DE: CES
on a doncm==e(q) : la longueur d’un idéal engendré par un système de paramètres est supérieure à sa multiplicité.
Voyons dans quels cas on a m—e(q). Ceci veut dire que, pour n assez grand, on a (oæ":0æ) — 02"; si æ était un diviseur de zéro dans 0, on aurait æy — 0, avec y=<0, donc ÿEox’ pour certain entier g; alors æy € 0 x", mais y ox"! pour »n > q—1. Ainsi æ doit ne pas être un diviseur de zéro; réciproquement on a dans ce cas (ox":0x) — 0%" pour tout », car de 47€ ox", on déduit æxz—x"a d'où z — ax" evx""t. Si d’ailleurs l’âvant-dernier quotient o 0 est tel que (O) n'ait que des composantes primaires isolées (c’est-àdire si o est équidimensionnel), le paramètre æ ne peut appartenir à aucun idéal premier p; de (O), sinon, pour tout yEw on aurait y'EoxCp donc yepielm—p; contrairement au fait que o est de dimension 1; ainsi æ n’est pas un diviseur de zéro. Un système superficiel de paramètres tel que 04, est équidimensionnel sera appelé un système distingué de paramètres.
TuéorèMEe 8 (« théorème de régularité »). — Sr g est engendré par un système distingué de paramètres (æs, . . .,&a), l'anneau de formes F() est isomorphe à l'anneau de polynomes A[X,, ..., X,] où A— =". On
n + d DABAN D , ao an) m | d ) sans irrégularités au début, m désignant la lon-
gueur de l’anneau d’Artin À; en particulier on a e(j)— m, l’anneau local 5 est équidimensionnel dans le cas d'égales caractéristiques :
En effet l'anneau de formes F{4) est isomorphe à = PEER CES a (2
est un idéal homogène. Soit f, le module des formes de degré n de
ce fn AIX er Aalelta, —{. note sont des A-modules de longueurs
; DE de ; £ respectives m( Per ) et P,(n)— Ps(n—1). Mais, comme le sys-
tème de paramètres envisagé est distingué, P;(n)— P;(n—1) j mni1 : : k admet Tdi comme terme de plus haut degré. Si a contenait une
forme P 0 de degré c, a contiendrait les formes
7 7 7i PK PPS TES (ni... +na=n—c)
He Pie
dont les combinaisons linéaires forment un module de longueur au . , - 1 -
moins égale au nombre des monomes X*...X#%(n,+...+ny—=n—c);
or celui-ci est égal à ( re
} polynome de degré d —1 en n. Ceci
contredit le fait que les longueurs de f, et de 2 ont même terme de
Uu , mnt 22 ; plus haut degré DER Donc a —(0O) et la première assertion est
démontrée; la seconde s’en déduit aussitôt. Quant à l’équidimensio-
nalité, soit L'un sous-corps de o sur lequel = soit fini; il s’agit de
montrer que p(æi ..., t)a <0 si p(æ) <o et a <o ([I], prop. 1, p.12)avec p(æ)e L[[21,..….,æullet «eo; orles formesinitiales F(X) et G(X) de o(x)et de x sont deux formes non nulles à coefficients dans L et dans A respectivement; il suffit de montrer que l’on a
or ceci est évident avec une variable (d—1}); le cas général s’en déduit par récurrence sur d, en considérant le produit des termes de F et de G qui sont de plus bas degré en X,.
I peut sembler que la condition «x, , non diviseur de zéro », pour qu’un système superficiel de paramètres soit distingué n’est pas très restrictive; il n’en est rien. Le théorème 8 montre que l’équidimensionalité de o est nécessaire. Mais elle n’est nullement suffisante comme le montre l’exemple suivant, dû à Macaulay :
Considérons le cône de représentation paramétrique æ—u", yæur, 3 = us; t—+v'et le sous-anneau 0 = K[[u*, u°v, ue, e*]] de l’anneau de séries formelles K[[w, v]]; la fermeture intégrale 0* de 9 se compose de toutes les séries formelles en w et 6 qui n’ont que des termes de degré total multiple de 4; on a donc 0*—0+Ku?e; si l’on pose uw? 4? — #, on voit aussitôt que l’on à mx = y”, wy = x, wz3 — yt, wt=— 2°. Donc le conducteur de la fermeture intégrale de 0 est l'idéal maximal n de 0. Pour tout élément agen on a donc a'— aweo; mais a/&oa, sinon a — ba—wa et w —beo car 0 est
. ñ SL rs nu = un anneau d'intégrité. Donc, dans + la classe a’ de a’ n’est pas nulle; mais on a ax, ay, az, a t&va, donc a'c —o pour tout élément c de
2e VO ES ee à nt 0 RES ; ° l'idéal maximal — de + Ainsi aucun anneau quotient (a€o,a<0)
n’est équidimensionnel, et il n'existe dans o aucun système distingué de paramètres.
Nous allons cependant énumérer cerlaines situations. dans lesquelles on peut affirmer l'existence de systèmes distingués de paramètres.
1° Équidièmensionalité des quotients successifs. — Au moyen du théorème de Macaulay ([ V. d. W.], Chap. XII, p. 71) ou de sa généralisation due à [. S. Cohen ([C], th. 21, p.99), on peut affirmer dans certains cas que l’anneau de dimension 104, est équidimensionnel. Pour les applications géométriques nous renvoyons le lecteur au Chapitre III. Au moyen du PHRirne de I. S. Cohen nous pouvons énoncer le résultat suivant :
Taéorème 9. — Sr 0 est un anneau local de dimension d, quotient d’un anneau local régulier de dimension d' par un idéal engendré par d' — d éléments, tout idéal 4 de o engendré par un sysième de paramètres est aussi engendré par un système distingué de paramètres.
Dans ce cas, où la multiplicité de j est égale à sa longueur 7, nous ‘voyons que notre notion de multiplicité généralise celle de « ramification degree » due à [. S. Cohen, et que notre théorème 6 généralise alors son théorème 23
2° Existence d’une base minimale. — Soit o un anneau local comà er HN ee plet, fini sur un anneau de séries formelles o'=K{[[x,, ..., æ,]|.
Supposons qu'il existe une « base minimale » de 0 sur o' c’est-à-dire que 0 —0/1,+...—+0"1, où les n; sont linéairement indépendants sur 9’. Alors o est un o'— module régulier, et est donc équidimensionnel. Après un changement linéaire de variables on peut supposer
que, dans 0, le système de paramètres (æ, ..., æ,) est superficiel. d
Alors, si =D 0 on à e(a)—e( 1 3 =); ainsi (th. 6)
Comme les classes (n,, ..., My) des r; mod ox, forment un système de
TL nu ru : Po générateurs de ne SES elles constituent une base minimale
de — sur Ainsi les quotients successifs 0, 0, ——- 041 Sont
EX EA ADR SET TES Dm équidimensionels et le système de paramètres (æi, ..., æ,) est distingué.
Soit q un idéal primaire pour l’idéal maximal mn d’un anneau local o. Au lieu de l’anneau de formes F(q) on peut considérer
sa compléuion F(q) par rapport à la topologie définie par les
° A re ; LE AE idéaux > … F(q) est l’ensemble des sommes infinies D & d’élé-
ments 4,€ =; La théorie développée au Chapitre I s'applique
Nes 1°
à F(q) sans y changer un mot. F(q) est un anneau local complet dont
les éléments inversibles > 4 Sont ceux tels que x, soit inversible
À . = 0 dans l’anneau d’Artin primaire À —
Paéorème 10. — Sort j un idéal primaire pour l’idéal maximal w d’un »17 0 [2 .
anneau local 0, et a un élément de à tel que dim — = dimo —1, par
exemple un élément non diviseur r de zéro. Si Fa) est équidimensionnel, il existe un entier k tel que (g':0a)Cq" " pour lout n.
Ce théorème correspond au résultat 4° de notre Note [ AL], avec cependant des hypothèses plus restrictives, et la connaissance préalable du fait queles définitions de la dimension d’un anneau local dues à Krull et à C. Chevalley sont équivalentes. Sous la forme énoncée le résultat 4° de | AL] est erroné.
Reprenons la démonstration du théorème 2. On obtient des éléments superficiels d'ordre s par rapport à 4 comme éléments dont la forme initiale n’est contenue dans aucun idéal premier p; de (0) dans F(4); par hypothèse a n’a, dans A[[X,, ..., X,]], aucune com-. posante irrelevante; si donc b est un de ces éléments superficiels d'ordre s particuliers, on a (g":0b)—g"". D’après l’équidimensio-
nalité de Der ee a même dimension d que 0; siv;(s) désigne la
ACT He
différence des longueurs du module f, de toutes les formes de degré s de F(4) et du module p;, de celles qui appartiennent à p;, gi(s) est un
polynome de degré d — 1 en s pour s assez grand. D'autre part F (£)
est un anneau quotient cu de F(g), où b est l'idéal ‘homogène
engendré par les formes initiales des multiples de a; par hypothèse si b, désigne le module des formes de degré s appartenant à b,
(5) = longueur () est un polynome de degré d— 2 en s pour s
assez grand. Par conséquent, si s est assez grand, les modules b,,p;, sont des sous-modules propres de b,. Employant la méthode du lemme au théorème 2 (c’est-à-dire en considérant b, comme un module quotient d’un module libre), nous voyons qu’il existe un élément ef, Bé&p;, 5eb; $ est la forme initiale d’un élément be wa, soit b = aa, superficiel d'ordre s. On a donc (g*:0b)— q"",s étant un entier fixe; puisqu'on a évidemment (g":o0a)C(q":oaa')—(q":0b), le théorème est démontré.
4. ANNEAUX A NOYAU ET ANNEAUX LOCAUX GÉOMÉTRIQUES. — Nous allons maintenant étudier certains types d’anneaux locaux qui comprennent tous ceux rencontrés en (Géométrie algébrique et algébroïde. Nous allons suivre une méthode très voisine de celle employée par C. Chevalley dans [1] ($ 1), et nous renverrons le lecteur à ce Mémoire pour les démonstrations de nombreux résultats que nous allons rappeler. D’autres résultats, notés [CCP |, ont été extraits d’un cours fait à Princeton par C. Chevalley en 1946-1945.
Soit K un corps infini d’exposant caractéristique p, et tel que[K : K?] soit fini. Nous noterons t(n, K) l’anneau des quotients de l’anneau des polynomes K[x,, ...,æ,] par l'idéal premier engendré par (&i, ..., &,); C’est un anneau local régulier de dimension n; si p; est
enr . FASO - : T
l'idéal premier de r—+(n, K) engendré par (x, ..., Lier), 7, St isomorphe à r(#, K), et r,. est isomorphe à r(n — 5, K(æ,i,1, …, Ce ainsi dimt— dim + dimr,. Nous noterons r(7, m, K)(m=n)
l'anneau de séries formelles K((x,, ..., La))l Tes 1 Tallieet
