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voie respective, avec la même certitude de ne devoir jamais se contredire.

Pour avoir suivi une méthode inverse, M. Mansion n'en aboutit pas moins à la même conclusion.

« L exposé élémentaire de la géométrie générale, dit-il, tel que nous lavons esquissé d'après Euclide, Lobatchefsky , Riemann et leurs continuateurs, conduit aux relations caractéristiques entre les distances de trois points d une droite, de quatre points d'un plan, de cinq points d'un espace à trois dimensions.

« Réciproquement, l'exposé analytique de M. de Tilly, qui part de la notion de distance et des relations dont il vient d'être question, permet de retrouver tous les résultats de l'exposé élémentaire, et prouve, par suite, que les "" définitions, les postulats et les axiomes qui sont le fondement de cet exposé élémentaire sont compatibles les uns avec les autres.

« Réunis, l'exposé élémentaire et l'exposé analytique, constituent donc un système complet de géométrie générale, absolument inattaquable au point de vue de la rigueur ^^ (1). C'est aussi la pensée qu'expriment en termes

(1) Premiers principes de la métagéométrie. Revue néo-scolasiique. Août 1896. p. 259.

non moins catégoriques MM. Lechalas (1) et

Calinon.

Néanmoins, la métagéométrie a été l'objet d'un grand nombre de critiques; ses adversaires à l'heure présente sont encore bien nombreux. Comme toute théorie nouvelle qui contredit nos habitudes, et surtout le témoignage apparent de notre sensibilité, cette science devait éveiller la défiance et la contradiction.

Aussi, les épithètes malsonnantes ne lui furent pas épargnées. On l'appela, '^ une chimère « , « une rêverie de mathématicien »» , ^ une conception qui blesse le bon sens r>, etc. Ce genre de critique n'a jamais fait avancer la science d'un pas, et l'indifl'érence à l'égard de tels procédés est le seul résultat pratique auquel de tels adversaires peuvent légitimement

prétendre.

En fait de critiques sérieuses, il en est peu qui aient eu pour objet la logique des déductions ou la valeur des démonstrations comprises dans la géométrie générale. On en convient, d'ordinaire, le principe une fois

(1) Etude sur l'espace et le temps, p. 48 et passim. Item. La géométne des espaces à paramètre positif, Aiinales de philosophie chrétienne. 24* vol. p. 75. 1891.

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admis, il faut en accepter toutes les conséquences, et reconnaître que les trois géométries constituent un système tripartite, parfaitement cohérent et inattaquable.

Le véritable terrain de la discussion, ce sont les postulats et les rapports des géométries nouvelles avec les données sensibles.

Ces postulats sont-ils nécessaires d une né- «essité métaphysique?

Dans laffirmative, les systèmes non euclidiens impliquent contradiction, deviennent intrinsèquement impossibles. Ils peuvent bien être logiques dans la suite des déductions, mais leur point de départ contient une absurdité.

Dans la négative, au contraire, il faut en admettre la possibilité intrinsèque, et il serait même loisible à Dieu de les réaliser: car comme le dit saint Thomas, Dieu peut tout ce qui n^implique pas contradiction.

Dans rhypothèse, où on établirait par des preuves péremptoires lexistence de lespace euclidien, la géométrie classique jouirait sans doute d une vérité de fait, mais la question de là possibilité des géométries non euclidiennes resterait entière.

Or, jusqu'ici, nul que nous sachions, na démontré la nécessité métaphysique des postu-

lats. Un grand nombre de mathématiciens ont tenté cette preuve par les voies les plus diverses. De leur aveu, ces efforts sont restés

infructueux.

Quant à l'intuition sensible, seul moyen de contrôle de Yewistence des postulats, elle est incontestablement favorable aux vues anciennes. Tandis que notre imagination se trouve impuissante à se figurer maintes données de la métagéométrie, elle vit de formes appropriées à la géométrie euclidienne.

D'ailleurs, les partisans les plus convaincus des systèmes nouveaux n'hésitent pas à reconnaître, que la perception des espaces non euclidiens exigerait une transformation profonde de nos organes des sens.

« Les formes géométriques possibles, dit M. Lechalas, ne sont point limitées, à celles qui peuvent prendre place dans notre univers, à celles que notre imagination peut se figurer. 11 en est d'autres, conçues par la raison, qui pourraient être réalisées dans un autre univers, meubler pour ainsi dire, d'autres imaginations. Entre l'infinité des géométries également rationnelles, la raison ne saurait faire un choix; mais l'expérience peut révéler celle qui est réalisée dans notre univers ; nous pourrons

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demander à rimagination les formes dont elle vit ». (1)

Mais cette transformation organique est-elle réellement impossible ? f^aut- il contester au créateur le pouvoir de créer des organes plus puissants que les nôtres, de leur donner des aptitudes incompatibles avec celles que nous possédons, de les mettre enfin en harmonie avec les caractères nouveaux d'un monde métagéométrique?

Bien que nous n'ayons que fort peu de sympathie pour la nouvelle doctrine, nous n oserions nous prononcer dans cette délicate question.. Jusqu'ici, on na fourni aucune preuve péremptoire de l'impossibilité de cette hypothèse.

Plus catégoriques encore, plusieurs mathématiciens ont même contesté la possibilité d'établir que la géométrie physique est euclidienne, même si elle l'est réellement, sous prétexte qu'aucun travail de mensuration ne réunira jamais les conditions que réclame une exactitude mathématique absolue; toutes nos mesures n'étant qu'approximatives.

Cette assertion est indéniable. Mais il n'en

(1) Loc. cit, p. 63.

est pas moins vrai, que notre espace présente une telle conformité avec la géométrie traditionnelle, qu'il faut supposer aux espaces non euclidiens des rayons de courbure extrêmement ^Tands, pour ne pas voir dans le résultat des mesures, une incompatibilité réelle avec les données des géométries nouvelles. Selon toute probabilité, la forme euclidienne est bien celle qui caractérise notre espace.

Du reste, la question qui s'agite est avant tout une question de possibilité. Notre imagination limite- 1- elle les formes possibles de l'espace? Pour être vraies et réalisables, des conceptions géométriques doivent-elles être en harmonie avec nos perceptions sensibles ?

Sous cet aspect, cette question re§te entière. A notre avis, elle ne sera résolue que le jour où on établira la nécessité métaphysique des postulats, ou l'impossibilité absolue de toute forme qui dépasse la portée de notre pouvoir inia

Art. V. Vespcœe est le contenant exclusif

des êtres matériels.

S11 est une notion inhérente à l'idée spatiale, ou plutôt, qui en pénètre tout le contenu, cest bien la notion d'étendue.

La géométrie, qu on a appelée à juste titre, la science de l'espace, n'est en somme que la science de l'étendue envisagée dans ses éléments fragmentaires, tels que la ligne et le plan, ou dans les multiples figures résultant de leurs combinaisons variées.

En fait, qui de nous pourrait se représenter un intervalle spatial, un milieu, une distance quelconque, sans qu'aussitôt s'éveille en lui la représentation d'une étendue réelle, imaginaire ou du moins possible? Il y a là pour tous une impossibilité physique qui s'accentue davantage encore, lorsqu'il s'agit de déterminer cet intervalle, d'en percevoir les limites réelles. Si dans Tordre abstrait, la ligne et la surface nous suffisent parfois à limiter une distance, à enclore un milieu, dans l'ordre concret au contraire.

cette limitation ne se fait que par des corps à triple dimension.

L'étendue, telle est la notion qui se retrouve au fond de tout concept spatial, qui en envahit les éléments constitutifs, tant matériel que

formel.

Dès lors, qu'y a-t-il d'étonnant que l'espace soit le réceptacle naturel de la matière, le lieu approprié des substances corporelles? En elles, et en elles seulement se réalise l'étendue. Mais il y a plus; au sens rigoureux du terme, l'espace, croyons-nous, ne peut contenir que des

corps.

A quelles conditions un être peut-il y prendre

place?

En premier lieu, il faut qu'il jouisse d'une présence limitée : un être ne se trouve réellement dans l'espace que s'il existe, en dehors de lui, d'autres réalités qui le circonscrivent et le contiennent. Se trouver dans l'espace et y être contenu sont évidemment des termes synonymes.

Sous une forme analogue , saint Thomas nous exprime la même pensée au premier livre des Distinctions : « Dicendum quod locus habet mensurse rationem ad id quod est in eo per commensurationem, scilicet ad corpus ; unde sic esse in loco ut in loco, est loco

comraensurari « (1). Ne peuvent prendre place dans un lieu, dit-il, que les réalités susceptibles d y trouver leur mesure.

A défaut de cette première condition, 1 être divin échappe forcément à toute localisation spatiale. Conformément à une loi universelle qui proportionne le mode de présence à la perfection essentielle des êtres, Dieu, qui est la perfection infinie, doit aussi jouir d'une présence sans limites. Intimement et substantiellement présent à toutes les œuvres sorties de ses mains, il le serait encore, et sans subir aucune modification, à la multitude infinie des possibles, s'ils arrivaient un jour à lexistence.

Loin donc de trouver dans les limites ultimes de notre espace réel les confins de sa présence, il le domine tout entier comme une de ces créations sans nombre auxquelles peut s'étendre son immensité.

Mais ce privilège n'appartient qu'à Dieu seul. Toute créature porte en elle-même une imperfection native qui limite sa présence et l'astreint ainsi à réaliser la première condition requise pour une localisation spatiale.

Bien que tous les êtres finis soient soumis

(1) s. Thomas. Dist. 37. Lib. I. q. I». I. 2,

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à cette première exigence, tous ne sont pas encore, pour ce motif, les hôtes de l'espace. Ils ne le deviennent que moyennant une seconde condition, l'étendue.

Nous l'avons dit, tout ce qui se réfère à la notion spatiale s'imprègne de cette propriété. Entre le caractère distinctif de l'espace et le mode d'être des substances qui y sont reçues, il ne régnera donc une harmonie, une adaptation vraiment naturelle, que si chacune de ces substances contient des parties quantitatives, situées les unes à côté des autres, mais réunies cependant en une unité continue. Car toute partie de l'étendue, si petite soit elle, reste toujours douée d'une certaine extension et renferme partant des parties multiples.

Rigoureusement parlant, l'espace ne peut être le lieu appropri ' (i'aucun être indivisible dont le propre est d'exclure de son sein toute composition, toute pluralité d'éléments constitutifs. Comment pourrait-il s'adapter à une position spatiale qui, par essence, implique une multiplicité potentielle de parties?

Le point mathématique qui n'a ni longueur, ni largeur, ni épaisseur, mais que l'imagination se plaît souvent à nous représenter dans la définition génétique de la ligne, comme une