Deuxième objection

Si l'espace, tel qu'il s'étale à nos regards, n'avait point de limite réelle, il comprendrait plusieurs multitudes infinies, de grandeur différente. Dans notre monde actuel, il existe plus de substances minérales que de plantes, plus de plantes que d'animaux. Bien plus, dans chacun des règnes de la nature, chaque espèce est représentée par un nombre spécial d'individus. A supposer l'univers infini, on arrive donc à cette conséquence évidemment inadmissible qu'il peut exister une multitude de multitudes infinies d'inégale grandeur (^) .

Cet argument n'est en somme que l'application au monde réel du fameux argument de Cauchy contre la possibilité de la multitude infinie. Le voici en substance : Supposons établie, dit-il, la suite des nombres entiers. A côté de cette série de nombres, nous en formons une autre qui ne comprend que les Ccirrés de la première. Si ces suites sont infinies, elles doivent avoir toutes les deux le même nombre de termes. Or la première contient tous les nombres entiers, les carrés et les non Ccirrés ; la seconde au contraire, ne contient que les carrés. La première est donc plus grande que la seconde, et comme toutes les deux, par hypothèse, doivent être égales, il en résulte qu'il existe des nombres égaux dont l'un est plus grand que l'autre (") !

A la base de ces objections se trouvent deux principes dont

(^) Janssens, Le néo-criticisme de Renouvier, pp. 224 et suiv., Paris, Alcan, 1904. Les arguments de Renouvier y sont largement exposés et défendus par l'auteur. — Cf. Beurier, M. Renouvier et le criticisme français. (Revue philosophique, 1877).

(2) M. MoiGNO. Sept leçons de physique générale, 3« leçon. — Cf. Leroy. Le mouuemenf idéaliste (Annales de philosophie chrétienne, 1898, pp. 28 et suiv.).

la vcJidité est, à bon droit, contestée par les infinitistes : 1° La multitude infinie est la plus grande de toutes les multitudes ; 2° Tous les infinis sont égaux. Ou plutôt, comme le dit M. Coutiurat : « ces deux principes se rêimènent à un seul, à savoir qu'il n'y a qu'une multitude infinie; car si l'on admet qu'il ne peut y avoir de nombre plus grand que l'infini, on en conclut immédiatement que tous les nombres infinis se réduisent à un seul (^).. ))

Et d'abord, peut-il y avoir plusieurs multitudes infinies ?

Assurément, répond le docteur médiéval, car l'infini dont il est ici question, est un attribut qui suit la loi du sujet auquel il s'applique et se multiplie avec lui. Il est synonyme d'absence de limites et sans plus. Que l'on suppose des collections diverses, constituées l'une de plantes, l'autre d'animaux, une troisième de substances minérales, que l'on suppose même vingt, cent collections différentes par la nature des objets qu'elles contiennent, l'infinitude appartiendra à chacune d'elles et au même titre, si ces diverses multitudes sont positivement inépuisables et se refusent à tout dénombrement. Pourquoi donc la possibilité de l'une serait-elle exclusive de la possibilité des autres ?

En second lieu, tous les infinis, dit-on, sont égaux, ou d'égale greindeur. Proposition équivoque qui ne doit sa fortune qu'à son caractère d'ambiguïté.

On peut distinguer deux choses dans l'infini : l'absence de limites et le contenu, c'est-à-dire les unités collectionnées.

Exsiminons la première de ces notes; deux infinis peuventils différer l'un de l'autre au point de vue de l'absence de limites ?

La réponse, semble-t-il, est évidente. S'ils sont infinis, il

(1) COUTURAT, De l'infini mathématique, Liv. IV, p. 434, Paris, Alcan, 18%.

faut que tous les deux possèdent la note essentielle de cette sorte de grandeur et excluent de la même manière la possibilité d'un terme final. Sous cet aspect, le seul qui appartienne en propre à l'infini, toutes les multitudes infinies se valent, toutes sont de même greoideur.

Au lieu de considérer la note caractéristique de l'infini, note nécessairement identique dans tous les infinis, examinons-en mainteneuit le contenu : une multitude infinie d'une espèce doiuîée peut-elle contenir plus d'unités qu'une multitude infinie d'une autre espèce ?

Malgré qu'on en ait, la réponse, cette fois, doit être aiffirmative. Il nous paraît clair que la richesse du contenu dépend de l'unité choisie, ou, en d'autres termes, que l'infini est plus ou moins grcind suivant que l'on prend une unité plus ou moins petite (^) .

Admettons, par exemple, qu'à l'heure présente, il existe dans l'univers une infinité de plantes. Comme chacune d'elles porte un certain nombre de feuilles, il y aura, en fait, plus de feuilles que de plantes. Cela veut dire qu'à chaque unité de la première multitude correspondra dans la seconde multitude ime unité plus riche qui sera peut-être de vingt, trente ou mille feuilles. Mais les deux collections formées d'éléments d'inégale complexité jouiront toutes les deux de l'infinitude, en ce sens qu'aucune limite réelle n'est imposée à leur extension.

Si donc dans l'hypothèse d'un espace infini, on réunissait par la pensée en une seule collection tous les minéraux et les êtres organisés, la multitude ainsi obtenue sera plus grande au point de vue ontologique que l'une ou l'autre série d'êtres qui la constituent. Elle comprendra proportionnellement plus d'unités, sans être cependant ni plus ni moins infinie que

(1) COUTURAT, De l'iniini mathématique, Liv. IV, passim, Paris, Alcan, 18%.

chacune d'elles, puisque toutes excluent la possibilité d'un dernier terme (^) .

Que l'on ne s'imagine pas cependant pouvoir placer bout à bout deux ou plusieurs multitudes infinies, à l'effet d'en obtenir une troisième qui serait seule douée de l'infinitude. Pareille opération suppose, d'évidence, que chacune des multitudes additionnées possède un terme au delà duquel vient prendre place le premier élément de la collection suivante. Ce qui revient à poser l'infini en le supprimant, car, redisons-le, il a pour caractère essentiel de n'avoir point de limites.

Enfin, dira-t-on peut-être, n'est-il pas universellement admis que rien n'est plus greuid que l'infini ? Or conçoit-on que plusieurs multitudes puissent se réclamer de semblable privilège ?

Loin de nous la pensée de mettre en doute le bien-fondé de cet adage, pourvu toutefois qu'on ne le détourne peis de son véritable sens. Or, quelle est la véritable signification de cette formule ? Dire d'une multitude infinie qu'elle est la plus grande possible, c'est dire simplement qu'elle est plus greinde que tout nombre fini quelconque, ou encore, que l'infini comme tel n'est susceptible d'aucim accroissement, qu'il s'étend au delà de toute limite pensable ou imaginable.

La propriété d'être « le plus greind possible » appartient donc à l'infini en tant qu'infini, c'est-à-dire considéré comme une grandeur excluemt toute limite. Tel est l'unique aspect sous lequel le vieil adage exprime une vérité incontestable.

Veut-on l'appliquer aux unités finies de la multitude infinie ? Sa fausseté saute aux yeux. Il est évident que la richesse ou la complexité de l'unité choisie peut veurier à l'infini sauis porter aucun préjudice à la répétition illimitée de cette unité.

(1) Leibniz, Œuvres philosophiques par P. Janet. Lettre au Père des

Brosses, mars 1706, Cet auteur regarde aussi comme erronée l'opinion qui

proclame l'égalité absolue de tous les infinis. « Argumenta contra infinitum actu supponunt... infinita omnia esse aequalia ».

A ce point de vue, l'infini comporte des degrés sans nombre. Soutient-on que cette propriété (( d'être le plus grand possible» ne peut appartenir qu'à une seule multitude infinie ? Alors l'adage devient une assertion purement gratuite ou plutôt erronée, car sous cet aspect toutes les multitudes infinies se valent, quel que soit d'ailleurs leur nombre.