TC X
- cos n — •
Il s’ensuit que, pour x — conformément à l’observation, t=J.
Si, au contraire, x =0, d’après l’observation, t est aussi nul ; il en résulte que
et, comme conséquence, que (g -f- f) est indépendant de x. Appelons /; l’amplitude de la vibration du point x de la corde, on a
ig+n
A = 9 (T — v) = îp
2p . ?f> ?pT
Ti^L — x)
et comme g -|- f est indépendant de x, on doit avoir
où P désigne l’amplitude au milieu de la corde.
De l’équation (3 b) il résulte que les sections ap et de la courbe de vibration ( fig . 24 A), doivent se comporter comme les portions correspondantes de la corde, des deux côtés du point observé. Il s’ensuit en définitive l’équation
comme expression plus complète du mouvement de la corde.
En posant t — ^ = 0, y devient nul pour toutes les valeurs de x, et, par conséquent, tous les points de la corde repassent en même temps par la position d’équilibre. Ensuite, on a la vitesse / du point x
' t LI •
Mais cette vitesse ne doit durer que pendant le temps t, t= Au bout
du temps t, on a donc
CD
y = fl = ET* ^ W
tant que
'<Tr
et par conséquent
KP
De là, y revient avec la vitesse g = ^ Au bout du temps t = t + f„ on a donc
sp , 8Px .
et comme
on a
= tf| T -("+'*) -£<*-*
L’écartement de la position d’éqùilibre est donc donné pour l’une des portions de la corde par l’équation (4) et pour l’autre par (4 a). Les deux équations donnent pour la forme de la corde une ligne droite qui passe par le point x = L (4), ou par le point x= 0 (4 a). Ce sont là les deux extrémités de la corde. Le point d’intersection est donné par la condition
D’où
I L — x)t = x(T — I) Lt = tT
L’abscisse x du point d’intersection croit donc proportionnellement au temps. Ce point, qui est en même temps le plus éloigné de la position d’équilibre, va donc avec une vitesse constante d’une extrémité à l’autre de la corde, en restant lui-même pendant ce temps-là sur un arc de parabole, car, pour lui,
SUPPLÉMENT VI. ' 507
Ün peut donc décrire brièvement le mouvement de la corde en disant que, dans la figure 55, le pied d de l’abscisse du sommet de la corde va et vient sur la ligne ab avec une vitesse constante, tandis que le sommet lui-même parcourt l’un après l’autre les deux arcs deparabole actb et bc,a, la corde elle-même étant tendue suivant les deux droites «e, et bct ou act et bct.
Les petits zigzags de la courbe de vibration qu’on observe si souvent, proviennent le plus souvent de ce que les sons partiels qui ont des nœuds à la place où frotte l’archet ou dans le voisinage, et qui, par conséquent, ne peuvent que peu ou point sortir sous l’archet, sont étouffés et font défaut. Si l’archet rencontre un des nœuds voisins du chevalet du mmt harmonique, les vibrations de cet harmonique, du 2m"', du 3m"', etc., n’ont aucune influence sur le mouvement du point ébranlé par l’archet, et ces harmoniques peuvent, par conséquent, disparaître sans que l’action de l’archet sur la corde en soit modifiée : c’est ainsi que s’expliquent en réalité, les irrégularités observées. Quant à ce qui arrive lorsque l’archet saisit la corde entre deux nœuds, je n’ai pu le déterminer par expérience.
SUPPLÉMENT VI
