Les géométries nouvelles sont-elles réalisables

Pour les uns, « ces prétendus espaces n'ont de l'espace que le nom : ce sont des fictions mathématiques par lesquelles nous projetons les ombres de l'étendue réelle dans un monde imaginaire de symboles ; ce sont des hypothèses algébriques qui peuvent avoir leurs conséquences exactes, comme les quantités négatives, mais qui n'ont aucune valeur comme expression de la réalité (^) . »

D'ordinaire, ces auteurs basent leur conviction, d'une paît sur l'accord constant de la géométrie euclidienne avec les données expérimentales, d'autre part, sur notre impuisséince à nous représenter les figures propres à la métagéométrie. Tcindis que notre imagination se refuse invinciblement à se plier à ces dernières, elle vit, au contraire, des formes caractéristiques de la géométrie classique.

Certes, ces raisons ne sont pas dénuées de toute valeur. Le premier fait nous paraît incontestable. Quant au second, les partisans les plus décidés des systèmes nouveaux n'hésitent pas à reconnaître que la perception des espaces non euclidiens exigerait une transformation profonde de nos orgzines sensoriels. Mais par contre, ils croient pouvoir souscrire szms hésiter à la possibilité même d'autres formes de la sensibilité.

« Les formes géométriques possibles, dit un illustre mathématicien françaùs, ne sont pas limitées à celles qui peuvent prendre place dans notre univers, à celles que notre imagination peut se figurer. Il en est d'autres, conçues par la raison.

(') Fouillée, La pensée et les nouvelles écoles anti-intellectualialea, p. 229, Paris, Alcan, 1911. — RiBOT, L'éoolution des idées générales, p. 179. Paria, Alcan, 1909. — ReNOUVIER (L'année philosophique, 2« année, pp. 63 et suiv.).

qui pourraient être réalisées dans un autre univers, meubler ï>our ainsi dire d'autres imaginations (^) . »

<( Il nous est impossible, écrit M. Boucher, de prévoir comment l'espace pourrait appeu^aître à des êtres qui n'auraient pas les mêmes sens que nous, ou dont la conscience ne coordonnerait pas les sensations de la même manière (^) . »

En réédité, a-t-on découvert une seule raison péremptoire de refuser au Créateur le pouvoir de réaliser des organes plus puissants que les nôtres, ou plutôt, des organes doués d'aptitudes incompatibles avec celles que nous possédons, mais parfaitement en heumionie avec les caractères d'un monde métagéométrique ? Nous ne le croyons pas. Aussi, s'inscrire en faux contre la métagéométrie, pour de semblables motifs, nous semble quelque p>eu téméraire.

D'autres auteiu-s, confiants dans ce fait, que les déductions des systèmes nouveaux sont rigoureusement logiques et semis contradiction possible, les regardent d'emblée comme applicables au monde réel. N'est-ce pas, dit-on, un principe cher au docteur médiéval, que Dieu peut tout ce qui n'implique pas contradiction (^) ? S'il en est ainsi, les définitions qui ne contiennent pas de données contradictoires peuvent bien être inconciliables avec des vérités de fait, elles s'imposent néanmoins comme des éléments susceptibles de réalisation.

A notre avis, ce raisonnement appelle, lui aussi, certaines réserves. Pour créer im système de relations rationnelles, il suffit d'établir des notions conventionnellement définies, puis de déduire de leurs propriétés arbitraires les conséquences logiques; mais dans quelle mesure ces combinaisons serontelles applicables à un ordre d'existence concret qui implique

(1) Lechalas, ouv. cit., p. 120.

(2) Boucher, Eaaai sur l'hyperespace, pp. 68-69, Paris, Alcan, 1905.

(3) S. Thomas, Snmma contra gentes, liv. II. c. 22. « Quidquid contradictionem non implicat, Deus potest. »

des données étreoigères à celles qu'on a pu embrasser dans une définition (^) ? C'est justement la question qui se pose lorsque l'on passe du domaine purement idéal à celui de la réalité.

En d'autres termes, l'absence de contradiction dans la suite des déductions ne prouve en rien la légitimité du point de départ. Eln fait, les trois genres de géométrie correspondent à des degrés divers d'abstraction. Dans la géométrie euclidienne, l'intelligence néglige uniquement les particularités individuelles des éléments géométriques perçus par nos organes sensoriels et universalise ces éléments abstraits. Si la nature ne contient point les figures parfaites que nous offre le monde idéal, nous en trouvons cependant des copies concrètes approchées et même apparemment fidèles dans l'ordre des réédités concrètes, ce qui rend incontestable leur origine empirique. Au contraire, dans les deux autres conceptions de l'espace, l'abstraction devient ime véritable élimination, non plus seulement de certains caractères individuels, de certaines im{>erfections inhérentes aux données sensibles, mais aussi d'éléments empiriques même idéalisés, telle, par exemple, la ligne droite euclidienne ou la conception des parallèles. Tandis, en effet, que la géométrie euclidienne s'appuie siur certains postulats expérimentaux, la géométrie riemannienne rejette le sixième de ces postulats, et la géométrie lobatchefskienne rejette le cinquième.

Or, pareilles abstractions ne suppriment-elles pas des conditions sans lesquelles les figures nouvelles cessent d'être réalisables ? Problème délicat que la logique des déductions ne suffit pas à résoudre.

Enfin, certains auteurs, notamment M. Warrain, semblent hésitants.

(1) Warrain. L'espace, p. 49. Paris, Fischbacher, 1907.

« On a considéré, dit-il, la droite définie sans postulats, et, par conséquent, incomplètement déterminée, comme un genre dont les droites euclidiennes et non euclidiennes seraient les diverses espèces. Evidemment, cela est légitime au point de vue logique; mais pour que ces genres et espèces ne soient pas de simples classes de nos concepts, mais correspondent à une possibilité de rapports objectifs, il faudrait prouver qu'en fait et sous une forme spatiale concevable, il est possible de disjoindre les propriétés de la droite d'avec celles qui font l'objet des postulats. Or, il se pourrait parfaitement que ces deux ordres de propriétés soient liés nécessairement . On a échoué dans les tentatives de les déduire l'un de l'autre, mais ils poiuraient peut-être se déduire l'un et l'autre distinctement d'un principe supérieur qui serait le véritable fondement de la notion de droite (^) . »

A notre sens, cette troisième attitude est la plus ratioimelle, la plus conforme à l'ensemble des faits. Le fond du litige ce sont les postulats et les rapports des géométries nouvelles avec les données sensibles. A supposer que l'on établisse par des preuves péremptoires l'existence de l'espace euclidien, la géométrie classique jouirait d'une vérité de fsùt, mais la question de la possibilité des géométries non euclidiennes resterait entière.

De même, nous venons de le voir, ni le caractère inimaginable des figures métagéométriques, ni l'enchaînement logique des déductions ne constituent des témoignages irréfragables soit contre, soit pour la possibilité de ces conceptions spatiales.

Le vrai problème se résume donc en ces termes. Les postulats qui complètent les définitions euclidiennes, les déterminent, et du même coup impriment à la géométrie classique

(») WarrAIN, L'espace, p. 50. Paris, Fischbacher, l%7.

son orientation spécifique, sont-ils nécessaires d'une nécessité absolue ou métaphysique ?

Dans l'affirmative, cette géométrie est la seule qui soit compatible avec le monde réel.

Dans la négative, on ne voit plus aucun obstacle à ce qu'elles puissent être réalisées.

Or, cette question n'est pas résolue et l'on se demande même si elle le sera un jour (^) .