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un anneau local régulier et complet de dimension 7 — m. Les anne ® x
du type t(», K)etr(n, m, K) recevront le nom de noyaux. Si l’on poser —=t(nr, K), on a les relations suivantes :
t—#(n) O, K°): = tr 0, K);
Le n’est pas complet; sa complétion est r(n, t, K).
Soit o un anneau local, m son idéal maximal, rt un sous-anneau local de o ayant m,,r comme idéal maximal, et tel qu'aucun élément de r ne soit diviseur de zéro dans 0. Nous dirons que 0 est quasi fini sur t s’il existe un anneau intermédiaire 3(rC3Co) tel que 3 soit un t-module de type fini, et que « soit l’anneau des quotients de 3 par un idéal maximal A.
(x) Test un anneau semi-local; si v est compiet, 3 est complet.
Démonstration : voir | LR], prop. 3, p. 694.
(8) (Transitivité). Si 0 est quasi fini sur &’ et si v’ est quasi fini sur r, alors © est quasi fini sur t.
Démonstration [ CCP]. — Soient $ et 3 les anneaux intermé- TA diaires :rCHcr C3Co; écrivons 4 SN r'æ; et soit DD Cijk D
avec c;j, Et’.
Comme t' est un anneau de quotients de $ par un idéal premier, soit y € & un dénominateur commun tel que yc;;,€ $ pour tous 4,7, À.
On a
Yi. YT; = YCÿr.YTk; k
donc DS yæ:$ est un anneau, fini sur $, donc surr. Tout eo
. [4 De . è = +, s'écrit T— 7: ageñ, be; soient bd ex FD p,æ; avec
, (NEO . ar N ; >4 et, 2,€t'; on peut trouver © inversible dans t’, tel que %;€%,
se pour tous r; alors by = (r:)(yx)eT et ay2€3'; ainsi
LP eQVrre
Le Ts où by est inversible dans o. Ceci montre que, si n désigne >
l'idéal maximal de 6, on a 0 —(3 hu.
(+) si o est quasi fini sur r, et si p est un idéal premier de 0, alors 0, est quasi fini sur tynr.
Démonstration : voir [[], lemme 7 (première partie), p. 8. (2) si o est quasi fini sur r, et si a est un idéal équidimensionnel
0 . . La Ê de », alors — est quasi fini sur — lorsque a,r est premier. ;
“At
Démonstration (inspirée de [I], lemmes 6 et 9, p. 7 et 9). — Il s’agit
V7 T Cine d’abord de montrer qu’aucun élément de r/— ne n’est un diviseur de N
zéro dans 0/— 2. Passons aux complétions, et soit 3 un anneau intermédiaire ; on ar € 3([LR], prop. 7, p. 699) et o est isomorphe à Fcoùucestun idempotent de 3; comme r + re est un isomorphisme de r dans lui-même (aucun élément de r n’est en effet diviseur de zéro dans 3), re est isomorphe à r; donc o est fini sur r. Par conséquent
o' est fini sur r’; nous supposerons, ce qui est toujours le cas en vertu
AR "1 : t
du théorème de Cohen que, t’ contient un corps L sur lequel — est nm
désignant l'idéal maximal de +’; alors t’ est fini sur L{fa:, ...,æ,]] où (&:, ..., æ,) désigne un système de paramètres de t’; ainsi 0’ est fini sur L{[z:, ...,x,]], et [LR] (corollaire de la
proposition 7, p. 703), montre que o’ et r’ ont même dimension s.
fini, nv
se see À a NO à : é Si n est un idéal premier de zéro dans 9, + a même dimension que
—— puisque l’un est fini sur l’autre ; comme v’est équidimensionnel, Tnt
ceci prouve que r’,ù est un idéal premier de zéro dans tr’; ainsi tr’ —(O) puisque a,r est premier, et aucun élément de r’ n’est diviseur de zéro dans o’.
Soit maintenant 3 un anneau intermédiaire ; 3 et fini sur —, LA ni ni he RS { - ; et — est évidemment l’anneau des quotients de 3 par l'idéal an MAI
maximal .
—, EU Nous avons montré en cours de route que :
(e) si o est quasi fini surr, on a dim o — dimt (au moins dans le cas d’égales caractéristiques).
(©) si o est quasi fini sur r, et si 3 est un anneau intermédiaire, 3 est un tr — module régulier de type fini; si R et R sont les corps des quotients de r et v, et si Z et Z sont les anneaux totaux des quotients de 9 et 0 (c'est-à-dire aussi de 3 et 3), on a L— 7», algèbre par extension en R du corps de base R de Z.
Démonstration : voir [1], lemme 8, p. 0.
Un anneau local o est appelé anneau à noyau s’il existe un sousanneau t de 6, qui est un noyau, et sur lequel o est quasi fini. L'étude de la structure des noyaux et les résultats précédents montrent que la classe des anneaux à noyau est fermée par rapport à l'opération de complétion. Nous allons montrer qu’elle est aussi fermée par rapport aux opérations de quotient par un idéal équidimensionnel et de formation de l’anneau des quotients d'un idéal premier. Venant compte de la transitivité (GB), de (+) et de (2), il nous suffira de montrer que, sir est un noyau, a un idéal équidimensionnel de r et p un idéal premier
T der, -etry sont des anneaux à noyau.
Lewume À (lemme de normalisation de E, Noether généralisé). — Soit K un corps infini, b un idéal de l'anneau de polynomes K[x:, ..., æ,]: il existe n polynomes y,, ..:, y, de K[aæ, ..., æ,] tels que :
1 ER, 2. œ,lestun module.de type fintsur K[y:, =,7]; DR ee aletenvendre par [yat r]:
Nous appellerons système d’intégrité tout système de x polynomes satisfaisant à la première condition. Montrons d’abord que tout polynome non constant y peut être inclus dans un système d’intégrité; soit y=P(x,, ..., æ,) et soit F sa forme de plus haut degré; nous pouvons trouver, comme K est infini, des éléments @,, ...,4,
de K tels que F(1, 4, ..., a) ÆO; posons y, =, Yj=Z;—a;æ; alors y—P(æ,, Ya ai, ..., Yn+ 4%) a pour terme de plus haut degré en +, le terme æ°F(1, 4, ..., a,); donc æ, est intégral sur K[ÿ4, Ya, -.., JA], et par conséquent les autres æ; aussi; ceci prouve que (y, ..., YA) est un système d’intégrité. Considérons maintenant, parmi les parties finies de b que l’on peut inclure dans un système d’intégrité, une partie maximale (Y»:1, ..., Yh) Incluse dans (yo, 9) eonsidérons be KP es ieonaEent y, O, y, ne peut être constant en tant qu’élément d’un idéal non trivial b, donc peut être inclus dans un système d’intégrité CRE y) de KT lmPRe ee EE Le Pine RIS,V en. rletbicontient(f, 20e) conuar rement. a la maximalité dé (y, 07): camsib Kly.6.2 Ym]=(O), et la condition 2° est vérifiée.
Remarque. — Lorsque K est parfait et b premier, on peut ajouter la condition (S) que K(x,, ...,æ,) est séparable sur K(y:, ..., y1). On montre d’abord que tout élément y non constant et non puissance pi‘’* peut être inclus dans un système d’intégrité ayant la propriété (S); en effet la non-séparabilité de x; sur
K(Y; Yes -.+,:Yn) entraînerait, pour tous @, ..., à, tels que F(r,.a, an) < O, donc pour tous (@», ..., 4), que l’on ait OP dP ; Re ÉD ES ue a EL CEA É dT de 0Xh :
d'où -— —O pour tous à, et P serait une constante ou une puissance pi?”* 0x; 4
puisque K est parfait; comme un idéal premier b contient = avec +, on peut continuer la démonstration.
Lemme 2. — Soit b un idéal non trivial de l'anneau de séries formelles t—K[fx,, ..., +,]]; on peut trouver un système de paramètres ( y, «.) Jn) de t tel que LKT[Ty:, ..., yal] soit l'idéal engendré par (Ymess ++ Yn)-
Remplaçant les mots «système d’intégrité » par «système de paramètres » 1] suffit de remarquer que tout élément non nul y de o peut être inclus dans un système de paramètres car il n’est pas diviseur de zéro; la démonstration est alors identique à celle du lemme 1.
ENT de (mn) sir est un noyau et si a est un idéal équidimensionnel de r,
De :
rest un anneau à noyau,
Soit d’abord r—t(», K) et soit b—« K[a,, ..., æ,]. Prenons (J15 --., Jn) comme dans le lemme 1; soit X l’idéal engendré par Cr ,7,.) dans K|x,,4.,-2,], Wlidéal engendré par (71, ..., A) dans Km, pret = (K[y1, : .., Yalhs dar! est engendré DA er MOI) =r lee æ,|; 3 est fini surr'etrest
JL l'anneau des quotients de 3 par l'idéal maximal D 3x; ainsi tr est
Q 8 C { IN L 0 . je quasi fini sur t'. D’après (2) Sera quasi fini sur —— car at’ est Nn !
; T ue 3 premier dans r’; et — est évidemment un noyau. Si r est de la forme nt
RTE dl ouprendb= Tr = KI ee y lou Cie", JA), Sont choisis comme dans le lemme 2, et l’on applique (2).
(0) si p est un idéal premier du noyau tr, r, est un anneau à noyau. Dit tr Non prend tp K|2, 0%, 7,) etil'onutilise’lés mêmes notations que dans (1); alors r, est quasi fini sur t,,r d’après (y)et tr est évidemment un noyau. De même si r est un anneau de séries formelles.
Remarque. — D'après (e) nous voyons immédiatement que, si p est un idéal
; , : Rue : S
premier d’un anneau à noyau o, on à dimo— dim-+ dimoy; les anneaux à y
noyau sont donc homogènes; (9) montre qu’ils sont aussi équidimensionnels, ce qui est plus restrictif.
On appelle anneaux locaux géométriques les anneaux que l’on obtient à partir des noyaux par répétition des trois opérations suivantes : complétion, formation de l’anneau des quotients d’un idéal premier, formation de l’anneau quotient par un idéal premuer. L'étude précédente montre que tout anneau local géométrique est un anneau à noyau. La réciproque est fausse à cause de la restriction aux idéaux premiers, et non plus seulement équidimensionnels, dans la formation des anneaux quotients.
Leume 3. —— Soit v un noyau, sa compléuon, R et KR les corps des quotients de x et x ; alors R est une extension séparable de R.
