Ilauplpuncte der Meluphysik

THEORIE DES FORMES CONTINUES. il5

mettre A dans le lieu de B : alors apparaîtra un troisième point, et les trois points seront en ligne droite, car il n'y a encore de passage entre les deux extrêmes qu'au travers du second (weil fiir die letzten noch kein andrer Uebergang vorhanden ist als ganz und gar durch den zweiten). Gomme la même opération peut être indéfiniment répétée nous obtiendrons une ligne droite qui s'étendra à l'infini du côté de B. Si maintenant nous revenons au point de départ, et si, mettant B à la place de A en conservant la juxtaposition, nous continuons comme précédemment, nous obtiendrons une prolongation à l'infini de la même ligne droite du côté de A. Ainsi se trouve construite la ligne droite infinie dans les deux sens : une des deux directions sera la droite, l'autre sera la gauche. Cette ligne n'est point continue car une portion déterminée ne contient qu'un nombre fini de points. Herbart l'appelle ligne fixe (starre Linie), par opposition à la ligne continue (stetige Linie) dans laquelle la pénétration mutuelle des parties implique une sorte de courant; et montre comment il est possible à l'aide des points qui la constituent de déterminer les concepts fondamentaux de l'arithmétique, la série des nombres cardinaux et ordinaux, les notions de somme, de différence, de produit, de quotient, etc.

Prenons maintenant un troisième être simple C : on pourra aussi le juxtaposer à A, mais autrement que B; et, par un procédé analogue à celui qui a été suivi précédemment, on engendrera une autre ligne droite différente de la première et qui la coupera en A. Il sera dès lors facile de construire le plan (die Ebene) qui fournira une seconde dimension, la largeur, ainsi que les notions d'avant et d'arrière (Vorwârts und Ruckwarts). Dans le plan pourront être également obtenues les diverses figures

planes. Mais ici nous allons voir apparaître la ligne continue, c'est-à-dire la ligne dans laquelle chaque partie doit être conçue comme divisible à l'infini. Supposons un point A et une ligne fixe BC, d'une grandeur donnée, c'est-à-dire contenant un nombre déterminé de points. Joignons le point A aux extrémités de la ligne BG, puis menons une parallèle DE à BC. Gomme on peut tirer de A à la ligne BG autant de droites qu'il y a de points entre B et G, il faudra que les points de rencontre de DE avec ces diverses droites rentrent en quelque sorte les uns dans les autres; et c'est dans cette pénétration mutuelle que consiste justement la continuité. Il est d'ailleurs visible que si l'on menait à BG une autre parallèle GH, plus rapprochée de A, la pénétration mutuelle des points serait plus complète encore. On voit apparaître du même coup la possibilité des grandeurs irrationnelles, puisque si l'on joint le point A à un point quelconque N de BG, il n'y a pas nécessairement entre le point D et le point M

où la droite AN rencontre DE un nombre exact de points. La contradiction s'introduit ainsi dans notre construction; mais il n'y a pas à s'en embarrasser puisque nous sommes ici dans le domaine des fictions; et ces fictions sont légitimes à la condition qu'on les considère toujours comme telles, et que dans l'emploi qu'on en fait on respecte toujours la règle qui préside à leur formation. C'est ainsi qu'en algèbre on fait un usage légitime et fructueux de concepts purement fictifs, comme les racines carrées des nombres négatifs.

La considération d'un quatrième être réel D qui peut être juxtaposé à A autrement que B et G permettra ensuite d'obtenir de môme la troisième dimension de l'espace ainsi que les notions de haut et de bas : dans cet espace à trois dimensions pourront être construites les diverses figures solides. Il est d'ailleurs impossible de continuer de la sorte et de faire intervenir la considération d'un cinquième point E qui pourrait être juxtaposé à A autrement que B, G ou D, parce qu'il est facile de voir que toute ligne obtenue au moyen de ce point ferait partie d'un cône rentrant dans les constructions précédentes '.

L'espace intelligible ainsi construit se présente donc à nous avec les mêmes caractères que l'espace sensible : comme lui il a trois dimensions et est infini dans chacune de ces trois dimensions; comme lui aussi il présente la forme de la continuité.

Faut-il s'étonner de ce résultat? G'est manifestement le contraire qui aurait lieu de surprendre. Herbart affirme que sa construction de l'espace intelligible ne suppose point l'existence d'un espace absolu. « Qu'on ne vienne point me parler, s'écrie-t-il, d'un espace absolu, comme d'une hypothèse nécessaire pour les précédentes constructions! (Spreche man nicht von einem absoluten Raume, als Voraussetzung aller gemachten Constructionen ! *) En cela il a peut-être raison; mais son affirmation est beaucoup plus contestable quand il prétend que sa construction de l'espace intelligible est totalement indépendante de l'intuition de l'espace sensible. Dans la métaphysique générale il fait de vains efforts pour échapper à des critiques qu'il sent iné-

1. Hauptpuncle der Melaphusik, $ 1. — Cf. Allgemeine Metaphysik, S 245-263.