A UN

dim

0Lq 0 Lq

Je. aile = m Mes ne ERA

idéal primaire pour m— — etengendré par d —1 élémentsæ;,...,%Za 1; TJ

soit j> m"; si æ, est un représentant de la classe æ;, on à

MCI LIFE... + 0 + DL;

donc l’idéal engendré par (æ,, ..., æ) est primaire pour m.

Les théorèmes 1 et 3 montrent que notre définition de la dimension d’un anneau local coincide avec celle de C. Chevalley («nombre minimum de générateurs d’un idéal primaire pour l'idéal maximal »). Rappelons que cette définition est équivalente à la définition suivante, due à Krull : augmentée d’une unité la dimension d’un anneau local 0 est égale à la longueur d’une chaîne maximale d’idéaux premiers de 0. Avec C. Chevalley nous appellerons système de paramètres de 0 tout ensemble de d éléments engendrant un idéal primaire pour l'idéal maximal m de o. Il est clair que les éléments x de 0 que l’on peut introduire dans un système de paramètres sont ceux tels que

ed :

dim dome 0 TX

a o Remarque. — Le théorème 3 est encore valable si K — — est un

corps fini. Nous reprenons les notations du lemme au théorème 2; une forme F de degré # prise en dehors des idéaux premiers non irrelevants p; de …a provient d'éléments + superficiels de degré #; pour ceuxci un raisonnement analogue au corollaire 2 de la formule (1) montre que

P,(n)=,Pa(r — k)Z PT (2) = PORC) P,(c),

donc dim — dimo — 1; et la démonstration du théorème 3 peut se

faire. [1 s’agit donc de montrer l’existence d’une telle forme. Or on a pb €; nous pourrons supposer, en supprimant certains p;, que l’on

a B;#&p;, B:€p, pour :,<7. Nous prendrons pour oies des formes, ce qui est possible car les p; sont des idéaux homogènes; puisque p;p &, il existe une forme linéaire F, telle que F;#p;; en remplaçant éventuellement A;, par A;;F/°°, nous pourrons supposer que toutes les formes A,, ont méme degré. Alors les formes B; ont toutes

même degré, et la forme B il est telle que B&p; pour tout z.

Nous supposerons désormais que, sauf mention expresse du

. nu . .

contraire, K — — est un corps in/ini.

TuéorÈme 4. — Tout idéal q engendré par un système de paramètres (Y15 «.., Ya) peut être aussi engendré par un système de paramètres (&, ..., &) ayant la propriété suivante : posant

Ti 0% +...+0Ti (0 di), .

Dr fi

etæ;;— classe de x; mod4;, on a

(Gym) (a) = (a)

pour n >> ci, c; étant un entier fixe, eti—0,1,..., 4. Un tel système de paramètres (æ,, ...., æ,) sera appelé un sys-

téme superficiel de paramètres.

Reprenons les notations du théorème 2? et de son lemme. En évitant

CURE S : : un les formes linéaires dont le coefficient de ŸY, appartient à 720 peut trouver un élément superficiel x, eq de la forme

Li—=U Yi + Æÿ2 MT AYa avec u inversible ; alors (æ,, y, ..., Ya) est un système de paramètres

engendrant 4, etl’ona(g":0æ,),9"=— 9" pour r > c. Le théorème 4 s’en déduit par applications successives aux anneaux quotients suc-,

. nu cessifs

HR Te

9. Norion DE murieLiciTé. — Soit g un idéal primaire pour l'idéal maximal m d’un anneau local o. Considérons le terme de plus haut degré du polynôme P,;(7); comme ce polynome ne prend que des valeurs entières (pour n > c, et donc pour tout n), ce terme est de la

e(q)nt d!

plicité de l'idéal 4; e(w) est aussi appelé la multiplicité de l'anneau local 0.

forme où e(g)est un entier. L” entier e(a) est appelé la multu-

Tuéorème 5. — Soit o un anneau local de dimension d; st 4 est un idéal primaire pour son idéal maximal w, W existe un idéal 4€, engendré par un système de paramètres, et de méme muluplicité que 4.

Si d— O, o est un anneau d’Artin de longueur m; on a g*'—=(O) pour # assez grand, donc P;(n)—m pour nr assez grand; mais l'idéal (O) est engendré par un système vide de paramètres, et Potn)="m; ceci montreque lérthéorèmeseestvrabpourd=0; Procédons maintenant par récurrence sur d; prenant x, superficiel par se à q, le corollaire 2 de la formule (1) montre que,

avec j — mr Pa(n) = Pa(n)— Pi(n—1)+ #[#étant un entier fixe, puisque ç'est un polynome borné par P;(c)], donc que D = 40) puisque d>> 1. Soit, d’après l'hypothèse de récurrence(x,,...,æ,41) un système de paramètres de 0 — — engendrant un idéal g Caqtel que e(q)—e(/); soit æ; un représentant dans o de la classe æ;, et soit q' l'idéal, primaire pour m, engendré par (æ,, ...,æ4) dans 0. On a e(g)—=e(q)—e(y). Comme gCg, on a e(g')%e(q); enfin comme ÿ/ — es on a Py(n)2=P(r)— Py(n—1)[corollaire 1 de la formule (1)], ce qui implique e(g') = e(g'), d'où e(g/)<e(q). COM D.

Remarquons que la condition d’homogénéité imposée dans notre Note AL n’est pas nécessaire.

À Ja fin de ce Chapitre nous donnerons un scholie à ce théorème 5, qui nous sera de grande utilité dans les applications géométriques.

A0 Nous allons maintenant montrer que notre définition de la multiplicité généralise celle due à (Fe Chevalley. En effet :

TuéorÈME 6. — Sort o un anneau local complet contenant un corps L ni : : ï sur lequel — est fint, et soit (x, ..., æ4) un système de paramètres de engendrant l'idéal 4. Posons o'=L{[[x,, ..., æ,]] et supposons que 0 soit un 0! — régulier. 0 1—=e(q). | :L|.

un 0'— module régulier. Alors | o:0']— e(a) Ë :L|

On sait | LR] que (&:, ..., x,) sont analytiquement indépendants sur L. Les hypothèses montrent que 0 est équidimensionnel ([1], prop. 2, p. 13). On entend par{o:0’|lenombre maximum d'éléments de © linéairement indépendants sur 9”, ou, ce qui revient au même, la dimension de l’anneau total des quotients de o sur le corps des quotients de 0’; 0’ est évidemment un anneau de séries formelles sur L.

Il est clair que l’on a

Pony Le dimi( à) et din ( 2 :) ho EE L nf d

Donc

— N = e(r. | 2: | lorsque . 72 + co.

On sait [ LR ] que o est un 0 — module de typefini. Soitg —=[0:0"] et soit (1, -.., n,) un système libre maximal de 9 sur 0’; soit enfin n—0'E,+...+0'E(1=g). Pour tout Ë; il existe c;eo' tel que

. — la 1 — cje,e D on: posons À = 0 AOC GCe 6, ONvaUrA (pour

toutuen, ca e À, c'est-à-dire ca => ani avec a;€e0'. On a

dim (PTE 2) É L | longueur (2 = L) (th. &, Chap. D)

= [ae] (Pan Pat)

Rire mais, comme c n’est pas un diviseur de zéro dans 0, = est de dimen-

sion d—1([LR}], prop. 6, p. 702) et P (2) est un polynome de

oc Wa Rae ie °C + 2 Ne degré d —1; ainsi dim T | commence par un terme en —+; si ? ; q” RS ET À

nous avons pris soin de ne pas prendre ce inversible. On a évidemment co CAC o. Donc

| n n dim ( .) = dim (SE }= dim ( 2 ):

VAE g” g”

Mais en Jet isomorphe à re. Si LEA 4, nous pouvons écrire mi =D Pj(æ)n=Ÿ ORNE 21 (RA—= n+...+ na, a €); soit DS Gén; (Goj E 9’).

Alors Ç

V'eP;(æ) NO Li dns nl l Nj —= luj Li …..Z}7 Nj; œ,]

comme les 1; sont linéairement indépendants sur »’, il vient

cPixz)= À CET EOIEEE LE

Si donc # désigne l’ordre de la série formelle c,onaP;(æ)e(o!,9)""". Donc (0',3) CM, 9" € A 0/9)". On en üre

; A n + d : fi : fi À Re ) NN) does ASE mg) L ( d )= im (a) - dim ( are )

Comparant avec la double inégalité / 0 A à ñ une ) > dim ( Fr ms) = dims( Te) ;

où les termes extrêmes sont équivalents : a » On voit que N= q.