INFLUENCE DE LA BÉSONNANCE DANS LES TUTAUX A ANCHE

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Pour les tuyaux cylindriques j’ai développé mathématiquement les lois de la résonnance dans ma Théorie des vibrations de l'air dans les tuyaux ouverts (*). On peut appliquer aux tuyaux à anche l’exemple rapporté dans le § 7 de ce mémoire, où on suppose donné le mouvement au fond du tuyau. Soit Vdt le volume d’air qui entre dans le tuyau à anche pendant le temps infiniment petit dt, cette quantité étant périodique peut être représentée au moyen du développement de Fourier, de la manière suivante :

\'dt — C* -+• co» (5 «ni -+- Tj) + Cj cos (4rcnl -+- T») etc. .. (IJ

11 faut déterminer séparément la résonnance de chaque terme, parce que les mouvements vibratoires correspondant aux harmoniques isolés se superposent sans agir les uns sur les autres. Les équations (15) et (12 ô)

(•) Journal für reine und angewandte Malhematik, Bd. LV1I.

du mémoire dont il s’agit nous montrent que si nous désignons par / la longueur du tuyau, par Q sa section, par I -\-<t la longueur réduite du tuyau (la diflérence a est dans les tuyaux cylindriques égale au rayon

multiplié par par K la quantité élantla longucurd’onde,etsinous

posons le potentiel, c’est-à-dire la fonction dont les dérivées par rapport aux coordonnées donnent les composantes de la vitesse (fonction des vitesses de Lagrange), de l’onde dans l’air libre pour le son de an vibra lions par seconde égal à

cos (nkr — 2nant + c), *

où r désigne la distance du centre à l’embouchure, on a

V' 4n* cos’ ak^l+a) -1- sin’ akJ

Comme la quantité K’Q doit toujours être supposée très-petite pour que notre théorie soit applicable, dans les cas où / -)- « n’est pas un multiple impair d’un quart de longueur d’onde, cette équation se rapproche de

a 2 TT cos ak J a'

La résonnance est donc la plus faible lorsque la longueur réduite du tuyau est un multiple pair d’un quart de longueur d’onde, et devient plus forte lorsqu’elle se rapproche davantage d’un multiple impair de celte longueur. Quand elle l’atteint, la formule complète donne,

Le maximum de la résonnance est donc d’autant plus grand que la longueur d'onde du son considéré est plus grande, et que la section est plus petite. Plus la section est petite et plus se resserrent les limites de hauteur entre lesquelles la forte résonnance peut se produire; pour une forte section, au contraire, la forte résonnance s’étend sur une portion plus considérable de la gamme.

Pour les corps creux d’une forme différente et munis d’étroites embouchures, on peut arriver à des équations analogues au moyen des lois établies dans le § 10 du même mémoire.

Comme la condition de forte résonnance est que cos ak (/-(-*) = O, dans les tuyaux cylindriques (clarinettes) les sons partiels impairs sont seuls renforcés en même temps que le son fondamental. — Dans l’intérieur de tuyaux coniques nous pouvons poser le potentiel du mouvement pour le son n égal à

V = ~ sin (kr -+• c ) cos îitnf,

où r désigne la distance au sommet du cône. Si une anche est adaptée

SUPPLÉMENT VI

à la distance a du sommet, la longueur du tuyau étant/, et par suite r= l-\- a pour l’extrémité ouverte, nous pouvons imposer comme cont dition limite pour l’extrémité libre ou au moins dans le voisinage, que la pression y soit égale àO; c’est ce qui arrive si

fiy ^

-r- = — 2icn — sin [*(/ •+• a) cl sia 2nnl = 0 ; i/r l + a

d'où

et nous pouvons poser

sin [k(l a) + cj = 0 ,

V = — sin A (r — { — u)cos (2nnt).

La plus forte résonnance correspond donc, comme dans les tuyaux cylindriques, aux sons qui présentent le minimum de vitesse à la place qu’occupe l’anche. Comme dans le développement de la vitesse à l’embouchure, équation (1), les coefficients C« ont une valeur déterminée qui ne dépend que du mouvement de l’anche et des secousses imprimées à l’air, le coefficient A de la dernière équation doit devenir d’autant plus grand, que le courant d’air correspondant à l’embouchure du tuyau a une vitesse moindre. La vitesse grandit alors dans les autres parties du tuyau. Mais la vitesse des molécules d’air est

^ — cos 2wi([ArcosA(r — l — a) — »in A(r— /— a)]*

Pour le maximum de la résonnance, il faut donc que, pour r = a,

où

A r = Ig [A(r — l — «)] ka — — tg(kl).

Si maintenantla quantité «, c’est-à-dire la distance de l’anche au sommet du cône, est très-petite, ka et tgkl sont également très-petits et il en est de môme de (kl — mu), m désignant un certain nombre entier. Nous pouvons alors développer la tangente suivant les puissances de l’arc et obtenir, en nous bornant au premier terme du développement :

ou en posant

ka = toTt — kl, k[a -J- l) = toir*

Il s’ensuit que les tuyaux coniques renforcent tous les sons, pour lesquels la longueur entière du cône comptée jusqu’à son sommet est un multiple de la longueur d”une demi-onde X; en supposant que la distance de l'anche au sommet du cône soit négligeable devant la longueur d’onde. "

Par conséquent, si le son fondamental est renforcé par le tuyau, il en sera de môme de tous les harmoniques pairs ou impairs, jusqu’à une hauteur où leurs longueurs d'onde ne sont plus très-grandes par rapport à la distance a.

SUPPLÉMENT VII

INSTRUCTIONS PRATIQUES POUR LES EXPÉRIENCES SCR LA COMPOSITION ARTIFICIELLE

DES VOYELLES

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Pour obtenir de fortes vibrations des diapasons, il est nécessaire que les nombres de vibrations correspondent avec la plus grande précision aux rapports simples arithmétiques. Quand les diapasons ont été accordés par le constructeur, d’après l’oreille et le piano, aussi exactement que la chose est possible, on arrive ainsi à la précision plus grande exigée au moyen du courant électrique lui-même. On commence par relierle diapason interrupteur avec celui donnant leson fondamental, et on déplace la pince mobile h sur le premier ( fig . 33, pi33), jusqu'à ce qu’on obtienne l’unisson parfait où le son fondamental atteint le maximum d’intensité, ce qu’il est facile à l’œil aussi bien qu’à l’oreille d’apprécier. En effet, les vibrations de ce diapason le plus grave sont assez fortes, pour que l’amplitude à l’extrémité des branches atteigne 2 à 3 millimètres dans les circonstances favorables. Il faut remarquer aussi que si l’on approche de l’unisson sans l’atteindre, et qu’on fasse agir le courant électrique sur le diapason, on entend et on voit, au début de l'action, quelques battements qui disparaissent cependant quand l’appareil est arrivé à la marche normale.

Après avoir obtenu l’unisson entre l’interrupteur et le diapason du son fondamental, on intercale successivement dans le circuit les autres diapasons avec leur caisse de résonnance ouverte, et on en modifie le ton jusqu’à ce qu’ils donnent le maximum d’intensité du son sous l’influence du courant intermittent. On les accorde d’abord au moyen de la lime. On sait qu’on hausse les diapasons, en diminuant un peu les branches à leur extrémité, et qu’on les baisse en amincissant la base des branches. Mais tout cela doit se faire aussi régulièrement que possible sur les deux branches. Pour déterminer si le diapason est trop haut ou trop bas, on colle un peu de cire aux extrémités des branches, ce qui baisse le ton, et on observe si le son est renforcé ou affaibli. Dans le premier cas, le diapason est trop bas, dans le second, il est trop haut. Comme les changements de température et peut-être aussi d’autres circonstances exercent une petite influence sur le ton du diapason, j’ai préféré rendre un peu trop hauts, aveu la lime, tous les diapasons aigus, et les ramener au ton véritable en collant aux extrémités des branches,do

SUPPLÉMENT VII. SH

petites quantités de cire. La quantité de cire peut être facilement modifiée à volonté, ce qui permet de faire disparaître de petites altérations fortuites du ton. Pour les tuyaux de résonnance, il n'est pas nécessaire de les accorder avec cette précision ; lorsqu’en soufflant dedans, on obtient le même son que le diapason, l'accord est suffisant. S’ils sont trop bas, on peut y couler de la cire fondue, ce qui hausse le ton. S’ils sont trop hauts, il faut en rétrécir un peu l’orifice.

J’ai eu quelque peine à faire disparaître le bruit de l’étincelle à l’endroit de l’interruption du courant. J’ai d’abord intercalé un grand condensateur formé d’une planche recouverte d’une feuille d’étain, comme on en emploie dans les grands appareils d’induction électro-magnétiques. L’étincelle est alors affaiblie, mais seulement dans une certaine mesure. Je constatai qu’il n’était plus utile d’avoir un condensateur plus grand. Les deux surfaces du condensateur sont séparées pan des feuilles minces de papier vernissé, dont l’une communique aêec le diapason interrupteur, et l’autre avec le godet plein de mercure où plonge l’extrémité de la pointe de l’interrupteur. Après de nombreux essais infructueux, je finis par trouver que l’interposition d’un fil métallique très-long et très-mince entre les deux extrémités du circuit, à l’endroit de l’interruption, éteignait presque entièrement le bruit de l’étincelle sans nuire cependant à l’action du courant sur les diapasons. Le fil métallique ainsi interposé doit avoir une résistance de beaucoup supérieure à celle offerte par l’ensemble du circuit dans tous les électro-aimants. Alors il ne passe pas par ce fil une portion de courant qui puisse être prise en considération. D’abord, si le courant est établi et que le fil mince ferme seul le circuit de l’extra-courant, ce dernier le traverse. Pour que le fil lui-méme ne donne point d’cxtra-courant, il ne doit pas être enroulé autour d’une bobine; il faut au contraire qu’il soit tendu et replié sur une planchette, de manière que les deux portions voisines soient traversées par des courants de sens contraire. A la fin, j’ai vissé aux deux extrémités d’une planchette d'un pied de long, deux peines de caoutchouc dur, entre les dents desquels j’ai fait passer quatre-vingt-dix Ibis un mince fil de cuivre argenté, comme on en emploie pour broder les tissus de soie. On obtient ainsi une grande longueur (quatre-vingt-dix pieds) de ce fil, bien isolée et renfermée dans un espace relativement resserré, de manière qu’il ne se produit pas d’extra-courant appréciable. En effet, si, au moment de l’interruption du courant dans le fil, il s’y produisait un extra-courant, celui-ci aurait dans les électroaimants et le circuit formé parle fil mince, une direction opposée à celle de l’extra-courant dans les électro-aimants, et ce dernier empêcherait en totalité ou en partie, la propagation à travers le fil mince.

Pour mettre les diapasons en mouvement, j’employais deux ou trois éléments de Grove. Les électro-aimants étaient rangés en deux séries, les uns à côtés des autres. La disposition générale est représentée en schéma (fig. 56). Les chiffres de t à 8 désignent les tuyaux de résonnance dés diapasons, les lignes ponctués allant à m, et m„ les fils qui

ôtent les couvercles des orifices des tuyaux : de a, à a,, sont les électroaimants qui mettent en mouvement les diapasons placés entre leurs branches ; b est le diapason interrupteur ; f, l’électro-aimant correspondant. Leur position respective a été un peu modifiée pour mettre mieux

Kig. SS.

en évidence la marche du courant. Les éléments de la batterie électrique sont représentés par e, et e,, le long 01 amortisseur par dd, le condensateur, dont les plaques enroulées en spirale ne sont vues qu’en section, par c.

Le courant électrique va de e„ à travers la série de tous les électro-aimants des diapasons, à la tige de l’interrupteur g. 11 est quelquefois plus avantageux de disposer cette portion du circuit de manière à la partager en deux branches parallèles, à placer dans l’une les trois diapasons les plus hauts, les plus difficiles à ébranler, et dans l’autre branche, les cinq plus graves. Grâce à cette disposition, les trois premiers diapasons sont traversés par un courant plus fort que les cinq autres.

Le reste du circuit de g à l’autre pôle de la pile e„ contient l’appareil interrupteur; celui-ci est disposé de manière à ce que chaque vibration du diapason rétablisse deux fois le courant, quand la branche supérieure plonge dans le mercure du godet h, et quand la branche inférieure s’introduit dans le godet «'. Si le circuit se ferme en A, le courant

SUPPLÉMENT VII

va de g en A par la branche supérieure du diapason, puis en k et en e , à travers l’électro-aimant du diapason f. Entre h et k il est très-nécessaire d'intercaler encore une branche latérale A/A, de résistance moyenne, de manière à affaiblir assez le courant dans l'électro-aimant /, pour que le diapason b ne vibre pas trop fort. Les zigzags figurés en l représentent cette branche.

Les branches du diapason s'éloignent-elles l’une de l’autre, le courant sera interrompu en h, et, après une courte interruption, rétabli en t, en sorte que, maintenant il ira de^ en «à travers la branche inférieure du diapason, et, delà, ene, en passant par K. Au moment de l’interruption en h ou en i, l’induction fait naître dans les huit électro-aimants des diapasons, des extra-courants énergiques, qui donneraient de brillantes et éclatantes étincelles aux points d’interruption, si l’électricité ne pouvait en partie s’accumuler dans le condensateur c pour le moment, en partie traverser le long fil amortisseur dd.

Ce dernier établit, comme on voit, une communication durable entre g et la pile, mais il est si mauvais conducteur, qu’il ne peut passer qu’une portion inappréciable du courant, excepté si, au moment de la fermeture du circuit, la grande force électro-motrice de l’extra-courant prend naissance.

Il faut adopter la disposition ici décrite lorsque le diapason f est l’octave supérieure du diapason b. S’il est au contraire à l’unisson de b, on ôte le fil ik et on amène en h les deux autres fils se terminant en «.

Si l’on veut retirer du courant certains diapasons isolés, on ferme dans ce but de petits commutateurs correspondant aux bobines des électroaimants. Cette disposition est représentée ( ftg . 32, p. 154). Les boutons métalliques A, A sont reliés avec les vis de pression g où se termine le fil de l’électro-aimant. Si l’on abaisse le levier t, il vient appuyer avec quelque frottement sur le bouton A, et établit une communication beaucoup plus facile que le fil de l’électro-aimant ; il en résulte que le courant se transmet principalement de A en A, et qu'il n’en passe qu’une portion négligeable par le chemin beaucoup plus long du fil qui entoure les électro-aimants. — En cc qui concerne la théorie du mouvement des diapasons, il est d’abord évident que l'intensité du courant dans les électro-aimants doit être une fonction périodique du temps. La durée de la période est égale à la période d’une vibration du diapason interrupteur A. Soit n le nombre d’interruptions par seconde. L’intensité du courant dans les électro-aimants, et, par suite aussi, la valeur de la force exercée par eux sur les diapasons, sera de la forme :

Ao-I-A, cos (2irnf-f-C|)+A| cos <v4nn/4-ct)4-A3C0S (Gîrnf-f-Cj)-hetc.

Le terme général de cette série, Am cos (<lnmnt-\- c„), est propre à mettre en mouvement le diapason qui fait mn vibrations par seconde, et n’agit que faiblement sur les diapasons accordés à une autre hauteur.

st

si*

SUPPLÉMENT VIII

PHASES DES ONDES QUI PRENNENT NAISSANCE DANS LA RÉSONNANCE. Page 159.

Supposons qu’on approche un diapason de l’orifice d’un tuyau de ré sonnanceet que l’oreille de l’auditeur se trouve à une distance du tuyau, très-grande par rapport aux dimensions de l’orifice. J’ai démontré (*), que si un point sonore se trouve au point B d’un espace en partie limité par des parois solides, et en partie libre, le mouvement sonore en un autre point A du même espace est le même comme intensité et comme phase, qu’il serait en B, si le point sonore était en A. Soient B la position du diapason (ou, plus exactement, de l'extrémité de l’une de ses branches), A celle de l’oreille. Le mouvement de l’air qui se produit lorsque le diapason se trouve près de l’orifice, n’est pas facile à bien déterminer, mais (p. 47 et 48 du mémoire cité) j'ai déterminé le mouvement pour le cas où le diapason est très-loin. Supposons donc le diapason transporté à la place de l’oreille en A, nous avons à déterminer le mouvement sonore au point B près de l’orifice. Ce mouvement se compose de deux parties dont l’une (son potentiel représenté dans le mémoire par «1»), correspond au mouvement qui se produirait si l’orifice du tuyau était fermé ; dans le cas présent, elle est trop petite pour pouvoir être perçue; l’autre partie, désignée par *fr, a, d’après les notations employées, dans l’espace libre, et à quelque distance de l’orifice, la valeur [p. 38 du mémoire, équation (12 A)] :

AQ (kp — JimO ,

- — cos — -

(Q est la section du tuyau, p la distance du centre de l’orifice, n le nombre de vibrations, la longueur d’onde). Le mouvement, à une distance infiniment petite r du point sonore A, est donné par l’équation :

n ! ros^irn' — c] | ■ I r (

et c’est, si nous désignons par r, la distance du point imaginaire sonore A au centre de l’orifice du tuyau, d’après (16 e) et (13 a) du mémoire cité :

— tang (Ai-, 4- c) = lang t, = —

sin A'/oosA’a j

if TC CUS k%i -f- (Xj j

il la longueur du tuyau, a une constante qui dépend de la forme de l’orifice) et enfin on a (16 c, 13 a) la valeur désignée par I :

(*) Journal fur reine und angewamUe Mathematik, Bil. LV1I, S. I 4u, 72. Théorie der L uftschwingunyen in Rôhren mit offenen Enden.

SUPPLÉMENT VIII