Valeur logique des trois géométries

Abstraction faite des principes divers sur lesquels elles s'appuient, les trois géométries euclidienne, riemêumienne et lobatchefskienne constituent un système complet de géométrie génércJe, d'une égale rigueur mathématique.

Dans im travail publié par la Mathesis, de Tilly a même démontré que, non seulement les trois branches de la science de l'espace excluent toute contradiction interne, mais qu'une contradiction ne saurait infirmer l'une d'elles seins que les autres soient infirmées du même coup, et au même titre (^) . Partcint de la notion de distance qui devient ainsi la seule notion fondamentale de la géométrie, cet auteur est parvenu à construire une formule, propre à la géométrie générale, mais deuis laquelle se trouve un coefficient indéterminé. Or, d'après la valeur qu'on attribue à ce coefficient — et à priori rien ne peut fixer ce choix, — on obtient, sans recourir à aucun postulat, la géométrie euclidienne et les systèmes de géométrie riemannienne et lobatchefskienne. Toutes les trois dérivent donc d'une même source et déroulent leurs déductions dsois leur voie respective avec la même garantie de ne jameùs se contredire.

Pour avoir suivi une méthode opposée, M. Meinsion n'en aboutit pas moins à la même conclusion. « L'exposé élémen-

(') De Tilly, MathesU (supplément à la livraison de décembre 1893.)

taire de la géométrie générale, dit-Il, tel que nous l'avons esquissé d'après Euclide, Lobatchefski, Riemann et leurs continuateurs, conduit aux relations caractéristiques entre les trois points d'une droite, de quatre points d'un plan, de cinq points d'un espace à trois dimensions.

(( Réciproquement, l'exposé analytique de M. de Tilly, qui pcu-t de la notion de distance et des relations dont il vient d'être question, permet de retrouver tous les résultats de l'exposé élémentaire et prouve, par suite, que les définitions, les postulats et les axiomes qui sont le fondement de cet exposé élémentaire sont compatibles les uns avec les autres.

(( Réunis, l'exposé élémentaiire et l'exposé zuialytique constituent donc un système complet de géométrie générale, absolument inattaquable au point de vue de la rigueur (^) . »

A cette conclusion se rallient tous les partisams de la science nouvelle, comme aussi tous les adversaires qui l'ont étudiée avec le plus d'impartialité et de souci scientifique. A citer notamment, Lechalas (') , Calinon (") , H. Poincaré (') , Boucher {') , Russell («) , Fouillée {') , Warrain {') , etc.

(1) ManSEON, Fremiers principes de la métagéométrie , (Revue Néo-Scolastique. août 1896, p. 259).

(2) Lechalas, Etude sur l'espace et le temps, p. 81, Paris, Alcan, 1910. — La géométrie des espaces à paramètre positif. (Annales de philosophie chrétienne, 1891, p. 75).

(■') Calinon, L'indétermination géométrique de l'anioers (Revue philosophique. 1893, pp. 595-607).

(*) H. Poincaré (Revue des Sciences pures et appliquées, 15 décembre 1891, pp. 773-774).

(5) Boucher, Essai sur l hyperespace, passim, Paris, Alcan, 1905.

(•») Russell, Essay of the foundations of Geometry, Cambridge. University Press. 1897.

(') Fouillée, La pensée et les nouvelles écoles anii-intellectualiates, pp. 226 et 8U1V., Paris, Alcan, 1911.

(8) Warrain, L'espace, passim, Paris, Fischbacher, 1907.

186, — Rapports des trois géométries avec la réalité. Quelle est la géométrie de notre univers ?

La question posée éteint d'ordre expérimental, ne peut être résolue que par les procédés propres à la science expérimentale. Or les expériences faites sur notre globe — et ces expériences ne se comptent plus à l'heure présente — témoignent toutes en faveur de la géométrie euclidienne.

Il y a d'abord la possibilité de construire des figvires semblables dans l'espace à trois dimensions et sur les surfaces développables ou planes.

En second lieu, plus se perfectionnent les instruments de mesure, plus aussi se confirment les axiomes : la somme des angles d'un triangle est égeJe à deux droits ; l'équidistante d'une droite est une droite, et une transversale fait avec ces deux droites des cingles correspondants égaux.

« Sans doute, écrit M, Andrade, l'emalyse mathématique, c'est-à-dire la logique, est indifférente au choix du groupe (des géométries) . Mais pourquoi nos sens nous imposent-ils des habitudes qui nous dirigent vers le groupe euclidien ? C'est qu'entre autres expériences, ils ont l'expérience des corps solides naturels (^) . »

Ces faits, nous en convenons volontiers, nte constituent p£ts, à eux seuls, une preuve apodictique du ceiractère euclidien de notre imivers. Cïir, à supposer même que notre univers soit conforme à ime géométrie sphérique ou riemeinnienne, en sorte que toutes nos droites soient en réalité des courbes, il suffit d'attribuer à cette sphère cosmique un immense rayon pour que la courbure des lignes devienne indécelable dsuis les petites figures terrestres que nous mesurons. A certaine

(1) Andrade. Les bases expérimentales de ta géométrie euclidienne. (Revue philosophique, 1891, p. 431).

époque, les habitants de la terre n'ont-ils pas été victimes de patreille illusion, lorsqu'ils croyaient habiter une surface plane ?

a Que nous soyons jamais capables, dit M. Russell, de déterminer avec certitude que notre espace est euclidien, cela doit, au contraire, être regcirdé comme impossible. Car l'espace euclidien est un ccis limite, dont, pcir rapport aux distances mesurables, d'autres genres d'espace peuvent se rapprocher indéfiniment (^) . » Ce jugement est incontestable s'il s'agit de certitude absolue.

Mais le champ des recherches s'est élcirgi et étendu aux rayons lumineux émis par les astres que comprend le système solaire ainsi qu'à la gravitation.

(( Or, nous arrivons, écrit M. Lechalas, par une double voie, par l'étude purement géométrique et par l'étude dynamique des phénomènes naturels, à cette conclusion, que dems l'étendue du système solaire, les rayons lumineux ont, sous réserve des systèmes isométriques, la forme des droites euclidiennes, c'est-à-dire que le paramètre de l'espace auquel appartiennent ces droites est, p>our nos instruments, infiniment grand par rapport aux disteoices du soleil et des planètes... On peut dire en principe que cette vérification s'étend jusqu'aux distances des étoiles les plus voisines de la terre {^) . »

(1) Russell, Les axiomes euclidiens sont-ils empiriques? (Revue de métaphysique et de morale, 1898, p. 761). — CaRRA DE VaUX, A propos de la définition de la ligne droite (Revue de philosophie, 1902-1903, p. 81).

(2) Lechalas, Etude sut l'espace et le temps, pp. 186-187, Paris, Alcan, 1910. Cet argument paraît être infirmé par une découverte réalisée en 1920 à l'occasion d'une éclipse de soleil. D'après la théorie actuelle de la relativité, la lumière est considérée comme une chose pesante, capable, par conséquent, de subir l'action d'un champ de gravitation et d'être déviée en passant au voisinage d'une masse attirante assez considérable. Or, pendant l'éclipsé de soleil qui eut lieu en 1920, on a pu constater qu'un rayon lumineux stellaire avait subi une déviation de 0"83 en passant au voisinage du soleil pour parvenir jusqu'à nous.

Du point de vue expérimental, il est donc p>ermis daifimner que, selon toute probabilité, la forme euclidienne est bien la forme caractéristique de notre espace.

Pour H. Poincaré, la raison des sympathies dont jouit communément la géométrie d'Euclide doit être cherchée, non dans sa conformité avec les données expérimenteJes, mais dans sa simplicité et sa commodité. A l'effet de justifier cette assertion, il imagine de nombreuses et ingénieuses hypothèses tendant à montrer les illusions dont nous pourrions être le jouet dans la mesure des grandeurs spatiedes (^) .

Comme le dit, avec à-prop>os, M. Lechalas, raisonner de la sorte, c'est se placer absolument en dehors des conditions de la vérification expérimentale. Si pai exemple, après avoir déplacé un corps dans l'espace, nous constatons que ce corps fait encore sur nos sens la même impression qu'auparaveuit, nous sommes en droit, jusqu'à preuve du contraire, de considérer ce déplacement comme s'étaoït opéré sans déformation. C'est là une règle de conduite fondamentale que le savant freinçais jette par dessus bord, rendant même impossible toute vérification scientifique (") .

Selon M. Guillaume (( la géométrie euclidienne est plus simple que toute autre. Elle n'est pa^ telle seulement par suite de nos habitudes d'esprit ou je ne sais quelle intuition directe que nous aurions de l'espace euclidien; elle est la plus simple en soi... elle restera toujours l'instrument le mieux approprié à l'analyse de l'espace. (^) »

(^) H. Poincaré, La science et l'hypothèse, pp. 83 et suiv., Paris, Flammarion, 1903.

(^) Lechalas, Etude sar l'espace et le temps, p. 191. Paris. Alcan, 1910. — Voir aussi une critique très serrée chez FouiLLÉE, La pensée et les nouvelles écoles anti-intellectualistes, pp. 226-256. Paris, Alcan, 1911.

(') Guillaume. La théorie de la relativité (Revue de Méthaphysique et <le Morale, octobre-décembre 1920, p. 469).

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