COMPOSITION DES COURBES

donc égales, conformément à la règle de la composition des vibrations, à la somme (algébrique) des hauteurs correspondantes de A et de 13. Ainsi, l'ordonnée c, de G est la somme des ordonnées ax et b, de A et de B ; la portion inférieure de cette ordonnée c„ jusqu’à la courbe ponctuée, est égale à à , et le surplus à bx. Par contre, l’ordonnée c3 est égale à la hauteur a3 diminuée de la hauteur négative ô2 ; on trouve de la môme manière toutes les hauteurs de la courbe G.

Le mouvement figuré par la courbe C est donc périodique et a la même longueur de période que A, cela est évident. Par le fuit, l’addition de la division d0o de A et et de B donnera les mômes résultats que l’addition des portions exactement égales SS, et **,, et si on suppose les deux courbes prolongées, il en sera de môme de toutes les divisions suivantes.

Mais il est évident aussi que, pour se superposer dans l’addition par portions toujours égares, les deux courbes devront pouvoir se partager en parties congruentes d’une longueur de période exactement égale; c'est le cas de la figure 1 1 où deux périodes de B valent exactement une période de A. Les longueurs horizontales de notre figure représentent les temps, et, en remontant des courbes aux mouvements réels, on voit que le mouvement aérien résultant des sons A et B est périodique, malgré sa complexité, parce que l’un des sons fait, dans le même temps, deux fois autant de vibrations que le second.

Il résulte aussi de l’exemple précédent, que la forme particulière des deux courbes A et B n’entre pour rien dans ce fait que leur somme C est aussi une courbe exactement périodique. Quelle que soit Informe de A et de B, pourvu seulement que chacune puisse être partagée en portions congruentes de môme longueur que les divisions de l'autre, c’est-à-dire que ces portions embrassent une, deux, trois périodes des courbes, une division de A, composée avec une division de B, donnera toujours une division de C, exactement égale à toutes celles qu’on peut former avec les divisions correspondantes de A et de B.

Si une pareille division de G embrasse plusieurs périodes des courbes considérées, comme dans la figure il, les portions es et ««,, embrassent deux périodes du son B, B sera, selon sa hauteur, l'un des harmoniques du son fondamental dont la période a la longueur de chacune des divisions principales (dans la fbj. H, du son A), conformément à la règle énoncée plus haut. f

Pour donner une idée de la multiplicité des formes qui peuvent résulter de compositions relativement simples, je ferai remarquer qu’on obtient déjà une forme différente pour la -courbe composée, en se bornant à déplacer un peu B sur A, avant de procéder à l’addition. Déplaçons B de manière à faire coïncider le pointe avec rf„ nous ob-

tiendrons la courbe H-D présentant d’étroites éminences et de larges dépressions, mais les versants des éminences ont la même pente, tandis que dans la courbe C l’un des versants est pins incliné que l’autre. Déplaçons encore B de manière à faire coïncider e avec rfa, la courbe composée sera symétrique de C (comme l’image d’un objet dans un miroir), c’est-à-dire, que la forme sera la même, mais que la droite sera devenue la gauche. Le versant le plus incliné, situé à gauche dans C, sera à droite dans D. Enfin, si nous faisons coïncider e avec (/,„ nous obtenons une courbe semblable à D renversée, comme on l’obtiendrait en retournant le livre, de manière à placer les dépressions en haut et les éminences en bas.

Toutes ces courbes et leurs dérivées sont périodiques. La figure 12-c présente d’autres courbes composées périodiques G et D,- résultant

des mêmes courbes A et B, dont les périodes sont dans le rapport de i à 3. Les lignes ponctuées sont encore la copie de la première vibration de A, pour permettre au lecteur de s’assurer que la courbe composée s’élève ou s’abaisse partout, au-dessus ou au-dessous de A, de quantités égales à celles dont B s’écarte au-dessus ou au-dessous de la ligne horizontale. Dans C, A et B sont ajoutées, telles quelles se trouvent l’une au-dessous de l’autre; dansD, on a d’abord déplacé B d'une demi-longueur d onde à droite, avant de l’additionner avec A. Les deux formes dill’èrent entre elles, et diffèrent aussi de toutes celles