RENFORCEMENT DES SONS SIMPLES PAR LA RESONNANCE

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La théorie de la résonnance des tuyaux et des espaces remplis d'air, a été poussée aussi loin que le comportent aujourd’hui les mathématiques, dans mon mémoire intitulé Théorie des vibrations de l'air dans les tuyaux ouverts à l'extrémité, inséré dans le Journal de mathématiques de Crelle, Bd. LVII. La comparaison des sons partiels des diapasons et des tuyaux de résonnance correspondants se trouve dans mon mémoire sur les sons résultants, inséré dans les Annales de Poggendorf, Bd.XClX, p. 509 et 510.

J’ajoute ici les dimensions des tuyaux de résonnance mentionnés p. 73, qui avaient été construits pour moi, et adaptés aux diapasons électro-magnétiques qu’on verra plus loin, parM, Fcsselde Cologne. C’étaient des tuyaux cylindriques en carton; les surfaces terminales du cylindre étaient formées par des disques de laiton dont l’un seulement était percé d’une ouverture circulaire. Ces tuyaux n’avaient donc généralement qu’une ouverture, et non pas deux comme les résonnateurs qui sont destinés à s’adapter à l’oreille. On peut faire descendre le ton de ces tuyaux en amoindrissant l’ouverture. Quand il était nécessaire de le faire monter, je jetais un peu de cire dans le tuyau, et je plaçais l’extrémité fermée au-dessus du feu jusqu’à ce que la cire fondit et s’étendit régulièrement sur le fond. On la laisse alors refroidir en tenant le tuyau dans la même position. Pour savoir si un tuyau est trop haut ou trop bas pour le diapason correspondant, on ferme un peu l’ouverture en faisant vibrer le diapason devant elle. Si la résonnance devient plus forte par le rétrécissement de l’ouverture, c’est que le tuyau est accordé trop haut. Si, au contraire, la résonnance s’affaiblit très-nettement quand on commence à fermer l’orifice, le tuyau est accordé trop bas. Les dimensions en millimètres sont les suivantes.

Tableau.

NCHÉROS.

HAUTEUR

DBS SO?IS.

LONGUEUR

DD TCBE.

DIAMÈTRE

DU TUBB.

S ll>

rft

La théorie de la vibration par influence de la corde peut très-bien se déduire de l’expérience décrite p. 77. Nous conservons les notations adoptées dans le supplément II, et nous admettons que l’extrémité de la corde, pour laquelle x — 0, soit attachée à la tige du diapason, et que celle-ci lui communique un mouvement donné par l’équation

y — A sin ml pour x = 0. (6)

Supposons l’autre extrémité appuyée sur le chevalet qui repose sur la table d’harmonie. Le chevalet est soumis à l’action des forces suivantes :

1° La pression de la corde qui tantôt augmente, tantôt diminue selon l'angle que fait la portion terminale de la corde dans le voisinage du chevalet. La tangente de l’angle formé par la direction variable de- la

corde et la position d’équilibre, est ^ et, par conséquent, nous pouvons poser la partie variable de la pression égale à

pour la valeur x = / si le chevalet est placé du côté des y négatifs.

2° L’élasticité de la table d’harmonie qui tend à ramener le chevalet à sa position d’équilibre ; nous pouvons l’écrire — f3y.

3° La table d’harmonie qui se meut avec le chevalet, éprouve de la résistancede l’air auquel elle abandonne une partie de son mouvement, nous pouvons supposer celte résistance de l’air à peu près proportionnelle à la vitesse de son mouvement, et, par conséquent, égale à — g3 jt .

Nous obtenons donc pour le mouvement du chevalet dont la masse est M, et, pour le mouvement correspondant de l’extrémité de la corde qui s’appuie sur lui :

SUPPLÉMENT III

Pour le mouvement des autres points de la corde, nous avons, comme dans le supplément II, la condition

rf*v

Comme tout mouvement d’une corde de cette nature se communiquera en partie à l’air renfermé dans la caisse de résonnance, il s’éteindra nécessairement s'il n’est entretenu par quelque cause persistante. Nous pouvons donc faire abstraction de l’état variable du mouvement initial, et rechercher le mouvement périodique qui s'établit et persiste, sous l’influence de l’ébranlement périodique imprimé à l’extrémité de la corde par le diapason. 11 est évident que la période du mouvement de la corde doit être égale à la période de vibration du diapason. L’intégrale de l’équation (1), que nous cherchons, sera donc de la forme

y =» D cos (px) sin {ml) + K cos (px) cos [mt) i -+■ F sin (px) sin {ml) -H G sin (px) cos (mf) I '

Pour satisfaire à l’équation (1) il faut que l’on ait

|im’ = Sp*. (7 a)

De l'équation (7) on tire, pour x — 0, la valeur suivante de y y = D sin ( ml ) -+- E cos {ml), d’où, parla combinaison avec l’équation (C) :

Les deux autres coefficients de l’équation (7), à savoir F et G, doivent être déterminés au moyen de l’équation (6 a). Celle-ci, par la substitution de la valeur de y tirée de (7), se divise en deux équations, en égalant à zéro la somme des termes multipliés par sin (ml) et la somme des termes multipliés par cos (ml). Ces deux équations sont :

F[l/> — Mm*) sin pl -+- pS cos pt) — Gmj* sin pl \

= — A((/’* — Mm*) cos pl — pS sin pl) j {Sa)

Fmÿ* sin pl + G[/’ — Mm1, sin pl pS cos pl] — — A glm cos pl )

En posant, pour abréger

pS

• = tang k

I* — Mm*

(/■* — Mm*)* + p*S* = C*

(Si)

on obtient les valeurs suivantes pour F et G

P A C* sin ! {pl +k) + j‘m* sin I (pl)

ï ’ C* sin* (pl -+• 4) j‘m* sin* {pl) Cmg* sin k

G = ~ ’ U* sin* {pl + k) mV 5ll,i (PG

THÉORIE PHYSIOLOGIQUE DE I.A MlTsiQL'E.

Si on désigne par I l'amplitude de la vibration de celle des extrémités qui repose sur le chevalet et met en mouvement la table d’harmonie, on a, d'après l’équation (7)

I* = (F uo pl + A co» pl)* G* »in *pl.

et, en substituant les valeurs de F et de G, tirées de (8 e)

AC »in k |

* Vu* »in> (p/ + k) m4ÿ* sin* (pl) j

Le numérateur de cette expression est indépendant de la longueur de la corde. En changeant cette longueur, on ne peut modifier que le dénominateur. Sous le radical, on a ici la somme de deux carrés, qui ne peut être nulle, caries quantités m, g, p, s et par conséquent k, ne peuvent devenir nulles. 11 faut, en tout cas, considérer le coefficient g de la résistance de l’air comme infiniment petit. Par conséquent, le dénominateur atteint son minimum et 1 son maximum, quand

ou si

sin (pl + k) = O

pl = «ît — k (9 ri)

où a désigne un nombre entier quelconque. La valeur maxima de I est