La métagéométrie

Origine et orientation des géométries nouvelles.

Comme toute science, la géométrie euclidienne débute par un certain nombre de définitions dont la nécessité s'impose, car il faut bien savoir de quoi l'on parle ; mais au cours de ses démonstrations, elle fait usage d'euciomes géométriques ou postulats, c'est-à-dire de propositions non évidentes et jus-

qu'ici réf lactaires à tout essai de démonstration, mais que l'on tient pour des vérités certaines parce qu'elles sont l'objet d intuitions sensibles. Ces axiomes sont des correctifs ou plutôt des compléments des définitions; ils en précisent le sens, en restreignent la portée et par là excluent certaines applications que comporteraient nécessairement ces définitions si elles étaient isolées des axiomes.

Le cinquième de ces postulats peut s'énoncer comme suit : « Si une droite, rencontrcuit deux droites dans un même plan, fait d'un même côté des angles intérieurs dont la somme soit moindre que deux droits, les deux droites prolongées indéfiniment se rencontrent du côté où la somme des émgles est inférieure à deux droits. » Cette proposition est souvent appelée le postulatum d'Euclide.

Le sixième postulat affirme que « deux droites ne peuvent enclore im espace ».

Ces axiomes une fois admis, la géométrie euclidienne s'impose. Elle constitue alors un système de déductions d'une rigueur logique inattaquable.

Mais qu'arriverait-il si l'on rejetait en tout ou en partie ces postulats ?

En réalité, il y a lieu de soulever la question, car ces postulats ne brillent pas des clartés de l'évidence, et aucun essai de démonstration n'a pu en établir l'absolue nécessité.

Du doute on a passé au fait. Lobatchefski rejeta le cinquième postulat, mais en maintenant le sixième. 11 posa ainsi le fondement d'une géométrie nouvelle, appelée lobatchefskienne. Riemann rejeta le sixième postulat et rendit du même coup possible la démonstration du cinquième. Ce fut le point de dépcu*t d'une nouvelle géométrie nommée riemannienne.

Le rejet des postulats euclidiens entraîne natvurellement après lui des conséquences considérables. Les définitions reprennent leur portée native et se prêtent à des applications

nouvelles qui différencient profondément les trois branches de la géométrie générale.

« Il y a probablement, disaient déjà deux illustres devanciers des mathématiciens cités, il y a probablement des surfaces courbes sur lesquelles certaines lignes courbes ont des propriétés smalogues à celles des droites deins le plan, à part la propriété exprimée dans le cinquième postulat d'Euclide. De même, les grcuids cercles sur la sphère ont des propriétés très semblables à celles des droites dans le pian, à part la propriété exprimée dans le sixième postulat d'Euclide : deux droites ne peuvent enclore un espace. »

Ces conjectures, écrit M. Mansion, sont pcirfaitement fondées et se réalisent dans les géométries nouvelles (^) . Tandis que la géométrie classique n'admet qu'une seule espèce de droite, de plan, et en général d'espace, les géométries non euclidiennes regardent ces éléments géométriques comme autcuît de genres, ayant chacun leurs espèces diverses. Ainsi, si à la définition ordinaire de la droite on ajoute le cinquième et le sixième postulat, on obtient la droite euclidienne; si on n'y ajoute que le sixième postulat, on a la droite lobatchefskienne; enfin l'ajoute du cinquième postulat seul donne la droite riemannienne.

De même, la somme des angles d'un triangle est égale à deux droits dans un triangle euclidien, inférieure à deux droits dans un triangle lobatchefskien, supérieure à deux droits dans un triangle riemannien.

Enfin, par un point donné, on peut mener, à une droite déterminée, une seule parallèle dans la géométrie d'Euclide, une multitude infinie dans la géométrie de Lobatchef ski ; on ne peut en mener aucune deois la géométrie de Riemann (") .

(1) Mansion, Premiers principes de la métagéométrie , (Revue Néo-Scolastique, mai et août 18%.)

{-) H. PoiNCAP.É, La science et l'hypothèse, p. 54. Paris, Flammarion, 1903.

Bien que beaucoup de propriétés de la droite, du plan et d'autres figures diffèrent dans les trois géométries, ce serait une erreur de croire qu'aucune propriété ne leur est commune. Il en est, en effet, qui ne dépendent point des postulats et qui, ï>artant, peuvent former une partie identique dans les trois systèmes. Ce sont les propriétés qui appsu-tiennent, non aux espèces de droite, de plein, etc., mais aux genres comme tels.