REC PAS
Démonstration : voir [1], milieu de la page 10.
Nous allons maintenant démontrer une généralisation du «theorem of transition » de C. Chevalley ([[], th. 4, p.22). Soient o un anneau
sens ’ ; Re ADS à noyau et 4 un idéal de o primaire pour un idéal premier p; : est un
anneau à noyau puisque 4 est équidimensionnel. Soient 0 la complétion de 0, p un idéal premier de op, q la composante primaire de 04
nu suivant p. Soient t un noyau de- x le noyau de — obtenu par °q
complétion de r, R et R les Pabe Ter deretr, ZetZles anneaux totaux des quotients de: Heu) “ie (C) Z est l'algèbre
Éiendue VSD Pa sont les ie premiers de op, et di, DRE les idéaux primaires respectifs de og, l’algèbre Z est composée
directe (Chap. I, th. 2) des algèbres primaires GE di
Pi Qi.
est séparable sur R, ces algèbres primaires ont même longueur que
) Comme R
l'algèbre Z — QE (Chap. E, th. 5). Nous avons donc prouvé la q
formule suivante («formule de transition ») :
| Longeur 4 — Longueur 4. |
Nous en déduisons les conséquences suivantes :
SE? on 4 longueur p — longueur p— 1; doncpest composante primaire de op, et op est intersection d’idéaux premiers. Ainsi tout anneau local géométrique sans diviseurs de zéro est analytiquement non ramifié.
2 Prenons pour g une puissance symbolique, 49 =". Puisque °° — 00 (Chap. I, th. 7) nous en déduisons :
(3) Longueur ») — Longueur 3°:
En d’autres termes : soit 0 un anneau à noyau, à sa complétion,
go
p un idéal prenuer de 0, p un idéal premier de 0p, et q un idéal primaire pour p; on a alors Pa,(2) = Pas (2). En particulier les multiplicrtés des idéaux engendrés par q dans o, et 03 sont égales; c’est en cette dernière affirmation, appliquée dans le cas où go, est engendré par un système de paramètres, que consiste le « theorem of transition »
de C. Chevalley.
D. MüLTiPLICITÉS DANS LES PRODUITS KRONÉCKÉRIENS D'ANNEAUX LOCAUX. . — Soient © et o’ deux anneaux locaux complets de corps de base K et K' et soit M un corps contenant K et K’. Rappelons ([I|, p. 15 et suiv.) que le produit kronéckérien.de o et »’ sur M est un anneau semi-local complet A. A sera un anneau local si, et seulement si le
à ; sa 4 0 0e produit kronéckérien sur M des algèbres et. est un corps.
TaéorÈME 12. — Sr q et q' sont des idéaux primaires pour les idéaux maximaux w et w de o et o’ l’idéal b engendré par q et q' dans le produit kronéckérien À de q et de à', est, lorsque À est local, primaire pour l’idéal maximal de À et l’on a e(b)—e(a)e(q').
La première assertion est évidente. Soit /(r) la longueur de
g() celle de Ja si cet j sont assez grands (1) et g(j) sont des olynomes de termes dominants CIE et AU RIF Le d et d' désignant Po S (d— 1)! (d'— 1)! ) les dimensions de » et de 9’; les dimensions de ces deux modules sur K et K’ sont donc r#(r) et r'g(j), où r = 2: K | er É : K'| (Chap. I, th. 4); puisque b = A q + Ag, on a. b? — A gr + Ag g! + ve + Age,
On voit donc que la dimension sur M de l’espace vectoriel - est
A De égale à
Y(r)=rr À f()e(j):
Comme l'idéal maximal AA de A est engendré par m et w', on a
