IOLVLMENT DES CORDES PINCÉES

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• Soient x la distance d’un point d’une corde à l’une des extrémités, l la longueur de la corde, en sorte que pour l’une des extrémités x — 0 et pour l’autre x — t. Il suffit d’étudier le cas où la corde vibre dans un seul plan passant par sa position d’équilibre. Soient y la distance du pointa.1 à sa position d’équilibre au bout du temps t, p le poids de l’unité de longueur et S la tension de la corde ; les conditions du mouvement sont données par l’équation suivante :

* di*~ h dx* ’

et comme les extrémités de la corde doivent être considérées comme immobiles, on doit avoir

si i = 0 ou x= I. fia)

L’intégrale la plus générale de l’équation (1), qui remplit les condi-

lions (1 a) et correspond à un mouvement périodique est la suivante :

OÙ

y = A i sln y cos 2 uni + A, sln y- cos 4iti .1 3sz

-+■ A, sin y- cos B -xnt -f-etc.

+ B| sin y sin 2 tint B, sln yî sln 4ir<

+ Bj sin y- sin Unnl + etc.

(lé)

etA„ A„ A, ainsi que B,, B,, B, sont des constantes. Leur valeur peut être déterminée si on connaît pour une certaine valeur de t, la forme de la corde et la vitesse de scs différents points.

Pour l’instant t = 0 la forme de la corde est donnée par la formule

. i itx , « r

y = Aj sln — -f- A, sin — j- ■

. 3rtx ,

As sin — — h e te

et la vitesse par

(le)

y = îrcn J B| sln y 2B, sin y" + ®> sin y* + ctc- 1 0**)

Supposons maintenant que la corde ait été déviée de sa position d'équilibre au moyen d’une pointe aiguC, et qu’on ait enlevé cette dernière au temps < = 0, de manière qu’à ce moment les vibrations aient

commencé ; la vitesse de la corde est nulle au temps t = 0 et = 0 pour chacune des valeurs de x; cela ne peut avoir lieu que si, dans l’équation (I d),

o = B, = B, = Ba, etc.

Les coefficients A dépendent de la forme de la corde au temps t =0. Au moment où la pointe quitte la corde, celle-ci a dû avoir la forme, représentée (/Ig. 18 A, p. 75), de deux droites tirées de l’extrémité de la pointe aux deux points d’attache. Appelons « et 6 les valeurs de x et dey pour le point louché par la pointe, les valeurs de y au temps t = ü étaient :

bx -r

et

et les valeurs de y tirées de (I c ) et de (2) ou de (2«) doivent Cire identiques.

Pour trouver le coefficient Am, comme on sait, on multiplie les deux

SUPPLÉMENT II

membres de l’équalion (1 c ) par sin ~ dx et on intègre de x = 0 à x = I. L’équation (1 c) se réduit alorsà

.> J' sln * dx — j y sln

dx.

où il faut remplacer y par les valeurs tirées de (2) et de (2 a). En effectuant l’intégration dans (2 b) on obtient

2 bl* mizn

A = , , ; »in — —

Donc Am devient nul et, par conséquent, le mn‘ son partiel d e la corde fait défaut quand

sin

mien

c’est-à-dire quand a== J-, ou ou etc. Donc, si on suppose la corde

partagée en m parties égales et ébranlée en un des points de division, il manquera le wm,son partiel, dont les nœuds coïncident avec les points de division dont il s’agit.

Chacun des nœuds du m"* son partiel étant en même temps un nœud des 2 m"*, 3m“', 4m“*, etc., ces derniers disparaîtront tous en môme temps.

On peut aussi, comme on sait, mettre sous la forme suivante l’intégrale de l’équation (1) :

y — ç(i — al) + 6(i + ai) (4)

où a’ = -, ç et ij* sont des fonctions arbitraires. La fonction ç(x — ot) représente une forme quelconque de la corde, qui s’avance avec la vitesse a, mais sans modification, dans le sens des x positifs, la fonction une forme de même nature s’avançant avec la même vitesse dans le sens des x négatifs. On doit supposer les deux fonctions connues pour une valeur déterminée du temps, x variant de — ooà-j- « ; le mouvement de la corde est alors déterminé.

Notre problème, la question de déterminer le mouvement des cordes pincées, sera résolu sous cette seconde forme si nous pouvons déterminer les fonctions ? et de manière

1° Que pour les valeurs x = 0 et x = /, la valeur de y soit constamment nulle pour une valeur quelconque de t. Cela a lieu si pour chaque valeur de t

Ç( - an = — <|> frf al) (♦ n )

9{l — at) — — ty U+ at, <* b)

Posons dans la première équation at — — v, dans la seconde / -J- at = — v, nous avons

d’où

La fonction 9 est donc périodique; quand l’argument croit de 2/, elle reprend la même valeur. Il en est de même de <|i.

2“ Pour t = 0, doit être nul entre les valeurs x = 0 et x — I. Il s’ensuit que, si nous désignons par en égalant à 0 la valeur de tirée de l’équation (4), on a

En intégrant par rapport à x :

Et comme ni y ni ^ ne changent si nous ajoutons à 9 ou si nous retranchons de ÿ la même constante, celle-ci, C, est complètement arbitraire; nous pouvons la supposer nulle, et écrire

(Sa)

3° Enfin, comme au temps t = 0, entre x = 0 et x — /, la seule quan tité

y = ?(x| + -tfx) = 2?(x)

doit avoir la valeur représentée dans la figure 18 A, les ordonnées de cette figure, égales h la valeur de 2? (x) et de 2^ (x), restent comprises suivant l’équation (3) :

entre x = 0 et x = /

x =21 et x =Zl x =4/ et x =4/ etc.

Comme, au contraire, de (4 a), (4 b) et (5) on tire 9 ( — v) = — 9 ( v ) et 9 ( — v) = o(/-f- v), la valeur de 2s (x) est donnée par la courbe (fig- 18, G) : ‘

entre x = — I et 1 = 0

x = — 3/ et x = — 5/ et de meme entre x = / et x = 2/

entre x = 3/ et x = 4/

etc.

Les fonctions 9 et 4> sont donc parfaitement déterminées, et, en faisant avancer en sens opposé, avec la vitesse a les deux lignes d’ondes.

SUPPLÉMENT III

on obtient les formes des cordes données dans la figure 18, qui représentent les modifications de la forme au bout d’un douzième de la durée de vibration.

SUPPLEMENT 111