SO EE

ie on appelle m le degré de la variété V. Si X désigne

l'idéal de s engendré par (X,, ..., X,),ilest clair que l’on a

degré est

p +4 De

4 (n) = dima (= pen

; : A LSTTE : o 23 Soit r l'anneau des quotients de l’idéal maximal ; dans 7; comme = Xe + p

est maximal tous les idéaux entre ; et sont primaires pour

Comme d’autre part & — K, on déduit du théorème 4 (Chap. I), que,

à x si PA(n) est la longueur de la puissance n°" de l'idéal maximal m—+ . der,ona

Pm(r) — Pm(rn—1) = yr(n).

Mais [scholie du théorème 5 (Chap. [[)] lidéal 4 engendré par les fonctions induites sur V par d+1 formes linéaires génériques (F5, ..., Fa) des X; a même multiplicité que w. Si v est l’idéal

de K[X;,, ..., X,] engendré par celles-ci, on aura m=e(ri }

Nous voyons ainsi ([I], prop. 4, p. 35) que m est égale à la multiplicité de l’origine O dans l'intersection du cône V4! représentatif de la variété projective V# et d’une variété linéaire L'-" générique. Soit L”#! une variété linéaire passant par L‘4 et intersectant proprement V. Alors V.L‘#'se compose d’un nombre fini de droites D;

passant par O; soit VPN D Nous pouvons d’autre part

écrire L = H.L%?, H étant un hyperplan convenable. Le principe d’associativité des intersections donne alors

MONET "NTM Abe ECS

NO

Ainsi le degré m de NV“ est égal au nombre de points d’intersection, comptés chacun avec sa multiplicité, de V4 avec une variété linéaire L:-4 générique.