RU UE
PU :M|= — rr' ([I], lemme 3, p. 18); donc la longueur 4:(7) de à
égale à qu(2) = s HOT
i+j<n NP
Comme il s’agit seulement de calculer le terme dominant du polynome ©,(n), nous pouvons remplacer f(#) et g(j), — soit par les
ro + ; quantités équivalentes 10 :, et e(q' jee Ro ee ‘) et appli-
d—1 quer une formule d'Analyse combinatoire, — soit par leurs termes
: , : e(a)e(s") ét ja dominants et remplacer la somme finie EN > l'TRee
par une intégrale double. Nous sommes ainsi ramené à calculer
n n—Y 4 n à Ê n . I EE [ray fo at de, d'estè-dire } f y(n—y)dr que nous 0 “0 0
poserons [(d, d'—1); l’intégrale I(s, s') se calcule en intégrant par parties, ce qui donne
(s + r)I(s, s'Y—=s{(s— 1, s +1), d’où, par applications répétées, CS AS LT (S SO RS EEE
e(a)e(a).nttt (dd + dy
icis — d, s' — d'— 1, donc o.(n) a pour terme dominant ,
ce qui prouve notre seconde assertion.
Remarque. — Dans le cas où q et 4’ sont engendrés par des systèmes de paramètres, nous déduisons immédiatement le lemme 4, Ï, p. 19 du théorème précédent.
6. SCHOLIE AU THÉORÈME D. — Les anneaux locaux que nous considérerons ultérieurement seront les anneaux des quotients o — Q,(U) d’une sous-variété U"“ sur une variété V'. Nous entendrons ceci au sens de C. Chevalley, c’est-à-dire que Q,(U) sera construit sur le «domaine universel » algébriquement clos Q. 0 contient alors isomorphiquement une extension transcendante pure de Q soit Q(X,,
X,,), qui est un corps de base pour la complétion # de v; soit g un
idéal primaire pour l'idéal maximal = de 0, engendré par (y, ..., Yn). Soit Æ un sous-corps de Q sur lequel U, V et les y; soient définies ; la construction parallèle à celle de » et de g, menée cette fois sur # au lieu de Q, nous fournit un sous-anneau local 0’ de o et un idéal g’ de o’, primaire pour l'idéal maximal w', et engendrant q dans 0; comme Q(X,, ..., X,,) est une extension de #(X,,
A AAURE Sert 0’ = ; és : — X,,) linéairement disjointe de 9 0 s'obtient à partir de 0’ par
ne)
extension du corps de base £(X,, :.., X,,) en Q(X:, ..., X,.).
En vertu du théorème ? on obtiendra un élément z superficiel par
1 @. as rapport à q sous la forme = ay. (a;Eu), les restes des 4;
des a; mod mn évilant un nombre fini de sous-espaces vecto- D 5 CRE: 6; Te ; 5 :
riels V;(J= 1,2, ...,s). Du fait que o se déduit de o’ par extension du corps de base, les V; s’obtiennent à partir de leurs analogues V;, Ses : 0! o , tn relatifs à w', par extension de -; en —: Soient (c;) n éléments de Q nm
linéairement indépendants sur /; si S c:Y: appartenait à V;, les c;
satisferaient aux équations Dee définissant V;; mais
[ . [A [2 e° nu A comme V;, extension de V;, est défini sur Len: les À,;, peuvent être
ru
. o’ ; re RUE supposés appartenir à-;; or; el k(c) sont linéairement disjoints
nt
sur #; ceci prouve que les c; ne peuvent satisfaire qu’à des équations Dico qui sont conséquences d’équations linéaires à
coefficients dans #, ce qui n’est pas possible. Par conséquent l’élé-
ment z D 0). sera superficiel par rapport à q. En procédant de i—1
même dans —; avec cette fois #(c) pour corps de définition au lieu LE de Æ, nous voyons que :
SCHOLIE AU THÉORÈME D. — Soit 0 — Q,(U) l’anneau des quotients d'une sous-variété U d’une variété V, et q un idéal primaire pour l'idéal maximal w de o et engendré par (y;, ..., YA); st k est un corps de
AGE n définition de U, de V et des (y;), les éléments 3, => CAT er, D 6—u, c:EQ) forment un sysième de paramètres de à engendrant un idéal j' de même muluplicité que 9, cecr à condition que les c,; sortent. lénéairement indépendants sur k, les c,; sur E(Cis, SOA ANA ETC sur k(c;) où s<r. En particulier on pourra prendre pour coefjicients (c,;) n(v—u) variables indépendantes sur k.
