LE JUGEMENT GÉOMÉTRIQUE

port ù une droite dans un plan, etc.; ces jugements sont naturels, si naturels que c'est grâce à eux que l'homme a pu déterminer les relations les plus générales des grandeurs: sans l'illustration que lui offrait l'univers des formes concrètes, il est très probable que, dépourvue de tout appui dans l'imagination, la science mathématique ne fût pas née aussi tôt dans l'humanité. Mais ces jugements sont-ils nécessaires? Pour le savoir, il suffit de traduire ces jugements dans la langue de l'analyse pure, comme fait la géométrie analytique. Les principes de la géométrie seront nécessaires, s'ils peuvent se rattacher sans interruption aux conclusions de l'analyse, s'ils font corps avec elle, de telle sorte qu'ils participent immédiatement à sa nécessité. Or y a-t-il moyen de déduire de l'analyse la géométrie? On sait comment les géomètres ont répondu à cette question : ils ont construit une série de géométries dont les postulats initiaux sont en contradiction avec les principes fondamentaux de la géométrie ordinaire. Les métagéométries peuvent être considérées comme constituant du point de vue de l'application concrète une étude de la modalité du jugement; puisqu'il est possible d'établir des systèmes d'équations, analogues à la géométrie analytique, qui sont à la fois conformes aux lois de l'analyse, et différents de la géométrie ordinaire, c'est que cette géométrie n'est pas une conséquence nécessaire de l'analyse. Étant donnée l'analyse, plusieurs géométries sont possibles, dont la géométrie euclidienne n'est qu'une espèce particulière. Cette conception est mise en lumière d'une façon frappante par la théorie des groupes de transformation; les propositions fondamentales de la géométrie euclidienne se déduisent d'un type de groupe une fois déterminé; or les paramètres qui définissent ce groupe n'ont rien d'analytiquement nécessaire, ils auraient pu être autres sans contradiction aucune; le mathématicien se les donne afin de pouvoir appliquer les procédés de l'analyse à l'espace euclidien. Chacune de ces déterminations du groupe constitue un « postulat implicite » de la géométrie, et il suffit de le nier pour donner lieu à une métagéométrie nouvelle ; il y a ainsi une infinité de métagéométries possibles l.

De la possibilité de ces métagéométries, faut-il conclure que notre géométrie soit par là même une science conventionnelle et arbitraire, que l'espace homogène à trois dimensions soit une donnée contingente? il ne le semble pas; le sort de la géométrie ordinaire et de la notion d'espace n'est nullement lié à la néces-