II. — Équations régissant l'action des causes

13. Préliminaires. — A l'aide des définitions qui précèdent, il est possible de constituer un schéma de l'espèce que nous avons en vue, et qui se prête aux spéculations de l'analyse. Le problème f[ue nous nous posons est le suiv^ant :

Etant donné un système défini sans ambiguïté par les variables t. a,, a,, .... a„; r/,, y,, . . . , y„; ^i, ^i,, ...,?;,, déter-

•28 CHVPITIll:; IJ.

miner les foiiclions

connaissant en grandeur, direction et sens les causes (^i, G2, ..., C,„ qui agissent sur le système et les équations de liaisons

/l = 0> /•2= <Jr //>= O-

A cet effet, nous distinguerons le cas des causes directes et celui des causes indirectes.

W. Cas d'une cause unùjue diicctc et d'un seul objet direct. — Soit a la variable caractéristique objet direct d'une cause unique C. U'ejfet de la cause, correspondant à la varialion t — t^àe la variable indépendante t. sera représenté par la dilîerence a — t.^. a et a^ étant les valeurs de a correspondant aux. valeurs respectives t et t^-, ^'ejf'et élémentaire, correspondant à la variation dt de t sera donc représenté par ch. Adoptons maintenant le prin( ipe fondamental suivant :

L'effet élémentaire d' une cause directe est proportionnel à l'intensité de la cause et à la variation correspondante de la raricd^le indépendante.

Ce principe, qui n'est qu'une généralisation iiiluitive du principe fondamental de la dynamique, se traduit ])ar Féqualion

^ . dt

OÙ X désigne Pinlensilé de la cause directement appliquée à Tobjet direct a au moment où la variable indépendante a la valeur/: K représente un coefficient positif jouant un rôle identique à celui de la masse dans le problème plus particulier de la dynamique. Suivant que le signe de \ est positif ou négatif la cause tend à augmenter ou à diminuer la valeiude a. Dans le premier cas la cause est renforçante, dans le second cas antagoniste (cause résistante, afifaiblissante. amortissante, destructive, retardatrice).

ESQUISSE D UNE MECANIQUE GENERALE. 2f^

l.a dérivée -y-j qui représente la variation de la variable a

pour un accroissement de la variable indépendante égal à

l'unité, mesure V intensité du phénomène (accélération, \\-

tesse de refroidissement); l'expression — ^ ~t- généralise la

notion de force d'inertie; c'est ainsi <jue nous la désignerons, par analogie avec la dvnamique. A égalité d'intensité des causes, les variations de a seront d'autant plus lentes, et par suite l'action de la cause d'autant plus faible que le coefficient K sera plus grand; c'est pour cette raison que nous l'appellerons coefjicient d'inertie. En général l'intensité X est une fonction des variables /, a, ^, ^,, (ri,, . . ., Ti^, ; le problème se ramène alors à l'intégration des /? -h "^ équations simultanées

i' ,, di ,. , , ,

\ ^di ^^^'' ^^'h%^ h^ ••- P/0.

^'^^ * dq^7.dt = o,

\ /i = •' fi = o^ • • • , fl>=^

(|ui déterminent lesy> -h 'i inconnues en fonction de /.

Nous illustrerons le groupe d'analogie dont le schéma précédent est le phénfMTiène type par quelques exemples.

1° Le mouvement recliligne d'un point matériel de masse ni est défini par sa vitesse v, par sa distance s à un point fixe de la droite suivant laquelle il se meut et par son accélération Y- La variable caractéristique a est ici la vitesse c objet direct de la force F qui sollicite le point et (jui dans le cas général est une fonction de t, de c. de.v et de •;. Il n'v a qu'une variable 3 rjui est l'accélération y. Le système (4) se réduit ici aux trois équations

ds — V dt — o, d^' — Y dt = o.

•1" Le mouvement de l'électricité dans un circuit de résislance négligeable et de coefficient de self-induction L est défini par l'intensité I du courant, objet direct de la force-

3o CHAPITRE II.

électromotrice E ; la coordonnée q du système est la quantité d'électricité débitée par la source. Il n'y a pas lieu ici de considérer de variables ^ et les équations (4) se réduiront aux deux suivantes

dq — \ dt = 0.

3° Dans le mouvement d'un solide autour d'un axe, la variable caractéristique est la vitesse angulaire w, objet direct du couple G appliqué au solide. Le coefficient d'inertie est le moment d'inertie I du solide; la coordonnée est l'angle de rotation 0, la variable 3 est l'accélération angulaire -;. On a ainsi les 3 équations

dt

d^ — 10 dt = o, r/co — Y dt — o.

Le Tableau suivant met en évidence la signification physique des éléments correspondants K, -x, q, t, X du groupe d'ana- Jogie précédent dans quelques cas particuliers.

ESQUISSE D LMÎ MKCAMQUi: GKNKIlALE.