HAS PE

9. Lien ENTRE LES mérnopes pe A. Wet et ne C. Cuevazey (!). — Il est montré dans l’appendice ILT de [ WF] que les deux définitions des multiplicités d’intersection coïncident. Mais ceci est une vérification a postertort; nous allons chercher une raison a priori de cette coïncidence. Nous avons déjà remarqué que notre théorie algébrique du Chapitre IT ne fait que généraliser et préciser celle de C. Chevalley. Il s’agit donc: seulement de traduire dans notre terminologie les résultats de A. Weil. Le cas général des intersections se déduisant d’un cas particulier par des opérations géométriques (changement de coordonnées, passage au produit, prise de paramètres uniformisants) qui sont essentiellement les mêmes chez Weil et chez Chevalley, nous nous bornerons à ce cas : soit (x, y) un point générique de V sur un corps #, les (x) étant des variables indépendantes sur #, et les (y) étant algébriques sur #(x); si (x', y') est une spécialisation de (æ, y) sur Æ telle que les ( y’) soient algébriques sur #(x'}[c’està-dire si P — (x, y'}est une composante isolée de l'intersection L. V, L étant la variété linéaire X — x’ |, alors la multiplicité :(P; L.V) est définie comme étant la multiplicité de la spécialisation (y) de (y) sur (æ) +(x') avec référence à k. Cette dernière notion est définie au début du paragraphe # (Chap. [D de | WF}; nous ne reviendrons pas sur les Chapitres [et II de [ WF]; notre travail se borne donc à traduire dans notre langage les paragraphes À, 2 et 5 de[ WF].

Le paragraphe 1, composé de divers lemmes de théorie générale des idéaux ne nécessite ni traduction, ni commentaires. Au paragraphe 2 le lemme 5 veut dire que, si p, idéal premier de(y)sur #, est associé à une composante primaire isolée q de l’idéal a, g est l’ensemble des éléments de [| X | transportés dans a par un multiplicateur qui n'appartient pas à p; ceci est un cas particulier d’ün résultat rappelé au Chapitre I (83). Au lemme 6, («)—(y) est algébrique sur #, donc p est un idéal maximal de #[X] tel que es —A(a);0

est l’anneau des quotients (Æ[X]),; l'idéal g = ao’ est primaire pour

(:) Les résultats de ce paragraphe ont été trouvés indépendamment par M. Iausa (Proc. Royal Acad. Tokyo, 1949).

PAT er

l'idéal maximal po’ d’après le lemme précédent; et notre théorème 4 (Chap. L), précise un peu le lemme 6 en montrant que DRE fe É D = [k(«):k].longueur (4°).

Passons maintenant au paragraphe 3 de Weil. Soit Q le corps des quotients de l'anneau de séries formelles o —/#[[æx]}], et soit (n) un ensemble de quantités d’un corps Q, 350. Se donner une spécialisation finie de (n) au centre de 9 revient à se donner un homomor-

phisme canonique de l’anneau of] sur un anneau quotient —;

» étant un idéal premier de o[n] tel que o ,v soit l'idéal maximal m [engendré par (x,, ..., æ,)] de 0. Dire que cette spécialisation est isolée, donc propre, équivaut à dire que v est un idéal premier minimal de o[n]n dans o[n|. Soit o’ l’anneau des quotients de l’idéal premier v dans 0[n], nw’ son idéal maximal; la spécialisation donnée est

ETS : : 9’

induite par l’homomorphisme canonique de 0’ sur —; on a on —11; mn

comme la spécialisation est isolée, w/ est un idéal premier minimal

de om; donc g'— a’ est primaire pour nw’. Si (n)—(a«) est la spé-

cialisation donnée, supposons que (n) est algébrique sur Q, donc

que (x) est algébrique sur #, ce qui est implicitement supposé

dans [ WF}; on a alors : = ae — Æ(x); comme #(a) est fini sur #

et que (æ1, ..., æ,) sont analytiquement indépendants sur #, ils

forment un système de paramètres de 0’ ([ LR], corollaire de la pro-

position 7, p. 703). La première partie de la proposition 3 est alors une conséquence de notre théorème 4 (Chap. L) :

É : x = | Ti “| -longueur (4) —{|#(x):k].longueur(x');

la seconde partie de cette proposition 3 montre, au moyen de notre théorème 6 (Chap. Il), que e(q')— HR est inférieur à la longueur de g', ce que nous savions ($ 3, Chap. Il). L’affirmation «[Q(n):Q Test multiple de [#(x):Æ] » (théorème 2, p. 57 de [WE |)

est une conséquence de notre théorème 6; Weil la démontre d’abord

en dimension 1 (prop. 4), où l'existence d’une base minimale de 0’ sur 9 lui permet de montrer que e(g')— longueur (q/} [cf. notre

paragraphe 5 (Chap. 11)]; il passe ensuite au cas général (th. 2) en injéctonto— ||, 7.]| dans l'anneau no, = He. .. 4 [[4]]

des séries formelles à une seule variable sur un corps plus grand. Les propositions 5 et 6 de [| WF{, relatives aux conjugués et aux automorphismes ne nécessitent aucun commentaire.

Les hypothèses du théorème 3 veulent dire qu’il existe un homo-

Ve = : Kklæ, y ; AE considérant [y] comme un anneau quotient SEA) v étant un idéal

premier, nous obtenons cette spécialisation comme induite par l’homomorphisme canonique de l’anneau des quotients r’ dev dans 4[+, y] ( « l’anneau de spécialisation ») sur son quotient par son idéal maximal mn. L'idéal »,4[æx] est évidemment engendré par (æ,, ...,x,); soit t —(#[æ] nu; © est un sous-anneau de +’, et est muni de la topologie induite par celle de r’ si l’on munit r’ et r’ de leurs topologies classiques d’anneaux locaux. La méthode employée par Weil consiste alors essentiellement en une complétion simultanée de r et r'; la complétion o de r est l'anneau #[[x]], celle o’ de r’ un anneau local fini sur 9; la spécialisation donnée (y) > (y) est alors au centre de 0 puisque on est engendré par (2, ...,æ,). Ainsi la multiplicité m de la spécialisation (y) de (y) sur (æ)>(o) avec référence à 4 est

égale à e(q'}, q' désignant l'idéal Ÿ 0'x, de 0’. Si nous revenons à t", qui est l’anneau des quotients du point P(O, y) sur V [de point générique (æ, y) sur k] (à une extension du corps de base près, ce qui ne change pas les multiplicités (cf. [1], lemme 4, p. 19), nous voyons que |

m=e(e Di ca} (Ov tP)Eb ee ot (PEN D) ET propeh;p.55),

multiplicité d’intersection définie par la méthode de C. Chevalley. Nous avons ainsi montré le lien entre les méthodes de A. Weil et