PREMIÈRES APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

Le but de ce Chapitre est de donner, à La lumière des considérations algébriques de nos deux premiers Chapitres, quelques compléments à la théorie, maintenant classique, des multiplicités d’intersections telle qu’elle a été développée par GC. Chevalley [1] et A. Weil[ WF]. Le paragraphe À ne suppose du lecteur que la connaissance des notions géométriques les plus élémentaires; le paragraphe 2 demande la connaissance des méthodes de C. Chevalley; enfin le paragraphe 5, qui montre le lien entre les méthodes de C. Chevalley et de À. Weil, suppose connues du lecteur les méthodes de ces deux auteurs.

A. MUuLTIPLICITÉ D'UN POINT SUR UNE HYPERSURFACE. — Solent V une variété algébrique et W une sous-variété de V. Nous verrons au Chapitre V que la multiplicité de l’anneau des quotients de W dans V donne une définition raisonnable de la multiplicité de W sur V. Dans ce paragraphe nous noùs bornerons à constater que cette définition coïncide avec la définition la plus élémentaire dans le cas où V est une hypersurface et W un point que nous pouvons supposer être l’origine O des coordonnées.

ROGUE Soit ACX:, Xi) 0 l'équation deVS dans REX 0

l'idéal (F) est premier; considérons l’anneau de coordonnées

K[X:,..., Xsu] CP)

où æ; désigne la classe de X;modF; l’idéal engendré par (&:, Pre Œn) est maximal dans cet anneau. L’anneau des quotients 9 de cet idéal maximal est, par définition, l’anneau des quotients de O sur V; soit n son idéal maximal, engendré par (æ,, ..., æ,.,). Nous désignerons par » la multiplicité « élémentaire » de O sur V, c’est-à-dire le degré de la forme non nulle de plus bas degré du polynome F. Si 4 est un idéal primaire pour l'idéal maximal n d’un anneau local o, nous appellerons exposant de 4 le plus petit entier © tel que m° C3; nous avons alors le résultat suivant :

— K|z:, CID :3 Leu]

TéorÈèmE 1. — Le plus petit exposant 6 d’un idéal de o engendré par un système de paramètres est égal à la multiplicité m de O sur V.

Soit F=F,+ Fu +. .., Fh,x étant une forme de degré m+ h; nous pouvons supposer, après changement linéaire de coordonnées (K, étant algébriquement clos, est un corps infini), que F,, contient

un terme en æ”. On a donc

nr a+ P(x)) =Ù 7 0:(2) et xŸ EN Dir

Comme o est de dimension s, g est engendré par le système de para-

mètres (%, ..., æ,4,); comme l’exposant de q est évidemment m, on ac.-Cm.

Supposons réciproquement que (ÿ:1, ..., y,) engendre un idéal

4 primaire pour met d’exposant 5 <{ m; nous pouvons supposer que les (y:) sont des polynomes Y;(x). Si nous désignons par (M,(x)) ; É , :

l’ensemble des monomes de degré m—1 en æ;, ..., &,,4, ceux-ci appartiennent à 4 par hypothèse, et l’on a, en prenant un commun dénominateur P non dans 5m,

Ma(æ) (1 + P(x))=Ù Quiz) Yi),

RES RCE les Q.;(æ) étant des polynomes ; ou encore

Ma(X) (1 + P(X))= D Qu(X) YX) + G(X) F(X);

écrivons l'égalité des termes de degré m—1, et soit X l'idéal de K[[X:, ..., X,,,]] engendré par (X,, ..., X,.,); comme P(O)—0

il vient

M(X)= Ÿ Qu(X) Yi(X) (mod X”).

Soit 1] l'idéal engendré par (Y,, ..., Y,) dans KT ET Où voit que Xm-! Cl un AE d’où Xr- C LES La Xr LE — [1] me XX : par applications répétées on voit que X”-! C1] + X"**, donc

X—1 e MN (1 ee A) — Ï.

Ceci montre que 1) est primaire pour l'idéal £, contrairement aux faits qu’il est engendré par s éléments et que K[[X,, ..., X,,,[]est un anneau local de dimension s + 1 :

THÉORÈME 2. — La muluplicité m de l’origine sur l’hypersurface V est égale à la muluplicité e(w) de l'idéal maximal w de l'anneau des quotients à de O sur V.

Il existe dans 0 (Chap. IL, th. 5) un idéal q engendré par un système superficiel de paramètres et tel que e(w)— e(). Nous pouvons, après changement linéaire de coordonnées { scholie au théorème 5,

(Chap. Il)] supposer que q est engendré par (æ,, ...,æ..1); alors, conmmeniadealrCh XX de KIX ER ESX est équidimensionnel en vertu du théorème de Macaulay, donc aussi

l'anneau ———— (9Lo +...+ 9%)

, la multiplicité e(q) est égale à la longueur

de l’anneau d’Artin à (th. 8, Chap. IT). Comme . — K, la longueur

de à est égale à sa dimension sur K (th. 4, Chap. [). Il est clair

ÿ , DT. m1 que: est engendré sur K par les nm monomes fe SES de car,

comme dans le théorème 1, on peut supposer que eq. Il nous suffira donc de montrer que (1, æ,, ..., æ&} ‘) sont linéairement indépendants sur K modg; s’il n’en était pas ainsi on aurait

LRU Pr) ed avec ti er,

doncx" eqcequi montre, contrairement au théorème 1, quen”"€Ca.

@. Ixrensecrioxs roncrueces. Decré D'une variété. — Nous adopterons dans ce paragraphe le point de vue géométrique de C. Chevalley. Soit V une variété de dimension d plongée dans un espace projectif de dimension n, L une variété de dimension nr — d, intersection complète de d hypersurfaces (F;— o); ce sera en particulier le cas si L4 est linéaire. Nous supposerons que toutes les composantes de L, V' sont propres, c'est-à-dire ici des points (M;). Soient p et v les idéaux premiers associés à V et L dans l’anneau de polynomeso—K[X,,...,X,] les x; étant les coordonnées non homogènes de l’espace.

Les composantes de V,L correspondent aux idéaux premiers minimaux, M,, ..., 1, de l'idéal p +, nr; étant associé au point M; Soient g; la composante primaire de p + v selon w; et r, l'anneau des quolients (2) (5) de M; dans V. D’après [[] (prop. 4, p. 35), la multiplicité d’intersection &(M;; V.L) est égale à

p + ets PRE EES, DETTE ? }

Comme q; est composante isolée de p +», on a

P + ti; : Tif; RE donc FM; V1) = e( En).

Si nous supposons que V est aussi intersection complète de n — d hypersurfaces, le théorème d’équidimensionalité de Macaulay s'applique et l’on a

e (5%) — ne (th. 8, Chap. IT).

nor

Ainsi 4(M;; V.L) est égale à la longueur de l'idéal primatre 1. ma Comme p + v — = (5; et que lesidéaux mn, sont maximaux dans 0, j=1 ; est une algèbre de dimension finie sur K, isomorphe au composé

direct des algèbres primaires = = ii 2, Chap. 1). K étant algébrique-

ment clos on a — K pour re donc longueur (2) == | 2:K) dj (y

(th. 4, Chap. L. On en déduit le théorème suivant :

THéorème 3. — Sr V et L sont des variétés de dimensions d et n — d, d’idéaux premiers p et v, toutes deux intersections complètes de n — d et d hypersurfaces, et si toutes les composantes de V,L sont des ponts (M;) à distance finie, on a

Du; V.L)= img ( So),

Nous allons, comme première application du théorème 3, donner une démonstration du théorème de Bezout dans le plan. Soient V et L deux courbes planes d'équations F — 0 et G& —o et de degrés met n. Nous supposerons que V et L n’ont pas de point commun à l'infini, c’est-à-dire que les formes de plus haut degré F, et G, de F et G n’ont pas de facteur commun. D’après le théorème 3, il nous suffira

\ KIX, Y à ; de montrer que l’algèbre RE FE est de dimension mn sur K. Nous allons le démontrer sans supposer que F et G sont irréductibles, sous la seule condition que F, et G,, n’ont pas de facteur commun. Nous

supposerons, avec des axes convenables, que X ne divise pas K,.

a. Soit, par exemple mn. Je dis que dimx( 65) —n. Il s’agit de montrer que B—(G, YG, ..., Y"'G) est une base de ce module. Comme F contient un terme non nul en Ÿ”, on peut, modF, réduire tout polynome à ne contenir d’autres puissances de Y que Y, Y?, ..., Yr1, Ainsi tout polynome PE(F)+(G) peut s’écrire P—AF+(B,(Y)+XB,(X, Y))G où les degrés de B, et de B, en Ÿ

Re ae

sont .<n—1; donc, mod(F, XG), P sera congru à B,(Y)G, combinaison linéaire d'éléments de B. Si d'autre part on a RE ‘ d'aGYie(r, XO)\ (re) A) à

cela s'écrit

GY a;Yi— AF + CXG.

Mais, F et G n’ayant pas de facteur commun, cela implique que

XC —Ù a;Y'est un multiple QF de F; d’où

Dai Q(O, Y)F(O, Y};

mais F(O, Y } est de degré n, ce qui implique a;= 0 pour tous 1, et B est la base cherchée.

b. Par multiplication de G par X” ” nous sommes donc ramenés à montrer que, si F et G sont des polynomes de degré x dont les formes de plus haut degré n’ont pas de facteur commun, ona

dim( SE) ie

nous allons d’abord former les polynomes de degré <2r—2 qui -appartiennent à (F, G). Soit P—AF+BG de degré Zun—2; si À et B sont de degrés supérieurs à n —1, ils sont de même degré n—1+hA(h=o) afin que AF+ BG n'ait pas de termes de degré = 2n — 2; soient À, et B, les formes de plus haut degré de A et B; on doit avoir A,F;,+B,G,— 0; comme F, et G, n’ont pas de facteur commun, cela implique A,— CG, et B,——CF,; on a alors P—(A—CG)F+(B+CF)G avec A — CG et B+CF de degrés <n—1+h. Par applications répétées de ce procédé nous pourrons écrire P — AF + BG où A et B sont des polynomes de degrés Æn—2. Si AF+BG—A'F+B'G, les degrés de À; B, A', B' étant Cn—2, on en déduit (A —A')F—(B—B')G;

comme F et G n'ont pas de facteur commun, cela implique que À — A'est multiple de Get B—B' de F; l'hypothèse sur les degrés

montre donc que À — A' et B— B'. La représentation

PÆ=ArFÆBG (BAL n— 2, dB Zn—2)

est donc unique, et l’espace vectoriel W des polynomes de degré <2n— 2 qui appartiennent à (F, G) est de dimension n(n—1); comme l’espace vectoriel de tous les polynomes de degré “2n—2 est de dimension n(2R— 1), il est somme directe de W et d’un espace W' de dimension n°. |

c. [ reste alors à montrer que W'+(F, G) est l'anneau K[X, Y] tout entier, c’est-à-dire que W +(F, G)=KI[X, Y]. Or W+(F,G) contient tous les monomes de degré Z2r—:2; supposons, par induction, qu’il contienne tous les monomes de degré Æh(h=2n—2). Comme F, et G, n’ont pas de facteur commun, tous les monomes de degré 2n — 1 sont dans (F,, G,) d’après l'identité de Bezout; donc tout monome M de degré À + 1 est dans (F,, G,) et s'écrit