélénium ou une plaque photographique exposées à une radiation constante éprouvent de semblables modifications révélables par la variation de conductibilité électrique ou par l'image photographique qui apparaît dans un liquide convenable.
On peut expliquer la modification définie à chaque instant par la variable caractéristique a, comme étant l'objet direct d'une cause Xi d'intensité constante et d'une cause antagoniste X2 qu'on peut regarder comme étant proportionnelle au carré de la modification dans le cas de la recombinaison bimoléculaire des ions dans les gaz. On est ainsi conduit, pour représenter le phénomène, à l'équation (7) qui rend compte de toutes ces particularités- Ainsi, quand l'action constante cesse, le phénomène est régi par l'équation (8) qui montre que le système tend à revenir à son état initial.
En cherchant à établir une relation entre Tintensité de la
lumière émise par un corps phosphorescent et le temps
écoulé depuis le moment où l'excitation lumineuse a cessé,
M. Sagnac a admis que l'intensité I de la luminescence est
cH
proportionnelle à la vitesse de recombinaison des ions >
dt
si chaque ion en se recombinant émet une quantité définie de
lumière. Puisque l'action constante lumineuse n'agit plus,
l'équation du phénomène est l'équation (8) qui donne pour
l'intensité I
d'x ah 1
a désignant une constante. C'est la loi théorique du type
04 cHAciTRi: m.
trouvée expérimentalement pour la première l'ois par M. H, Becquerel (^), pour représenter la décroissance d'intensité de la luminescence d'un sulfure caractérisé par une seule bande spectrale.
37. Action simultanée de deux causes antagonistes, V une proportionnelle au carré de V objet direct, l'autre proportionnelle à la coordonnée. — \ons avons ici ni := i avec
Xi = — \%', X2 = — \J.q,
ce qui donne pour le système (i)
.. dy. , ^ , ,
K — = — Aa- — [xq . aq — a dt = o,
on en déduit par élimination
^. r/V/ , ( dq ."- (9) K^ + .(J)^;..y = o.
Si Ton suppose que pour
si l'on suppose de j^lus la valeur initiale </(, de la coordonnée suffisamment petite pour qu'on puisse négliger ses puissances supérieures à la seconde, l'intégration de l'équation (9) (-) donne
Le phénomène sera donc périodique de période
T = -i-i —' On voit que la période varie en raison directe de la racine
(') C. /?., t. GXIII, 1891, p. 618.
(-) Pour rinlCi;ralion approchée de l'équation (6) voir : i^oissoN\ Mécanique, 1" édition, l. I, p. 4^5: tSu. — Mascart et Joubkrt,. Leçons sur l'électricilé et le nia^nctisme. t. II, p. 2.5.
( lO) <
SCHÉMAS GÉNÉRAUX. REPRÉSENTANT l'aCTION DES CAUSES. 65
carrée du coefficient d'inertie et en raison inverse de la racine carrée du coefficient d'activité de la cause X, ; elle est indépendante du coefficient d'activité de la cause X,.
Étudions plus parliculiérement la loi de variation de la coordonnée d'un intérêt spécial dan;, les applications physiques de ce schéma. La valeur q^ de l'élongation qui succède à
l'élongation initiale ^^ s'obtient en faisant ^ = — dans l'équation (lo), on trouve
L'élongation suivante ([^ sera de même en valeur absolue
ou, au degré d'approximation adopté,
^2= ^0—2 -rr? ^5:
et d^ine manière générale
Les oscillations décroissent donc en progression arithmétique; elles s'éteindront après un nombre /i d'oscillations donné par Ja plus grande solution entière de l'inégalité
4A qo
On aura l'intervalle ti de la variable t correspondant à une demi-oscillation descendante, en faisant ^ =: o dans l'équation (lo), ce qui donne au degré d'approximation adopté
l'intervalle — correspondant à une oscillation simple n'est
donc point partagé en deux parties égales par la valeur de la variable indépendante correspondant au changement de sens d'une oscillation; l'intervalle correspondant à la demi-oscillation simple descendante est augmenté d'autant que celui Scientia, n» 27. 5
66 CHAPITRE m.
correspondanl à la demi-oscillation simple ascendante est
diminué, puisque 1 intervalle — correspondant a 1 oscillation
simple n'a pas changé.
Ce schéma embrasse, par exemple, le phénomène d'oscillations pendulaires d'un corps solide dans un milieu qui lui oppose une résistance variant proportionnellement au carré de la vitesse; ceci arrive, en particulier, pour les vitesses suffisamment grandes, a désigne la vitesse, q l'élongation, X^ la résistance du milieu, Xo la force motrice.
38. AcLioii siinultanêe de tirais causes, la première à \mriation indépendante, la deuxième antagoniste proportionnelle à V objet direct, la troisième antagoniste proportionnelle à la coordonnée. — Xous avons dans ce cas m = 3
avec
Xi=/(n, X2=— Àa, X3Z= — X^.
ce qui donne le système
,r dy. ^ , - ,7
\\ — =f(t ) — Aa — 'j.q, dq — y.dt — o,
d'où Ton déduit
Si nous supposons la quantité /- — 41^1^ négative et si nous posons
l'intégrale générale de l'équation (ii) est
q = Ae^^ïï' sm(at -h ç)-t- ^(t),
A et o désignant des constantes arjjitraires et la fonction
*l>(^) une solution particulière de l'équation (8). On en
déduit
a = Be -^ sin(at-i-'l)-, ^j
' ^ dt
B et 'l étant des constantes liées aux premières par les rela-
SCHÉMAS GÉNÉRAUX. REPRÉSENTANT l' ACTION DES CAUSES. 67
lions
B = Ai/ a^--{- ( —r\ , tangd^ =
a sinci -\ — coso
— - sin o — a coso 2K
L'eft'et sera donc la superposition de deux effets simples :
1° L'un consistant dans les variations des variables a et rj suivant des lois dont la forme dépend de la fonction Xj ;
2° L'autre consistant dans les oscillations amorties autour d'un état limite a z— o, q =: o, vers lequel tendrait le phénomène si la cause Xj n'existait pas.
A mesure que t ira en augmentant, le phénomène tendra vers un régime permanent défini par les lois
et s'en rapprochera d'autant plus rapidement que le coefficient d'activité X de la cause Xg sera plus grand, et le coefficient d'inertie plus petit.
Ce schéma embrasse un grand nombre de phénomènes dont .voici les principaux :
1° Phénomènes présentés par les appareils enregistreurs ou indicateurs à oscillations, comprenant un organe mobile (aiguille, crayon, membrane, miroir) susceptible d'un déplacement rectiligne ou circulaire et soumis aux actions simultanées :
a. D'une force constante que l'on cherche à mesurer.
^. D'une force antagoniste sensiblement proportionnelle à l'écart de l'organe mobile compté depuis une certaine position.
Y- D'une force amortissante proportionnelle à la vitesse de déplacement de l'organe mobile. La coordonnée du système serait l'écart de cet organe, la variable caractéristique la vitesse du déplacement; la variable indépendante serait le temps. La cause Xi serait invariable et se confondrait avec la première force.
2" Décharge oscillante entretenue d'un condensateur, l'entretien étant réalisé par une source d'électricité fournissant une force électromotrice constante ou variable. La coordonnée g est ici la quantité d'électricité, variable pendant la décharge, la variable caractéristique a est l'intensité du
courant et ]a variable indépendanle t le temps. La cause d'intensité X, désigne la force électromotrice de la source; la nature physique des causes d'intensité Xj et X3 est indiquée dans le Tableau II.
3° M. VioUe a observé que, lorsqu'on chaufte brusquement un des pôles d'une pile tliermoélectrique, en série avec un galvanomètre, l'aiguille de celui-ci dévie, dépasse la position où elle doit finalement se fixer et y arrive après une série d'oscillations d'amplitude décroissante. On arrive à se rendre compte des particularités du phénomène en remarquant que la différence de température des deux pôles de la pile thermoélectrique variera avec le temps suivant la loi de Newton à partir du moment oîi l'on commence à échauffer l'une des faces et que, par suite, fintensité du courant sera une fonction du temps de la forme
ou a et b sont des constantes positives. C'est cette intensité qui constitue la cause à variation indépendante X, ; si Ton prend comme coordonnée et comme variable caractéristique respectivement l'écart de l'aiguille et la vitesse de déviation de celle-ci, de manière que le phénomène soit ramené au schéma précédent, on trouve bien pour q et y. des expressions qui correspondent à la loi du mouvement de l'aiguille directement observée (^).
4° Dans l'étude du mouvement de l'électricité dans un résonnateur, la loi de variation de la cause Xj avec le temps
est de la forme {^)
Xi = ae~''ts\n(î7it -r- n),
où <7, b, m. n désignent des constantes, la constante b étant essentiellement positive; la coordonnée q désigne la différence de potentiel aux deux pôles du résonnateur et la variable a, la vitesse de variation de cette différence de potentiel.
39. Cas où la cause Xj est périodique. — Nous allons traiter avec quelques détails ce cas qui se présente dans un
(^) E. Merritt, American journal of Science, t. XLI, 1891, p. 417- (-) V. BjERKXESS, Wied. Ann., t. LV, p. 121.
SCHÉMAS GÉNÉRAUX REPRÉSENTANT l'ACTION DES CAUSES. 69
grand nombre de phénomènes naturels. Commençons d'abord par envisager le cas le plus simple où la cause Xj est pendulaire simple
Xi= P sin (271 - — oj,
P désignant l'amplitude de la fonction Xi, 6 sa période o, une constante. On a dans ce cas
oi^i M et ç désignent des constantes définies par les équations
(i3) tang(^-o) = -
