CHAPITRE XI

BATTEMENTS DES SONS RÉSULTANTS

Lorsque deux ou plusieurs sons résonnent simultanément, outre les battements des harmoniques, il peut encore se produire des battements dus à l’action des sons résultants. Dans le septième chapitre, on a démontré que le plus fort son résultant est celui qui présente des vibrations en nombre égal à la différence des nombres de vibrations des sons primaires, ou le différentiel du premier ordre. C’est celui qui doit entrer principalement en considération pour la production des battements. Ce premier son résultant est déjà assez faible, si les deux sons primaires ne présentent pas une intensité considérable; à plus forte raison en est-il de même pour les sons résultants d’ordre supérieur et pour les additionnels. Les battements produits par ces faibles sons ne peuvent entrer en considération, qu’en l’absence de tous les autres battements qui pourraient en empêcher l’observation, c’est-à-dire dans le cas de l’émission simultanée de deux sons simples entièrement dépourvus d’harmoniques. Au contraire, les battements des premiers différentiels peuvent très-bien s’entendre même à côté de ceux des harmoniques, pourvu qu’on se soit exercé à entendre les sons résultants.

Les sons différentiels du premier ordre peuvent produire des batte- • ments seuls et par eux-mêmes, sans qu’ils soient accompagnés de sons résultants d’ordre supérieur :

1' Dans le cas de deux sons simultanés pourvus d’harmoniques ;

2° Dans le ras de l’émission simultanée de trois ou plusieurs sons simples ou composés. Les sons résultants d ordre supérieur ne peuvent au contraire entrer en considération pour la production des battements, que dans le cas de l’émission simultanée de deux sons simples.

Commençons par les sons fournis par des sons complexes différentiels du premier ordre. De même que les deux sons fondamentaux, les harmoniques pris arbitrairement deux à deux donnent aussi des sons résultants qui, naturellement, s’affaiblissent dans le même rapport que les harmoniques qui leur donnent naissance. Si un ou plusieurs de ces sons résultants tombent dans le voisinage soit des

autres, soit des sons fondamentaux primaires ou des harmoniques, il se produit des battements. Prenons comme exemple une quinte un peu fausse, dont les nombres de vibrations seraient 200 et 301 au lieu de 200 et 300 que donnerait la quinte juste. Nous calculons les nombres de vibrations des harmoniques en multipliant par 1, 2, 3, etc., ceux des sons fondamentaux. Nous trouvons les nombres de vibrations des premiers différentiels, en retranchant deux à deux l’un de l’autre les nombres précédemment obtenus. Le tableau suivant contient dans la première colonne horizontale et dans la première colonne verticale, les sons partiels des deux sons complexes, et, dans la partie moyenne, les différences entre leurs nombres de vibrations, correspondant aux sons résultants :

En rangeant les sons résultants d’après leur hauteur, nous trouvons les groupes suivants :

Le nombre 2 est trop faible pour correspondre à un son résultant; il indique seulement le nombre des battements des deux harmoniques 000 et 602. Dans tous les autres groupes, se trouvent réunis des sons dont les nombres de vibrations diffèrent de 2, 4 ou 6, et qui, par conséquent, donnent entre eux 2, 4 ou 6 battements pendant que les harmoniques considérés en font 2. Parmi les sons résultants, les plus intenses sont les deux sons 104 et 99, qui tous deux se distinguent plus facilement des autres par leur position grave.

Nous remarquerons, dans notre exemple, que les battements les plus lents que donnent les sons résultants sont en nombre égal à ceux pro-

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venant des harmoniques. C’est là une règle générale qui s’applique à tous les intervalles.

De plus, il est facile de voir que si, au lieu des nombres 200 et 301 , nous avions pris ceux de la quinte juste, 200 et 300, tous les nombres du tableau se réduiraient à des multiples de 100, de telle manière que les harmoniques et les différents sons résultants, venant à coïncider, ne donneraient point de battements. Ce que nous disons ici de la quinte s'applique ici d’une manière générale à tous les intervalles harmoniques (1).

Les premiers différentiels de sons complexes ne donnent jamais de battements qu'en même nombre et dans les mêmes circonstances que les harmoniques des sons considérés , en supposant que leur série soit complète. 11 s’ensuit que les résultats trouvés dans le précédent chapitre sur l’action des battements, ne sont pas essentiellement altérés par la considération des sons résultants. L’intensité des battements est seulement un peu augmentée peut-être.

11 en est tout autrement, au contraire, dans l’émission simultanée de deux sons simples entièrement dépourvus d’harmoniques. En netenant pas compte des sons résultants, les deux sons simples de deux diapasons ou de deux tuyaux bouchés, ne pourraient donner de battements que s’ils étaient assez voisins l’un de l’autre. Ces battements sont énergiques si l’intervalle ne dépasse pas une seconde, mineure ou majeure ; ils sont faibles et perceptibles seulement dans le grave, pour une tierce, et diminuent en netteté au fur et à mesure que l’intervalle s’agrandit, sans communiquer à certains intervalles des propriétés particulières. Pour tout intervalle plus grand de deux sons simples, les battements feraient absolument défaut en l’absence complète d’harmoniques et de sons résultants ; par suite les intervalles consonnants trouvés dans le précédent chapitre ne différeraient en rien des intervalles voisins ; il n’y aurait donc, d’une manière générale, aucune différence entre les grands intervalles consonnants ou dissonnants.

Cependant les intervalles plus grands que la tierce formés par des sons simples peuvent donner des battements, quoique beaucoup plus faibles que ceux précédemment considérés ; ils peuvent aussi se distinguer en consonnances et en dissonnances, quoique d’une manière beaucoup plus imparfaite que si les sons étaient complexes ; cela vient, comme l’a montré Scheibler, des sons résultants d’ordre supérieur.

Pour l’octave, il suffit du premier différentiel. Si le son fondamental fait 100 vibrations, et l’octave 201, le premier différentiel en fera 201 — 100 ou 101, et se trouvera par conséquent dans le voisinage du

(I) Voir la démonstration mathématique, Supplément XI V.

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son fondamental avec lequel il donnera un battement par 100 vibrations. Ces battements s’entendent sans difficulté, et, grâce à eux, on peut facilement, même pour des sons simples, distinguer l’octave juste de l’octave fausse.

Pour la quinte, le son résultant du premier ordre ne suffit plus. Prenons pour une quinte fausse le rapport numérique de 200 à 301 ; le son résultant du premier ordre fera 101 vibrations, mais sera trop éloigné de chacun des sons primaires pour donner avec eux des battements. Mais il forme, avec le son 200, une octave fausse qui donne des battements, comme nous venons de le voir. Ils proviennent de ce que le son 101 forme avec le son 200 un nouveau son résultant 99, qui donne deux battements avec le son 101. Ces battements permettent de distinguer la quinte fausse de la quinte juste et sont en nombre précisément égal à ceux que produiraient les harmoniques. Pour qu’il soit possible d’observer ces battements, les sons primaires doivent déjà présenter une certaine intensité, et on ne doit être troublé 1 par aucun bruit étranger. Mais, dans des conditions favorables, il n’est pas difficile de les entendre.

Dans la quarte fausse, dont les vibrations seraient dans le rapport de 300 à 401, le premier son résultant présente 101 vibrations, il donne avec le son 300, le différentiel de deuxième ordre 199, et ce dernier présente avec le son 401 la différence 202, comme son résultant du troisième ordre qui donne, avec le différentiel du deuxième ordre 199,3 battements, o’est-à-dire le môme nombre que donneraient les harmoniques 1200 et 1203 des deux sons primaires s’ils existaient. Ces battements de la quarte sont déjà très-faibles, même avec des sons primaires intenses. Pour les observer, il faut être dans le plus grand calme et apporter une grande attention.

C’est à peine si on peut encore percevoir, même dans les conditions les plus favorables, les battements de la tierce majeure fausse. Prenons pour nombres de vibrations des sons primaires 400 et 301 , on a :

SOI — 400 = 101, son résultant du t,r ordre,

400 — 101 — = 2'J9 — — 2* ordre,

501 — 299 «= 202 — — 3e ordre.

400 — 202»= 198 — — 4* ordre.

Les sons 202 et 198 donnent 4 battements. Scheibler a encore compté ces battements de la tierce majeure fausse ; moi-même, dans les conditions les plus favorables, j’ai cru les entendre encore d’une manière douteuse; leur perception cependant est tellement difficile qu’ils ne peuvent plus entrer en considération dans la détermination de la différence entre les consonnances et les dissonnances.

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Il s’ensuit, par conséquent, qu’on peut, avec deux sons simples, former des intervalles voisins de la tierce et aussi harmonieux qu’elle, pourvu qu’ils ne soient pas trop rapprochés de la seconde d’une part, et de la quarte d’autre part ; mes expériences sur les tuyaux bouchés de l’orgue me permettent d’avancer, en dépit des dogmes musicaux, que cette déduction est parfaitement d'accord avec la réalité, pourvu qu’on fasse l’expérience avec des sons réellement simples. Il en est de môme des intervalles voisins de la sixte majeure, qui ne présentent avec elle aucune dilîérence, au point de vue de la douceur de l’harmonie, tant qu’ils restent assez loin de la quinte et de l’octave. Aussi, tandis qu’il n’est pas difficile de produire des tierces majeures ou mineures justes sur l’harmonium, surles tuyauxàanche, ou sur le violon, en émettant ensemble les deux sons, et cherchant à faire disparaître les battements, il est absolument impossible d’arriver au même résultat sans le secours d’autres intervalles, pour des tuyaux bouchés et pour des diapasons. On montrera plus tard comment on peut obtenir avec précision la justesse dans des intervalles de ce genre, dès qu’on émet plus de deux sons à la fois.

Entre les sons abondamment pourvus en harmoniques intenses, comme, par exemple, ceux des tuyaux à anche et du violon, et les sons absolument simples des diapasons et des tuyaux bouchés, se trouvent les sons dans lesquels les harmoniques graves sont seuls encore perceptibles ; c’est ce qui arrive pour les grands tuyaux ouverts de l’orgue, et pour la voix humaine émettant des voyelles sombres. Ici les harmoniques seuls ne suffisent pas à délimiter tous les intervalles consonnants, mais ce résultat est obtenu avec le secours des premiers différentiels.

A. Sons complexes qui, outre le son fondamental, font encore entendre l'octave comme harmonique ; la quinte et la quarte ne sont plus délimités par les battements des harmoniques, mais par ceux des premiers différentiels.

a. Quinte. Soient 200 et 301 les nombres des sons fondamentaux ; les harmoniques seront 400 et 602, trop éloignés soit entre eux, soit des sons fondamentaux pour produire aucun battement. Mais les sons différentiels *

301 — 200 = tôt 400 — 301 -= 9!)

Différence.... 2

donnent deux battements. Et môme ce nombre est précisément égal à celui que donneraient les deux harmoniques suivants. En effet,

b. Quarte. Soient 300 et 40{ les nombres; les harmoniques seront 000 et 802. Point de battements encore ici. Mais les premiers différentiels :

Différence.... 3

donnent 3 battements.

Pour les tierces, les sons résultants du second ordre devraient entrer en jeu.

B. Sons qui, outre le son fondamental, font entendre la douzième. Par exemple les petits tuyaux bouchés de l’orgue (le quintaton). Les choses se passent exactement de môme que dans le cas précédent.

a. Quinte. Sons fondamentaux 200 et 301 , harmoniques 600 et 903.

Premier différentiel :

Quinte = 301

Nombre de battements.... = 2

b. Quarte. Sons fondamentaux 300 et 401, harmoniques 900 et

1203. Premier différentiel :

' Son fondamental • — 300

Nombre de battements. .. . = 3

Encore ici les battements des tierces ne peuvent être produits que par les faibles différentiels du deuxième ordre.

G. Sons qui, indépendamment du son fondamental, font entendre l'octave et la douzième. Par exemple les grands tuyaux ouverts (en bois), le registre principal de l’orgue. Ici les quintes sont délimitées par les battements des harmoniques ; mais il n’est pas encore de même pour les quartes. Ce sont encore les premiers différentiels qui servent à délimiter les deux tierces.

a. Tierce majeure. Sons fondamentaux 400 et 501, octaves 800 et 1002, douzièmes 1200 et 1303. Premiers différentiels.

Nombre de battements. ... — 4

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b. Tierce mineure. Sons fondamentaux 500 et 601, octaves 1000 et 1202, douzièmes 1500 et 1803. Différentiels :

Nombre de battements.... «= 5

c. Sixte majeure. Sons fondamentaux 300 et 301, octaves 600 et 1002, douzièmes 900 et 1303. Différentiels :

Nombre de battements.... = 3

Par le fait, avec les tuyaux ouverts de l’orgue on peut facilement entendre, non-seulement les battements des quintes et quartes fausses, mais aussi ceux des tierces majeures et mineures fausses ; et on peut immédiatement les utiliser pour accorder ces tuyaux.

Donc, là où les harmoniques ne suffisent pas, en raison de la nature des sons considérés, les sons résultants viennent concourir à accuser, par des battements et par une certaine dureté, toute altération de la justesse des intervalles consonnants, l’octave, la quinte, la quarte, la sixte majeure, la tierce majeure et mineure, et à opérer la distinction entre eux et les intervalles voisins. Ce n’est que pour les sons absolument simples, que nous font défaut jusqu’ici les moyens de détermination de la tierce, et môme, les battements qui altèrent l’harmonie dans la quinte et la quarte fausses, sont relativement trop faibles pour agir sur l’oreille d’une manière appréciable, parce qu’ils proviennent de sons résultant d’ordre supérieur. J’ai déjà dit qu’en réalité, deux tuyaux bouchés dont l’intervalle est intermédiaire entre la tierce majeure et la tierce mineure, donnent des consonnances tout aussi bonnes, que si l’intervalle était exactement d’une tierce majeure ou d'une tierce mineure. Je ne veux pas dire par là qu’une oreille musicale exercée ne reconnaîtra pas un intervalle de ce genre comme étrange et inusité, ce qu’on expliquera peut-être en disant qu’il est faux ; mais l’impression immédiatement produite sur l’oreille, l’effet agréable pour les sens, abstraction faite de toute habitude musicale, ne sont pas plus mauvais que pour les intervalles justes.

Mais les choses se passent tout autrement quand on émet simultanément plus de deux sons. Nous avons vu qu’avec deux sons simples, les octaves sont délimitées d’une manière précise par les battements du premier différentiel avec le son fondamental. Supposons maintenant

d’abord une octave juste et plaçons entre les deux sons un troisième comme quinte ; nous obtiendrons des battements provenant des premiers différentiels, tant que la quinte ne sera pas juste.

Soient les sons 200 et 400 qui forment une octave juste et 301, la quinte fausse. Différentiels :

Nombre de battemcnls... . = 2

Ces battements de la quinte située entre deux sons à l'octave sont beaucoup plus nets que ceux de la quinte seule. Dans ce dernier cas ils proviennent des faibles différentiefs du deuxième ordre ; ici, au contraire, ils sont dus aux différentiels du premier ordre. Aussi, pour accorder les diapasons, Scheibler a-t-il prescrit d’en accorder d’abord deux exactement à l’octave, et de les faire résonner ensemble avec la quinte, pour accorder cette dernière. La quinte et l’octave, une fois justes, donnent la quarte juste.

Il en est tout à fait de môme quand, deux sons simples étant exactement à la quinte, on veut intercaler un troisième son comme tierce majeure. Soient 400 et 600 les sons d’une quinte juste ; en intercalant la tierce majeure fausse 501 au lieu de 500 on a les différentiels suivants :

Nombre de battements. .. . = 2

La sixte majeure se trouve déterminée par sa réunion avec la quarte. Soient 300 et 400 une quarte juste, 501 une sixte fausse, nous avons les différentiels :

301 — 400 = tôt

Nombre de battements..., — I

Si nous voulons intercaler encore un son entre deux autres 300 et 400, formant une quarte juste, nous ne pouvons avoir que la tierce diminuée 350. En prenant 331, on obtient les différentiels :