LES MATHÉMATIQUES SUGGÈRENT L'IDÉE DE CORRECTIONS NÉCESSAIRES

2° En plaçant sous nos yeux, par des substituts symboliques parfaitement nets, des faits musicaux à l’observation directe desquels nous consacrerions un temps énorme, le mathématicien nous fait voir, du même coup, les corrections dont ces faits musicaux sont susceptibles.

Remarquons que si l’observation fournit la première base, il n’est pas possible de se fonder uniquement sur elle pour établir un système musical. Aujourd’hui où l'éducation est poussée si loin, combien rares sont les chanteurs dont la voix est toujours juste ! Il faut, tout en observant ce que font les musiciens, rectifier leurs habitudes, n’être pas dupe de leurs maladresses, ne pas prendre pour un faitpremier ce qui n’est qu’une fauie, en un mot mettre de l’ordre dans ce qui est indéterminé: sans cela, il serait impossible de constituer la gamme. ou plutôt de donner un fondement précis à la grammaire musicale. Le mathématicien devient donc dogmatique, après avoir été simple observateur ; il redresse et organise les faits musicaux après les avoir mesurés : il arrive forcément à ce nouveau rôle, car le langage dans lequel il oblige les phénomènes à s'exprimer est tellement net et saisissant, qu’il suggère de lui-même l’idée de certaines améliorations.

Voici l'intervalle de tierce. évalué dans la gamme pythagoricienne par le rapport 81 : 64. Cette mesure est déduite d’un principe général (la quinte) et, en même temps, elle a pu être tirée de certains usages

des musiciens. Mais nous voyons tout de suite qu'elle n’est pas très heureuse.

Deux sons simultanés donnent lieu à un troisième son dont le nombre de vibrations est déterminé par la différence des deux premiers. Ici, entre 81 et 64 ce serait le son 17. Or 17 a pour octave 34 et pour double octave 68, supérieur à 64. Les deux sons de la tierce pythagoricienne donnent donc lieu à un son qui est en dissonance avec eux; et pour cette raison, cette tierce est contraire à l’harmonie. Elle est trop grande.

Dans la gamme dite des physiciens, où le système de Pythagore a été modifié, on l’a réduite au rapport 5 : 4. Ici, le son résultant est 1, qui a pour octave 2 et 4, et qui, par conséquent, renforce un des deux éléments composant la tierce.

Cette nouvelle tierce, elle aussi, est donnée par l'expérience en même temps que trouvée par la théorie: les expériences de MM. Mercadier et Cornu ont prouvé en effet que les musiciens usaient de la tierce 81 : 64 dans la monodie et de la tierce 5 : 4 dans la polyphonie. |

La moindre retouche, dans un système aussi délicat que la gamme, est grosse de conséquences. Si. par un besoin d'unité qui est excessif, nous adoptons la seconde tierce à l’exclusion de la première, voilà toute notre gamme bouleversée, bien que ce changement paraisse insignifiant. En restreignant l'intervalle do-i, nous sommes obligés de restreindre, du mème coup. les deux autres tierces: fa-la et sol-s1. De plus, rapetisser do-mi, c’est nécessairement agrandir mi-fa; et le même fait se reproduit entre si et do, par suite de la modification de so/-si. Enfin les dièses et les bémols,

eux aussi, reçoivent la répercussion de. ces remaniements. Dans la gamme des physiciens, le do # est inférieur au réh ; il lui est supérieur au contraire dans le système pythagoricien. Nous sommes donc amenés à la question suivante : étant admis un changement dans une partie de la gamme, quelles sont les autres parties sur lesquelles il faudra faire porter la compensalion ?

Les mathématiques ont créé la difficulté ; ce sont elles qui vont aider à la résoudre.

On a construit une troisième gamme, dite fempérée, qui, au lieu de faire subir l’altération nécessaire à tel ou tel intervalle, altère fous les intervalles de la gamme, divisée en douze demi-tons uniformes. Ici encore, c'est à l’aide du calcul que l’on peut trouver les formules ; et cela, de la manière la plus simple. |

Représentons par a la tonique servant de point de départ. L’octave devra être 2 a. Entre ces limites, nous avons à disposer 12 demi-tons égaux.

Le premier degré au-dessus de la tonique sera obtenu en multipliant cette tonique par une valeur qui est à trouver. (Cette obligation de multiplier, et non d’additionner, était ignorée des anciens et ne doit pas nous

étonner. Dire que ré a est à do dans le rapport Z” c'est

dire que rég vaut les F de do. Pour avoir ré, 1l faut donc

prendre les de do. c'est-à-dire multiplier do

: 9 pa re

Désignons par la lettre q l'intervalle constant qui doit être introduit 12 fois dans la gamme nouvelle. Le premier degré, âprès a, sera aq; le suivant sera aq x<q, Où ag?; puis aq <q <a, Où ag ete., ce qui nous donnera :

"a, aq, aq°?, aq», ag°, aqgÿ, aqg6..…… 2 a

Si au lieu de considérer chaque valeur, toujours formée des mêmes éléments a et avec des exposants différents, nous considérons les exposants seuls (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...) nous aurons une progression : arithmétique substituée à une progression géométrique ; et si q estconnu, il nous suffira pour déterminer une des douze notes de la gamme, de connaitre lexposant correspondant. C’est ce que l’on appelle trouver un nombre à l’aide de son logarithme.

La base dont nous avons ici besoin est obtenue de la manière suivante : pour aller de a à 2 a, nous avons dû (puisqu'il s'agissait de rapports, exprimés par des nombres fractionnaires) opérer des multiplications, et non des additions; par conséquent, pour obtenir le degré-type de notre échelle, comprenant 12 inter- -valles égaux, nous ne devons pas diviser la différence 2 a — a —n par 12, mais prendre la racine douzième du quotient 2a:a=—2. La formule fondamentale de la gamme tempérée est donc V2, valeur du demiton chromatique.

Le tableau suivant donne les intervalles des douze degrés de la gamme tempérée à 17106 près. En regard, sont les valeurs des intervalles pour les notes de la gamme pythagoricienne et de la gamme des physiciens :

GANNE GAMME GAMME TEMPÉRÉE PpYTHAGORICIENNE DES PHYSICIENS ut —1 4 =1 | ulz — 1,059463 9 9 ré — 1,122462 8 — 4,125 3 — 1,125

ré — 1,189207

faz — 1,414214 L — 1,498307 3 4,5 3 45 SU —— À) 2 — ; 9 — 3 solz — 1,587401 la — 1,681793 2 — 1,6875 Es — 1,6666 16 3 laz — 1,781797 243 45 st — 1,887749 —— — 1,898! — — 75 si 1,8877 Te 1,8984375 8 1,875 ut —2 2

L’arithmétique, on le voit, après avoir été ancilla cantus, devient magistra cantus, en ce sens qu’elle arrive peu à peu à dégager des faits le principe qui doit les régler.

En musique, elle n’est pas toujours, comme en physique, le seul langage que l'on puisse parier : le compositeur pourrait même l’ignorer complètement ; le sentiment, l’imagination et la pensée pure peuvent lui suffire. Si cependant on ne se contente pas de l'instinct seul, et si l’on veut une doctrine, l'arithmétique s’impose d’abord, puisque la construction musicale est faite de grandeurs mesurables; et elle est

infiniment commode : éliminant toutes les particularités complexes des choses pour ne retenir que leur forme, elle place sous les yeux du théoricien des symboles qui le dispensent d’une perte de temps et sur lesquels il peut travailler comme s’il opérait sur les réalités elles-mêmes.

On a objecté que, d’une part, les nombres et les relations numériques ercluaient tout à peu près; que, d’autre part, dans la musique pratique, tout n'élail qu'à peu près, la justesse parfaite et absolue n'étant jamais obtenue, et que, par suite, toute connexité entre le langage des chiffres et celui des sons était vaine. Cette objection n'aurait d’autre effet que de démontrer l'utilité des mathématiques : elles fournissent un moyen plus sûr que l'oreille pour apprécier les erreurs clles-mêmes; et le système qu’elles permettent d'établir, s’il n'est jamais rigoureusement suivi par les virtuoses, est un idéal nécessaire, proposé à leur habileté, et dont ils doivent chercher à se rapprocher le plus possible.

Cette observation s'applique surtout à la symphonie où interviennent plusieurs instruments ayant besoin d’une base d’entente. Adopter comme diapason normal un son exécutant 870 vibrations à la seconde et en faire le principe de l’ « accord », c’est reconnaître que la musique ne peut être socialisée sans le secours de l'arithmétique.

Enfin, le luthier construisant un instrument se trouve dans les mêmes conditions que le physicien, . au point de vue de la méthode et des moyens de travail : sans les formules que les mathématiques ont dégagées une fois pour toutes de l'étude des faits, il

n’arriverait qu'après des tâtonnements très longs à déterminer l'endroit où il faut percer un tuyau pour faire une flûte, ou le point de la corde tendue qui doit être attaqué par le marteau, dans un piano. L’étendue de chaque instrument est fixée par des lois acoustiques; le compositeur qui écrit pour la trompette, le cor, la flûte, la contrebasse, etc., doit connaître exactement cette étendue : il est donc, dans l’acte de création, dominé par des lois objectives, exprimables en formules numériques, et dont il doit se rendre compte s’il ne veut pas se résigner à faire usage de simples recettes.