KORME DE LA VIBRATION DES CORDES DE PIANO

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Quand une corde tendue est frappée par une pointe métallique, résistante et fine, qu’on retire à l’instant, la secousse imprime une certaine vitesse au point touché de la corde, tandis que tons les autres sont encore en repos. Posons pour l’instant de la secousse t = 0; nous pouvons déterminer le mouvement de la cordc, par la condition qu’au moment de la secousse la corde se trouve encore dans la position d’équilibre, et que le point touché seul ait une certaine vitesse. Il faut donc, dans les équations (1 c) et (1 d), supplément II, pour t = 0, poser

aussi y = 0, et j —0, en exceptant de cette dernière équation le point touché dont l’ordonnée est a.

Il s’ensuit que

0 = At = A, = Aj, elc.

et que les valeurs de B se trouvent au moyen d’une intégration analogue à celle de (2 b) :

„ . mnx i'I dy / nn zx .

7ltnrriBm J o ~ dm = ) t-Tt' — **

TznrnlBm = c sin -^2.

où c désigne le produit de la vitesse de la partie ébranlée de la corde multipliée par la longueur infiniment petite de cette portion. On a donc

c /sin nn sin nx . , 1 sin inn , !iui . .

y — — - ( — ; ; — sin 2nnt -) — sin -r- sin 4i xnt

ICfti \ l l "ZI l

. 1 . 3ît/ï . 8irx . . \

+ - sin -j- sin — sin font etc. J

% nlm mna

Bm = sin — ■ —

Le mm' son partiel de la corde fera donc encore défaut, toutes les fois que l’ébranlement aura lieu dans un point nodal. D’ailleurs les harmoniques présentent encore plus de force relativement au son fondamental que pour les cordes pincées, parce que la valeur de A„ dans l’équation (3) est divisée par mi, et celle de Bradans l’équation (10), seulement par m. C’est ce que montre d’ailleurs l’expérience, si l’on frappe des cordes avec la tranche aiguë d’une petite verge métallique.

Dans le piano, la discontinuité du mouvement de la corde est diminuée, parce que les marteaux sont recouverts de coussins élastiques. Les harmoniques aigus sont notablement diminués, parce que le mouvement se communique non plus à un seul point, mais à une portion plus considérable, et non pas instantanément comme dans la secousse au moyen d’un corps dur. Le coussin élastique cède plutôt à la première secousse, et s’aplatit de manière que, pendant le temps où le marteau repose sur la corde, le mouvement peut déjà s’étendre à une portion plus longue quecelle immédiatement en contact avec le marteau. Il serait assez compliqué d’analyser exactement le mouvement de la corde qui se produit après l'ébranlement provoqué par un marteau de piano. Mais, si nous considérons que les cordes se déplacent relativement peu, tandis que le coussin élastique et mou du marteau est très- flexible, et peut être notablement comprimé, nous pouvons, pour simplifier la théorie mathématique, attribuer à la pression exercée sur la corde par le marteau pendant la secousse, la valeur qu’elle aurait, si le marteau frappait sur un corps entièrement solide et parfaitement inflexible. D’après cela, posons la pression du marteau

F = A sin mt

pour les valeurs du temps t comprises entre 0 et ^ Cette dernière valeur^ est la longueur du temps pendant lequel le marteau repose sur la corde. Il la quitte ensuite et la laisse vibrer librement. La valeur m est directement proportionnelle à l’élasticité du marteau, et inversement proportionnelle à son poids.

Déterminons d’abord le mouvement de la cordc pendant la période du contact, de<=0 à f=~l. Appelons x0 la valeur x au point d’ébranlement. Nous désignerons par y, les valeurs de y pour les parties de la corde où l’on an<jp, par y1 celles où l’on ax>x0. Au point d’ébranlement même, la pression de la corde contre le marteau est égale à celle exercée par le marteau. On peut calculer cette pression de la corde comme dans l’équation (G a), supplément III, et nons obtenons l’équafion

F=A.mm, = s(&--^) (M)

Des deux côtés du point frappé partent des ondes. Donc y, doit avoir la forme

y i = ?!*— r,-|- al)

Dioitizc

SUPPLÉMENT IV

pour les valeurs de t telles que l'on ait 0 ■< t ■< ^ et x0 > x >» x„ — at, et

y» = ç!i0 — x + at)

par les mêmes valeurs de t et les valeurs de x pour lesquelles x0<x <a:0-|- at. En désignant par tp’ la dérivée de la fonction <p, on tire de l’équation (11)

F = A »in mt = 2&p'(at) (11 a),

ce qui donne en intégrant par rapport à t

C cos mt = — ç[at)

d’où l’on tire, en déterminant la constante de manière que pour x = x0 ± at, y, et y‘ deviennent successivement nuis :

ÿ, = 2^{,-cos T (*-*) + •"*] j’

Le mouvement delà corde est ainsi déterminé pour le temps où 0 < t

< et pour le cas où les deux ondes, en se propageant, ne viennent

pas se heurter à l’une des extrémités de la corde. S’il en était ainsi,. • les ondes s’y réfléchiraient.

Quand at est devenu plus grand que F devient nulle, et il résulte alors de l’équation (H a) que

9’ (at) = 0 d’où 9 (al) = const pour at >

Donc y, ety* restent tous deux égaux à pour tous les points de la /

corde que l’on a déjà rencontrés, jusqu’à ce que les portions des ondes, réfléchies aux extrémités de la corde, arrivent aux points considérés.

Pour introduire convenablement dans le calcul l’influence des extrémités de la corde, il faut supposer que celle-ci est infiniment longue, et que tous les points, distants du point d’attaque x0 d’un multiple de 2 1, sont attaqués simultanément et de la même manière, en sorte que chacun d’eux soit le point de départ d’ondes analogues à celles qui émanent d’x0. Imaginons, en outre, aux points oùx = — x0±2n/ un ébranlement égal à celui de x0 (n étant un nombre entier quelconque), se produisant avec la même force, mais dans un sens opposé, de manière que de ces points émanent des ondes égales à celles de x„ mais présentant des hauteurs négatives. 11 coïncide alors toujours aux extrémités de la corde deux valeurs égales mais dirigées en sens inverse des ondes

positives et négatives; ces extrémités sont donc parfaitement en repos, et, pour la portion réellement existante de la corde supposée infinie, entre ses deux extrémités, toutes les condiditions nécessaires se trouvent remplies.

Du moment où le marteau abandonne la corde, le mouvement de celle-ci peut être considéré comme la marche des deux systèmes d'ondes se propageant en avant (c’est-à-dire dans le sens des x positifs), et en arrière (dans le sens des x négatifs). Mais de ces systèmes d'ondes nous n’avons trouvé d’abord (pie des portions isolées, détachées, correspondant aux portions de la corde voisines du point d’ébranlement; nous devons encore compléter suffisamment les ondes pour obtenir un système continu d’ondes se propageant en avant et en arrière. •

Si l’on s’avance sur la corde dans le sens des x positifs, y devient nul avant qu’on ait rencontré une onde positive rétrograde, puis il croit jusqu’à valeur qu’il a aux points d’attaque positifs. Si l’on dépasse le point d’attaque et les ondes qui en émanent en avant, on retrouve des valeurs de y qui sont nulles et descendent jusqu’à — dès qu’on dépasse les premières ondes négatives rétrogrades. Cette valeur — ^ est

celle que prend y au premier point négatif. Pour relier maintenant entre elles les ondes rétrogrades positives et négatives, il faut supposer, entre

une onde positive et l’onde négative qui suit, la quantité + ^ ajoutée

aux valeurs de y,, en sorte que la hauleur d’onde conserve la valeur qu’elle a déjà en x0, jusqu’à l'endroit où commence l’onde négative correspondante. La hauteur d’onde devient donc — , — y. et descend jus-

ïniS

qu’à zéro. De même, il faut, entre un point d’attaque négatif et le point d’attaque positif qui lui succède immédiatement, supposer la quantité

— ^ ajoutée à la hauteur des ondes qui se propagent en avant. De

cette manière les ondes rétrogrades sont partout positives, les autres pàrtout négatives, et les deux systèmes ondulatoires sont en même temps disposés de façon à produire, dans leur propagation, l’espèce de mouvement que nous avons trouvé pour les cordes, après que le marteau les a abandonnées.

Nous avons maintenant à mettre ce système d’ondes sous la forme d’une somme d’ondes simples. La longueur d’onde est 2/, parce que des points d’attaque exactement analogues se retrouvent, séparés par cette distance. Prenons les ondes positives rétrogrades au temps

<=«. ona

I* de x = 0 A x = x0 — — , m

SUPPLÉMENT IV

sot

- , ut:

2* do I = T0 i I = j0)

y> = j , + co8[T,i-i»!]j;

30 de x *= t0 à x = 21 — a*o — - —

de 1 = il — x0 — — à x — il — x0,

S» de x = 2/ — x0 à x = 2/, y, = 0.

D’après cela, posons

Vi = A0 4- A, cos J (x 4- c) + A, CO» y (x 4- c) 4- A» cos y (x 4- c) 4- etc .

4- B| tin *(i + c) + B, sin y (x 4- c) 4- B, cos (x 4- c)4- etc. (12)

on a

y cos — (x 4- c)dx = An /.

y sin — ( x 4- c)dx = B /.

En faisante — tous les B s’annulent parce que y a la même valeur

pour |j; -(- \ et ^ — 5, et on peut choisir arbitrairement les limites de

l’intégrale, pourvu qu’elles soient séparées l'une de l’autre par une distance de 2/. En revanche, on a

iaKml* /rm \ /n% <nt\ ... ,

Cette équation donne les amplitudes A„ des harmoniques du son de la corde frappée. Si l’attaque se fait en un point nodal du «"• son partiel, le facteur sin ^ x0 devient nul, et il manque par conséquent tous les sons partiels qui ont un nœud au point d’attaque. C’est d’après cette équation qu’a été calculé le tableau donné à la page llj.

Si on veut déterminer d'une manière complète le mouvement de la corde, on n’a qu’à changer dans l’équation (2) pour y,, x en x -f- al. L’expression correspondante de y1 devient alors

y1 -= — A„ — At cos j (x + at — c) — A, cos y (x — al — c) 4- etc. et définitivement

V ” yt 4- y1 = 2A, co» ^ x cos j ( at + c) 4- 2A, cos y x cos y (al 4- c) 4- etc-,

ce qui résout le problème.

Si l'on fait croître m indéfiniment, c’est-à-dire si le marteau devient tout à fait dur, l’expression de An tirée de l’équation (12 a) se change en celle de dans l’équation (40).

Dans (10) l’m est identique avec l’n de (42 a).

Si m n’est pas infini, les coefficients An diminuent, pour les valeurs croissantes de n, comme i-; si m est infini, comme dans le cas où la corde est tirée de côté, comme dans la harpe, ces coefficients diminuent comme Cela est d’accord avec le théorème que Stokes (4) a établi, touchant l’influence de la discontinuité d’une fonction développée suivant la série de Fourier sur la grandeur des termes d’un numéro d’ordre élevé. Si y est la fonction qui doit être développée en série :

y = A0 •+• «in [mi c,) + A] «in (5 mn 4- c,), etc.

le coefficient A„ , pour les valeurs très-grandes de n est :

4° De l’ordre de si y lui-même éprouve une brusque variation ;

2° De l’ordre de si la dérivée ~ varie brusquement;

3” De l’ordre de jj;, si la discontinuité ne commence qu’à ;

•4" Tout au plus de l’ordre e~n, si toutes les dérivées et la fonction elle-même sont continues.

I! en résulte, par conséquent, pour les sons musicaux, la loi plusieurs fois invoquée dans le texte de l’ouvrage, à savoir qu’en général les harmoniques aigus sont d'autant plus forts, que le mouvement correspondant du corps sonore est plus discontinu.

SUPPLÉMENT V