Lagrange, ibid., p

«o2 LA PHILOSOPHIE DES MATHÉMATI(^»UES

<|ui doit servir à déterminer la fonction f[{x') {x")] est du second degré et ses deux racines sont f[{x'){x")] et f[{x'){x% Gomme les racines x' et x" sont déterminées de la même manière par l'équation (4), il est évident que les deux fonctions f[[x') [x")] et f[{x") {x')-] qui ne diffèrent entre elles que par Véchange des racines x' et x" devront aussi être déterminées par une même équation. Dans le cas où la fonction f[{x') [x")] serait symétrique, où l'on aurait

alors

et l'équation résolvante ^=o se réduit au premier degré :

Nous voyons sur cet exemple élémentaire, en germe pour ainsi dire, les deux principes fondamentaux qui vont transformer l'algèbre. Le premier consiste dans Véchange qu'on opère entre les deux racines x' et x" qui interviennent de la même manière dans l'équation donnée. Déterminer, en général, comme nous le verrons dans un instant, les échanges entre les n racines d'une équation de degré n, cela revient à opérer les permutations entre les n racines ; c'est le fond de cette analyse combinatoire à laquelle Lagrange faisait allusion. Mais le second principe n'est pas moins

LA MÉTHODE HISTUHICO-CRIÏIQUE 153

essentiel, et il est mis en évidence par cet exemple simple. En considérant les fonctions des racines qui 7te varient pas (cas oiî l'équation f\{x'){x")'\ est symétrique), qui restent invariantes^ lorsqu'on procède aux échanges entre les racines, on parvient à simplifier l'équation résolvante (dans notre cas, on a une équation du premier degré au lieu d'une équation de second degré) ce qui est précisément le but que l'on a en vue. Echanges entre les racines, détermination des fonctions des racines qui ne varient pas quand on soumet les racines aux échanges, telles sont les deux bases de la théorie.

Après avoir examiné le cas de l'équation du second degré, passons avec Lagrange au cas général de n racines x'j x'\ x"\..., x'"'. Nous représenterons une fonction rationnelle des racines par f\{j^), {x'% {x'")...]. Soit

la résolvante. En raisonnant comme dans le cas du second degré, on verrait que la quantité 0 serait le produit d'autant de fonctions simples telles que

qu'il y a de permutations possibles entre les racines a:', x",... x^"' et l'on sait par un théorème élémentaire d'analyse combinatoire que ce nombre est précisément 1x2x3 X ^i, ce qui s'écrit n !

L'équation 0 = o est donc de degré n\ en général. « Mais, s'il arrive que la fonction soit telle qu'elle ne reçoive aucun changement par quelqu'une ou quelques-unes des permutations, alors l'équation dont il s'agit s'abaissera à un degré moindre *. » Car si la fonction [{{Jc') [x") [x" ')...'] conserve la même valeur lorsqu'on échange x' en x", x" en x'\ et x''' en x\ 0 aura 2 racines égales, et l'on voit aisément de plus que les autres racines seront deux à deux égales, Q sera donc égale au carré T-, et 0 = o

se réduira à T = o de degré — ' . Si la fonction

f\{x') [x") [x") . . . ] est telle qu'elle conserve la même valeur en faisant deux ou trois ou un plus grand nombre de permutations différentes entre les racines x\ x", x"\ ..., les racines t', t", t'" ... de 0 = 0 seront égales trois à trois, quatre à quatre, etc., de sorte que 0 sera égale à T^ ou à T'', etc., et que 9 =o se réduira à une équation

dont le deffré sera -rr^, ou — ^ ou, etc. « D'une

manière générale, il résulte de ce qui précède que pour trouver directement l'équation la plus simple T :=: 0 par laquelle devra être déterminée une fonction quelconque donnée des racines x\ x'\ . . . , il n'y aura qu'à chercher toutes les différentes valeurs que cette fonction peut recevoir par les permutations des quantités ^'j x", x!"... entre elles, et, prenant