ITA

on en déduit

Le phénomène (a) sera donc la superposition de deux phénomènes oscillants :

1° L'un, ayant pour période la période T qu'aurait le phénomène si la cause Xj n'agissait pas et s'éteignant rapidement à cause du facteur exponentiel;

■2° L'autre, ayant pour période la période 6 de la cause Xj, et pendulaire simple d'amplitude N.

C'est ce phénomène qui correspond au régime permanent. Ce régime une fois établi, la variable caractéi islique a variera suivant la loi

a = Xsin('2--^ -yj, et la coordonnée r/ suivant la loi

rj = M sin (^2- - — La coordonnée présente par rapport à la cause Xj une

différence de phase ; — o jjroportionnelle au coefficient d'ac livité X de la cause amortissante: cette différence de phase s'annule donc avec X.

La variable caractéristique présente également par rapport à la cause Xj une différence de phase égale à y — o.

Des résultats précédents se dégage ce fait important que, toutes les fois que la cause X^ est périodique simple, il s'établit une sorte de synchronisation des oscillations, lorsque la variable indépendante atteint des v>aleurs suffisamment grandes; le régime, variable au début, finit par atteindre un état stable où le plienomène adopte la période de la cause Xj. Ce régime stable est d'autant plus rapidement atteint que le coefficient d'activité de la cause amortissante est plus grand.

Plaçons-nous, maintenant, dans le cas d'une cause périodique quelconque Xj. L'expression de son intensité en fonc tion de la variable indépendante est, en général, développable en série de Fourier

Xi = ZP,,sin(2-/î - — w, ),

la fonction ^{t) deviendra la somme d'un nombre limité ou illimité de termes

*(0 = :^M,,sin('2-/i |— ;/;

où les M„ et les :„ sont des constantes définies par les équations (12) et (i3) dans lesquelles on a changé P en P„,

0 en 0,., 6 en — • n

Le piiénoméne résultant sera la superposition de plusieurs phénomènes oscillants :

1° L'un, ayant pour période la période T qu'aurait le phénomème si la cause Xi n'agissait pas, et s'éteignant rapidement par suite de la présence du facteur exponentiel;

2° Les autres, en nombre limité ou illimité, ayant pour périodes respectives

dont chacune correspond à un terme de la fonction *(^). Chacun de ces phénomènes représente un phénomène

SCHEMAS GENERAUX REPRËSENTANT L ACTION DES CAUSES. Jl

simple correspondant à un rang n; ces phénomènes simples s'appellent les harmoniques du phénomène intégral dont celui-ci devient la superposition quand le régime permanent est établi. L'influence des harmoniques devient de plus en plus faible à mesure que le rang n augmente, leurs amplitudes tendant vers zéro quand n croît indéfiniment et cela a lieu aussi bien pour les harmoniques de la variable caractéristique que pour ceux de la coordonnée.

Le régime stable se réduira donc sensiblement à un petit nombre d'harmoniques correspondant aux premières valeurs de n.

40. Quelques applications du cas précédent. — Parmi les phénomènes mécaniques rentrant dans ce schéma, nous citerons le mouvement de deux points matériels A et B mobiles sur une même droite horizontale et reliés par un ressort de masse négligeable, le point A étant animé d'un mouvement pendulaire. On réalise, à l'aide de ce système, la transformation d'un mouvement vibratoire donné en un mouvemen^t de même période, mais de phase difl'érente (^). Pour créer une résistance X, proportionnelle à la variable caractéristique qui est ici la \itesse du point B, on peut relier ce point à l'extrémité inférieure d'une longue tige verticale oscillante et fixer un écran sur cette tige, près de son point de suspension. L'inertie des pièces viendra simplement modifier la masse apparente du point B. La vitesse de l'écran sera très faible, mais proportionnelle à celle de B; par suite la résistance de l'air, jouant le rôle de la cause amortissante, sera sensiblement proportionnelle à la variable caractéristique. La cause périodique Xj est une certaine force proportionnelle à l'élongation du point A. Enfin la cause Xg est représentée par une force variant projDortionnellement à l'élongation du point B qui est ici la coordonnée du phénomène.

On réalise aussi le schéma précédent si l'on ferme le circuit d'un galvanomètre par un solénoïde au voisinage duquel oscille un aimant. La vitesse de déviation du cadre du galvanomètre sera la variable caractéristique, la déviation sera

(') L. Leoorxu, Sur le mouvement de deux points reliés par un ressort ( C. R., i. CWIII, 1894, p. 898 ).

la coordonnée el le temps la variable indépendante. Les trois causes directes du phénomène (a) sont :

1° L'action du courant induit dans le solénoïde qui représente la cause Xf,

2° Le couple d'amortissement comprenant les réactions électromagnétiques du cadre et de l'aimant et représentant la cause X,;

3° Le couple principal proportionnel à la déviation dû à l'action de la terre ou à la torsion du fil de suspension, qui constitue la cause X3.

Le même schéma embrasse encore le phénomène de la décharge entretenue des condensateurs, lorsque l'entretien est réalisé à l'aide d'une force électromotrice variable et périodique. Ce cas sera, par exemple, réalisé, lorsque la force électromotrice est produite par la rotation d'un cadre dans un champ uniforme, autour d'un axe perpendiculaire à la direction du champ. C'est cette force électromotrice qui constitue la cause X^. Les autres éléments du schéma sont indiqués dans le Tableau IL

Citons encore comme applications du schéma précédent les vibrations de la membrane du téléphone, celles des organes mobile? des oscillographes, les phénomènes variés auxquels donnent naissance les courants alternatifs.

ki. Cas d'une cause périodique très faible. — L^u cas particulièrement intéressant, qui se présente dans un grand nombre de phénomènes et qui rentre dans le schéma précédent, est celui où les conditions suivantes sont réalisées :

1° La cause X, est périodique et très faible, c'est-à-dire qu'elle ne produit que des variations relatives très petites de la variable caractéristique;

2° La période de cette cause diffère peu de la période qu'aurait le phénomène si cette cause n'agissait pas;

S'' Le coefficient d'activité À de la cause amortissante X, est très petit.

En supposant que l'expression de l'intensité de la cause Xi soit développable en série de Fourier, les variations de la coordonnée, le régime permanent une fois établi, seront régies par la loi

q = ^(t)= :ùM,s\n (■iT.n | -^,).

et le phénomène sera la superposition d'harmoniques dont chacun correspond à une valeur particulière de n.

En introduisant, à la place du coefficient d'influence [x, la valeur T de la période d'oscillations propres du phénomène

v/4 u K il vient, pour les quantités jM„ et ;,;.

lang^^,,— o„) =

Si l'on suppose remplies les conditions i°, 2° et 3°, de sorte que les quantités

' aient des valeurs très petites, les expressions (i4) et (i5) se réduisent sensiblement à

tano(?.

Ktt 1

pour toute valeur de n sauf pour /i = r .

La quantité P„ étant très petite par hypothèse, il en sera de même de M„ ; les amplitudes des harmoniques de rangs

seront très faibles et tendront rapidement vers zéro lorsque leur rang augmentera.

Au contraire, le coefficient M,, correspondant au premier terme de la série, prend une importance prédominante, bien que Pi soit très petit, parce que Pi se trouve multiplié par un facteur considérable ne contenant en dénominateur que des quantités très petites.

La fonction ^'*{t) se réduira donc sensiblement à son pre-

mier terme

Ml sm{'i-- -

les autres termes n'ayant pas d'intluence appréciable. Il en sera de même pour la dérivée *'(^); de là le théorème suivant qui explique le mécanisme d'une foule de phénomènes :

Une cause périodique très faible équivaut, dans son action sur un phénomène périodique faiblement amorti de période voisine de celle de la cause considérée, à une cause périodique sinusoïdale représentée par le premier ternie du développement de la cause donnée en série de Fourier.

Comme application, cherchons l'expression de la cause pendulaire simple équivalente à une cause d'intensité constante Xj, périodiquement interrompue. Posons

COS. 2^ g

d'après les formules connues qui donnent les coefficients d'une série de Fourier et en remarquant que X^ est constant dans un intervalle ^, — ^i et nul pendant le reste de la période, ce qui suppose, bien entendu,

il vient

-ir

'■ . t 2X1 . 7T(?,— /,^ . TAi.-^t,

Al sin 2 7: - rt^ = — -— sin sin-

p ^ . ^- t . 2X1 . T:{t,— t^^ -{t.— ts Y) = ~ \ Xi C0S2T: - dt = — sin ■ ^ ces —

d'où l'on conclut que

, ^, ,. 2X, . 7:(^.— ti) . f.-h t. -

Par suite, une cause invariable Xi, agissant pendant un intervalle ^2 — ^i<^®i équivaut à une cause à variations pendulaires simples, dont l'amplitude a la valeur (16) et dont le

maximum correspond à la valeur — de la variable indé-

pendante.

SCHÉMAS GÉNÉRAUX REPRÉSENTANT l'ACTION DES CAUSES. 76

On appelle cause instantanée, une cause agissant pendant un intervalle de la variable indépendante assez court pour qu'on puisse négliger les modifications du système pendant la durée de l'action de cette cause. On démontrerait sans peine le résultat suivant :

Une cause Xj périodique instantanée équivaut à une cause pendulaire simple dont l'amplitude a pour valeur

2 / X^dt

et dont le maximum correspond à la valeur de la variable indépendante au moment de la percussion. Les limites d'intégration ti et ^2 correspondent aux limites de l'instant très court pendant lequel la cause instantanée agit.

-1-2. Expériences de M. Cornu sur la sy nchronisation. — Le théorème précédent, sur l'équivalence d'une cause périodique quelconque à une cause pendulaire simple, rencontré pour la première fois par AL Cornu dans ses profondes études sur le mouvement des systèmes mécaniques à oscillations amorties, embrasse une infinité de cas plus complexes où la cause donnée Xj est quelconque. Ce théorème fait aussi ressortir la grande généralité du mécanisme de synchronisation, caractérisant le cas d'une cause pendulaire; c'est par ce même mécanisme que s'établit le régime stable dans une foule de phénomènes correspondant à des causes Xj parfois très complexes.

Nous citerons, à ce propos, certaines expériences instructives de M. Cornu confirmant les particularités diverses du schéma précédent dans le cas des systèmes mécaniques à oscillations amorties.

Considérons un système oscillant composé de deux cadres placés l'un au-dessus de l'autre, oscillant dans un champ magnétique intense, rendus solidaires par une tige rigide et formant deux circuits indépendants. L'un des cadres reçoit un courant périodique qui joue le rôle delà cause Xj; l'autre, fermé sur une boîte de résistance, permet de donner au système tel amortissement que l'on veut. On rend ainsi complètement indépendants, d'une part la cause Xj, d'autre

76 CHAl'ITRK III.

pari le coefficient d'aclivité de la cause amortissante X,. Le courant périodique est disti'ibiié par l'intermédiaire d'une lame vibrante, dont la période de vibration est voisine de celle des oscillations des cadres.

Il s'agit de comj^oser le niouvement des cadres avec les variations de la force périodique qui le sollicite. Cette composition serait très complexe si Ton voulait déterminer séparément ces deux éléments en fonction du temps ; elle devient, au contraire, très facile si Ton a recours à la composition optique des oscillations des cadres et de la lame vibrante. Celte composition se fait soit par vision directe, soit par projections à l'aide de miroirs fixés, l'un à la lame, l'autre à Tun des cadres mobiles.

On peut obtenir divers tvpes de causes Xj par les procédés suivants :

Une cause à variations pendulaires simples serait réalisée par le courant alternatif induit par un petit aimant lié à la lame vibrante et oscillant dans Taxe d'une bobine fixe.

Une cause d'intensité constante, interrompue, serait réalisée lorsque les vibrations de la lame seraient entretenues par une pile auxiliaire de force électromolrice constante.

En léduisant de plus en plus la durée du contact pour l'entretien de la lame vibrante et, d'autre part, en augmentant Tintensité de la dérivation, on réalise une cause sensiblement instantanée.

Quelle que soit la force employée, si Tamortissement est nul, ce qui correspond à un coefficient d'aclivité de la cause amortissante égal à zéro (circuit amortisseur ouvert), la courbe résultant de la composition optique des oscillations des cadres el de la lame vibrante se déforme en passant par toutes les variétés de l'expérience de Lissajous, ce qui prouve que les périodes des cadres et de la lame vibrante n'ont aucune dépendance mutuelle. Mais, dès qu'on ferme le circuit amortisseur, les déformations sarrétent progressivement : la courbe devient une ellipse indiquant bien, conformément aux résultats généraux contenus dans le schéma précédent, la synchronisalion des deux espèces de variations considérées.

Une expérience très instructive, elTecluée par M. Cornu et démontrant bien la généralité des résultats pi'écédents, mérite

SCflKMAS GEMiRAUX REPRESENTANT L ACTION DES CAUSES. 77

particulièrement d'être citée. Si l'on coupe toute communication électrique des cadres avec la lame vibrante, ceux-ci resteront en repos; mais, si l'on établit entre eux un lien purement mécanique, en appuyant une barre rigide et louide sur les socles des deux appareils, les trépidations de la lame impriment aux cadres des mouvements complexes qui se composent optiquement avec l'o-cillation pendulaire de la lame. Lorsque ramortissement est nul, la courbe résultante est une ellipse irrégulière dentelée incessamment variable, témoignant de l'indépendance presque complète des deux oscillations et de l'inégalité de leurs j)ériodes. Dès qu'on rétablit l'amortissement, les mouvements désordonnés se régularisent, les dentelures s'effacent et la courbe prend la forme d'une ellipse stable, démontrant l'égalité des périodes et la synchronisalioii parfaite. Comme conlre-épreuve, si l'on ouvre le circuit amortisseur, l'ellipse, après quelques instants d'hésitation, commence à se déformer et reprend bientôt l'allure désordonnée qu'elle avait d'abord. L'amortissement enlevé, la synchronisation cesse.

43. Autres exemples de synchronisation. — « Cette dernière expérience, ajoute M. Cornu (^), dans laquelle, conformément au théorème précédent, une force très complexe impose un mouvement stable très régulier, me paraît jeter nn véritable jour sur la relation qui doit exister entre le mécanisme de la synchronisation et celui des divers phénomènes de résonances étudiés en Physique. La transition e^^t d'ailleurs complète.

» En Mécanique, les dispositifs synchronisants et l'oscillographe de AL Blondel représentent l'application directe ie la théorie; on peut citer ensuite le petit pendule renversé, contrôle de la stabilité des horloges; puis les oscillations des navires par la houle, oscillations que les ingénieurs s'efforcent de contrarier ainsi que les effets synchronisants de toutes les vibrations (machines, charges roulantes, etc.), sur les parties élastiques des constructions (coque des navires, poutres, etc.).

» En Mécanique céleste, le phénomène des marées et celui des inégalités à longue période s'expliquent par les mêmes

(') Comptes vendus, t. CXIX, 189^5, p. 3i3.

7b CHAPITRE III.

principes. Ces phénomènes représentent même les deux types opposés : le premier offrant le cas d'un régime stable, conséquence d'un amortissement; le second, celui d'un régime périodique indéfiniment prolongé faute d'un amortissement appréciable.

» En Acoustique, les procédés d'excitation de régimes vibratoires sontde véritables synchronisations où l'on retrouve des vérifications très délicates (tuj^aux à anches, résonnateurs de Helmholtz, membranes de Bourget, monotéléphones de Mercadier, etc.).

» En Électricité, l'établissement d'un courant excité par une force électromotrice périodique dans un circuit résistant^ doué de capacité et de self-induction, est régi par Téquation différentielle étudiée plus haut; le courant est donc réellement synchronisé par la force éleclromotrice : l'identification des coefficients mécaniques et électriques de l'équation et celle des résultats sont des plus intéressantes.

» Les phénomènes analysés dans l'excitateur et le résonnaleur de Hertz par MM. Sarrazin, de la Rive et Blondlot rentrent aussi dans la catégorie des mouvements synchronisés.

» En Optique, plusieurs propriétés de la matière pondérable, provoquées par les ondes lumineuses (absorption, émission, fluorescence, etc.), paraissent avoir un lien très direct avec les mêmes phénomènes.

» Enfin, il n'est pas jusqu'aux impressions physiologiques dont l'excitation et la persistance ne soient attribuables à un mécanisme analogue.

» Si ces assimilations sont correctes (et leur rapprochement en rend l'exactitude fort probable), le mécanisme de synchronisation serait d'une extrême généralité : cette conclusion entraînerait l'existence constante d'un amortissement, c'est-à-dire d'une force perturbatrice identifiable à une résistance proportionnelle à la vitesse. Cette sorte de forces ne rentre pas dans la catégorie des actions ordinairement considérées en Physique moléculaire : elle devrait donc, au contraire, y être toujours introduite comme partie essentielle des actions élémentaires à l'aide desquelles on cherche à expliquer les phénomènes naturels. »