ANALYSE OU MOUVEMENT DES CORDES DE VIOLON
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En admettant que la lentille du microscope à vibrations vibre horizontalement, et le point lumineux observé verticalement, on voit se former des courbes de vibrations analogues à celles représentées dans la figure 23, p. 446. En désignant par y les coordonnées verticales, para-, les coordonnées horizontales, y est directement proportionnel aux élongations du point vibrant, et x, à celles de la lentille vibrante. Celte dernière exécute un mouvement simple pendulaire ; soient donc n, le nombre de ses vibrations et t le temps, on a en général
x = A «in |2 stnt -t- c) où A et c sont des constantes.
(t) Cambridge, Transactions, VIII, 633-584.
SUPPLÉMENT V
Si maintenant le point vibrant fait aussi n vibrations, x et y sont tous deux périodiques et ont la même durée de période ; à l’expiration de chacune de ces périodes, a: et y reprennent par conséquent les mêmes valeurs, et le point vibrant observé se retrouve par suite exactement à la même place qu’au commencement de la période. Cela est vrai pour chacun des points de la courbe, et pour chaque répétition du mouvement vibratoire, en sorte que la courbe apparaît comme immobile.
Prenons une courbe de vibration de même nature que celles représentées précédemment dans les figures 5, 6,7, 8, 9, 10 et dont les abscisses horizontales sont directement proportionnelles aux temps ; supposons-la enroulée autour d'un cylindre dont la circonférence soit égale à une période de la courbe en question, en sorte que le temps se mesure sur la circonférence du cylindre ; en appelant x la distance à un plan passant par l’axe du cylindre, on a encore ici
x — A sin (2ir nt + c)
où A sin c représente la valeur de x pour / = 0 et A le rayon du cylindre. Si donc la courbe tracée sur le cylindre est vue par un œil infiniment éloigné, placé sur la ligne définie par x =0, y — 0, la courbe prend exactement la même apparence que dans le microscope à vibrations.
Si la période n’est pas exactement la même pour x et pour y, si, par exemple, y fait n vibrations, et si x fait n -f- An, An désignant une quantité très-petite, on peut écrire de la manière suivante l’expression dex /
x = A sin [2xn/ + (c + 2»/in)].
La constante de tout à l’heure C croit ici lentement. Quant à c, il désigne l’angle formé par le plan x = 0 et le point du dessin, pour lequel / =0. Dans ce cas, par conséquent, le cylindre, sur lequel nous avons supposé le dessin enroulé, semble tourner sur son axe.
Comme une quantité périodique de période x, peut aussi être considérée comme ayant la période 2*, 3x, «x, a étant un nombre entier quelconque, les considérations précédentes s'appliquent aussi au cas où la période de y est une partie aliquotc de celle de x, ou inversement, ou bien encore au cas où les deux périodes sont des aliquotes d’une troisième, c’est-à-dire, lorsque les sons du diapason et du corps observé sont dans un rapport de consonnance quelconque. Il faut seulement remarquer que la période commune de vibrations ne doit pas être assez longue pour que, pendant sa durée, l’impression lumineuse puisse s'éteindre dans l’œil.
Il résulte des observations, que le mouvement principal de tous les points de la corde est successivement ascensionnel et descendant, la vitesse ascendante étant constante ainsi que la vitesse descendante, mais cette dernière ayant une valeur différente. Quand l’archet prend
la corde en un des nœuds d’un des harmoniques aigus, le mouvement se produit exactement comme il vient d’être décrit à tous les
nœuds du même son. Aux autres points' A de la corde, on peut distinguer encore
dans la courbe de la vibration de petits zigzags, mais qui laissent nettement Fig. M. reconnaître la forme du mouvement
général décrit.
Dans la figure 54 comptons le temps à partir de l’abscisse du point a, en sorte que, pour a, f — 0; posons, en outre, pour le point p, t = t, et pour le point y, / =T, cette dernière lettre désignant la durée d’une période entière; la valeur de y devient alors :
de / = o à < = t, y = ft + h-, i
de ( = t & t = T, y = g (T — Q + h. j
d’où il résulte, pour < = v
En supposant maintenant y développé suivant la série de Fourier :
. 2x< . 4ît( , . fini ,
y = A, sin — + A, sin — + A, sin +etc.
I n . Girf
+ B, cos -f B, cos Bs cos + etc.,
on obtient par intégration
An sin* dt = j^y sin «fl;
» r1 n 2nizt , 7mtt .
B„ J j ^ cos—
ce qui donne les valeurs suivantes de A„ et de B„
et y prend la forme
An
(ff-4-0 T . 2nrct ~ 2n«it* S,n T ’
2n*ît*
l — cos
2nirr ) T |
Dans l’équation (S), yne représente que la distance d’un point déterminé de la corde à sa position d’équilibre. Si x désigne la distance de ce point à l’extrémité de la corde, et L la longueur de cette dernière, la forme générale de y est, comme dans l'équation (1 b), supplément 1 1 :
SUPPLÉMENT V
La comparaison des équations (2) et (3) montre immédiatement que tous les D„ sont nuis et que
C„' siu
— sm
«tct
1e' (9 + /) et T sont dépendants de x, mais non de n. En prenant les équations pour n = 1 et n = 2 et divisant membre à membre, on a :
cos
