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sation verbale des relations spatiales compatibles entre elles, dire qu'une figure ne peut entrer dans un espace, c'est dire qu'elle constitue un système de relations incompatible avec un système plus général, décoré du nom d'espace « (1).

En d'autres termes, la divergence des trois géométries, ou plutôt leur opposition partielle, tire son origine, non de la nature des espaces présupposés, mais uniquement du caractère des éléments géométriques qui y sont contenus. Si, comme le soutient la géométrie riemannienne « deux droites d'un plan se rencontrent en deux points opposés « , ou d'après la géométrie lobatchefskienne , « si elles se rencontrent, ou sont assymptotes l'une de l'autre, ou divergent indéfiniment à partir d'une perpendiculaire commune «, c'est dans la nature spéciale de ces lignes qu'il faut placer la raison de ces propriétés, mais nullement dans l'espace métaphysique qui, dans l'espèce, n'a aucun rôle à jouer, aucune influence quelconque à exercer sur le mode spécial d'extension de ces droites. Lorsque la ligne, le plan ou une figure donnée perdent, en se prolongeant dans Fes-

(1) Lechalas. Etude sur f espace et le temps, p. 52. - Paris. 1896.

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pace, leur homogénéité apparente, seuls ces éléments géométriques subissent le changement; la distance spatiale comme telle reste indifférente.

Il faut rendre hommage à M. Lechalas d'avoir voulu dissiper Féquivoque qui, trop longtemps déjà, sétait attachée à lemploi de la notion spatiale dans le domaine de la metagéométrie.

On doit bien le reconnaître, le langage courant de la science nouvelle justifiait parfois les appréhensions des philosophes. L'interprétation de l'ingénieur français lève le doute.

La thèse de Thomogénéité spatiale, telle que Fentend le métaphysicien, se prend dans une acception différente de celle adoptée par la géométrie générale. Son sort n'est donc point lié aux chances de succès que l'avenir réserve aux diverses géométries, car aucune d'elles ne voit dans l'espace, soit un facteur réel de différenciation des figures ou éléments géométriques qui y prennent place, soit une cause réelle de leur identité persistante au sein des déplacements.

Grâce à la diversité des points de vue, les deux questions sont indépendantes ; la preuve de lune n'entraîne point la condamnation de l'autre.

Soustraite de ce chef aux atteintes de la métaphysique, la géométrie générale n'en acquiert pas, du même coup, droit de cité dans la science de l'espace. La question de sa valeur scientifique reste entière. Les trois conceptions qu'elle embrasse sont-elles intrinsèquement possibles, également probables? A laquelle de ces trois fféométries semble se conformer notre univers?

Questions épineuses, ardemment discutées et qui semblent jusqu'ici lancer le défi à l'intelligence humaine.

A\ant d'en aborder l'exposé, disons quelques mots de sa genèse. C'est le moyen de s'en faire une juste idée.

Comme toute science, la géométrie classique ou euclidienne débute par un certain nombre de définitions, dont la nécessité ne peut faire l'objet d'un doute, car il faut bien savoir de quoi Ton parle. Mais au cours de ses démonstrations, elle fait usage d'axiomes géométriques ou postulats, c'est-à-dire de propositions non démontrées et jusqu'ici réfractaires à tout essai de démonstration, mais que l'on tient pour vérités certaines , parce qu'elles sont l'objet d'intuitions sensibles.

En fait, ce sont des correctifs des définitions ; ils en précisent le sens, et en restreignant la

portée, ils en excluent des applications dont les définitions seraient par elles-mêmes susceptibles.

Le cinquième de ces postulats peut s'énoncer €omme suit : ^ Si une droite rencontrant deux droites situées dans un même plan, fait d'un même côté des angles intérieurs dont la somme soit moindre que deux droits, les deux droites prolongées indéfiniment se rencontrent du côté 4ont la somme est inférieure à deux droits. «

Le sixième postulat s'identifie avec la théorie des parallèles. Il affirme « que deux droites ne contiennent pas d'espace. «

Ces deux propositions une fois admises, la géométrie euclidienne s'impose. Elle constitue alors un système de déductions logiquement enchaînées, à l'abri de toute contradiction.

Mais qu'arriverait-il si on rejetait en tout ou en partie ces postulats?

La question pouvait se poser; car en somme, ils ne jouissent pas d'une évidence intrinsèque, et aucun essai de preuve n'est encore parvenu à nous en donner une certitude absolue. Du doute on a passé au fait.

Lobatchefsky rejeta le cinquième postulat mais en maintenant le sixième. Il posa ainsi le fondement d'une liéométrie nouvelle, appelée lobatchefskienne.

De son côté, Riemann rejeta le sixième postulat et rendait possible la démonstration du cinquième. Ce fut le point de départ d'une troisième géométrie nommée riemannienne.

Le rejet des postulats entraînait avec lui des conséquences considérables. Les définitions reprenaient leur portée native et donnaient lieu à des multiples applications nouvelles qui différenciaient profondément les trois branches de la géométrie générale.

Comme le disaient déjà deux illustres devanciers des mathématiciens cités, ^ il y a probablement des surfaces courbes sur lesquelles certaines lignes courbes ont des propriétés analogues à celles des droites dans le plan, à part la propriété exprimée dans le cinquième postulat d'Euclide. De même, les grands cercles sur la sphère ont des propriétés très semblables à celles des droites dans le plan, à part la propriété exprimée dans le sixième postulat d'EucUde : deux droites ne peuvent enclore un

espace. »»

Ces conjectures, dit M. Mansion (1) sont

(1) Premiers principes de la métagéométrie. Revue néo-scolastique. Mai et août 1896. C'est surtout ce remarquable article du professeur de luniTersité de Gand qui nous servira de guide dans l'étude de cette question.

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parfaitement fondées et se réalisent dans les géom( 'tries nouvelles.

Tandis que la géométrie classique n'admettait qu une seule espèce de droite, de plan, et en général d espace , les géométries nouvelles regardent ces éléments géométriques comme autant de genres ayant chacun leurs espèces diverses. Ainsi, si à la définition classique de la droite on ajoute le cinquième et sixième postulat, on obtient la droite euclidienne; si on ny ajoute que le sixième postulat, on a la droite lobatchefskienne ; enfin lajoute du cinquième postulat seul donne la droite riemannienne.

De même, la somme des angles d*un triangle est égale à deux di-oits dans un triangle euclidien ; inférieure à deux droits dans un triangle lobatchefskien, supérieure à deux droits dans un triangle rieiiiannien.

Bien que beaucoup de propriétés de la droite, du plan, et d'autres figures diffèrent dans les trois géométries, ce serait une erreur de croire qu'aucune ne leur est commune. Il en est qui ne dépendent point des postulats cités, et forment, par conséquent, une partie commune aux trois systèmes. Ce sont les propriétés qui appartiennent, non aux espèces de droite, de

plan, etc. mais aux genres comme tels.

Telle est l'origine logique et l'orientation des <yéoniétries nouvelles.

" De ravis de mathématiciens très distingués, les géométries euclidienne, lobatchefskienne et riemannienne forment un système complet de géométrie générale, d'une égale rigueur mathématique. .

Dans un travail publié dans la Mathesis, (1) M. de Tilly aurait même démontré que les trois branches de la science de l'espace échappent, au même titre, au danger d'une contradiction quelconque.

Son exposé est .analytique. Partant de la notion de distance, qui devient ainsi la seule notion fondamentale de la géométrie, il arrive à des formules qui sont précisément propres à la géométrie générale des espaces, mais dans lesquelles se trouve un coefficient indéterminé. Or, d'après la valeur qu'on lui attribue, on obtient, sans recourir à aucun postulat, la géométrie euclidienne et les systèmes de géométries lobatchefskiennes et riemanniennes.

Toutes les trois dérivent donc d'une même source, et déroulent leurs déductions dans leur

(1) Voir le supplément à la livraison de décembre 1893;