NAT

Tréorème 7. — Tout anneau local régulier est de multiplicité x, et tout anneau équidimensionnel de multiplicité 1 est régulier.

Si s est régulier, l'anneau de formes F(m) est isomorphe à

DÉÉPE Clouk— = donc P;(n)— “ sans irrégularités au

début, et e(m)—1. Si o est de multiplicité 1, il existe (th. 5) un sysième de paramètres (æ,, ..., x) engendrant gq et tel que e(q)—1; supposons o complet, et soit L un corps de Cohen de 0; si o est équidimensionnel nous pouvons appliquer le théorème 6 qui montre que [o:L[[æ,, ...,æ&][] = L. Comme un anneau de x séries formelles est intégralement fermé dans son corps des quotients, ceci implique 0 = L[{[x;, ..., |], douc que s est régulier.

Remarques. — 1. La démonstration du théorème 7 montre aussi que mn est le seul idéal de multiplicité 1 d’un anneau local régulier.

2. L'équidimensionalité est essentielle, comme le montre l'exemple de l'anneau K{[x]] + K£ où = 4x — O qui est évidemment de multiplicité 1.

9. SYSTÈMES DISTINGUÉS DE PARAMÈTRES. — SOit (4, ..., Œy) UN SYS-

tème superficiel de paramètres engendrant l’idéal 4. Nous reprenons les notations du théorème 4. Le corollaire ? de la formule (1) montre

est engendré par le para-

que l’on a

Dans o —v,:, qui est de dimension 1,

Ta—1 mètre æ— as, etl’ona

(ozrioæ) (ox) — ox".

La formule (1) montre que, pour tout n, on a

mb en) longueur (sax*:0æ),

ve at. 9 , où m désigne la longueur de l’anneau d’Arun — — “ donc, # étant or

un entier fixe, on a

IN CO) en er OS D et k(kZP,(c));