PRÉLIMINAIRES GÉOMÉTRIQUES

Avant d'aborder, aux Chapitres V et VI, la théorie des intersections excédentaires et des intersections singulières, divers préliminaires géométriques nous seront nécessaires, qui vont être exposés dans ce Chapitre IV. Les résultats algébriques des deux premiers Chapitres ne seront pas utilisés avant le Chapitre V. Nous supposerons désormais connus du lecteur la terminologie et Les résultats de[ WF].

À. QueLquEs ENSEMBLES ALGÉBRIQUES. — Nous entendrons par ensemble algébrique ce que A. Weil appelle « a bunch of varieties », c’est-à-dire la réunion d’un nombre fini de variétés algébriques, ou encore l’ensemble des zéros d’un idéal de polynomes. Nous allons montrer que cerlains phénomènes algébriques ou géométriques peuvent s'interpréter comme étant ceux qui se produisent si les données du problème sont placées sur certains ensembles algébriques.

a. Bases non séparantes. — Soit k un corps, Æ£(æ:, ...,æ,) une extension séparable de # de degré de transcendance r. Si (a;;) (ii r,1<jZn)sont nr éléments de #, cherchons à déterminer

si Ep 7) est une base de transcendance séparante #(æ)sur #. VEL

S'il n’en était pas ainsi il existerait ([ WF], Chap. I, th. 1) une déri-

vation non triviale de Æ(æ) sur # qui induirait la déviation triviale

sur #(y). Celle-ci D est déterminée par les éléments Dx,;—u, à

condition qu'ils satisfassent ([ WF], prop. 15, Chap. [) aux relations (1) a. 0, J

où (F,) est une base de l'idéal des relations algébriques satisfaites par (æ) sur #. On devrait donc avoir

[0 rm (2) EDS ij Vo) dijuj—= 0.

JA oil

rt les

(1) et (2) constituent un système d’équations linéaires entre les w,, qui, pour que (y;) ne soit pas une base séparante, doit avoir une solution non nulle. Ceci s'exprime par l'annulation de certains e. . . {/ 0F Y LE mineurs d’ordre 7 extraits de la matrice (Se aÿ)): Ces conditions TZ}

s’écrivent D P,(a) GT) — 0 où les P,(a)sont les mineurs d'ordre r

d extraits de ((a;;)) et les Gs9(x) des fractions rationnelles des æ. Exprimant les G,,(x) au moyen d’une base linéaire (e,) de k(æ)

sun£ GC) = e(bu Ek), on déduit du fait que les a;; appar-

üuennent à # la condition Dre o pour tous les indices s et 0.

U Donc :

Taéorème 1. — Une condition nécessaire et suffisante pour que les r om 22 à!

éléments Hd d;;æ;(a;;Ek)ne forment pas une base séparante de k(x) Je l sur k est que les éléments à;; annulent un certain nombre ( fini) de polynomes homogènes de degré r à coefficients dans k.

Nous voyons ainsi que les bases séparantes de £(x) sur Æ « sont situées » en dehors d’un ensemble algébrique de l’espace projectif de dimension nr — 1. Le théorème d’existence d’une base séparante extraite de Æ(æ) montre que cet ensemble algébrique n’est pas l’espace entier.

Remarque. — Prenons maintenant pour éléments (a;;) des variables indépendantes sur #(æ). Le théorème 1 montre que, si l’on pose

ep ai;æ;, (y) est une base séparante de Æ(æ, a) sur k(a); en ellet Ji ;

k(æ, a) est séparable sur #(a) ([ WF], prop. 16, Chap. I).

b. Éléments primitifs. — Soil ere (a;;€k) une base

r TA n

séparante de #(æ) sur k, et posons z = b;x;(b;et); nous nous pro- JA posons de voir si #(y, 3) est égal ou non à #(x), c’est-à-dire si 3 est,

= Die

ou non, un élément primitif de #(æ) sur #(y). Si qg=[#(x):#(y)] il faut et il suffit pour cela que z ait g conjugués distincts sur Æ(y); d’après la séparabilité de 4(æ) sur 4(y),(æ1, ...,æ,) à g conjugués distincts (x, ...,æ®)(1Z<5-Zq); donc lès g formes, linéaires Dia B; sont toutes distinctes. Le fait pour 3 d’être élément primitif J=1

s’exprimera donc par

HI(Êur-«r)re