NAS

Ceci est une forme de degré g(q —1}) en (b;) à coefficients non tous nuls dans #(y), d’après la théorie de Galois. Soit

(4) D'ur(b) 0,

où ,€Ek(y) et où les r,(b) sont les monomes de degré g(q—1) en D, ..., b,. Or on a b;€k pour tous /; soit donc (e,) une base linéaire de Æ(y) sur k, et soit PE DT e, où les c,, sont des éléments

de #Æ nuls sauf un nombre fini d’entre eux. (4) s’écrit alors

Zum (b)e 0, où encore 2e r(b)<0 pour certain indice «w.

Le (b) tels que z ne soit pas élément primitif de Aa sur Æ(y) satisfont donc à toutes les équations

(5) D Gorb)=0

Ceci montre lorsque # est un corps infini, l'existence d’un élément

primitif z de £(æ) sur Æ(y) de la forme z =) bras

Remarques. — 1. Si l’on prend pour à, b) (n(r +1) variables indépendantes sur Æ#(x), on voit que l’on a X(x, a, b)— k(a, b, y, z). Ceci nous sera fortutile au paragraphe 2.

2. Il est clair que les coefficients (4) de (4) sont des fonctions rationnelles des x et des à, à coefficients dans #; il en est de: même des (c) à condition de prendre pour (e,,) une base linéaire de k(æ) sur .

c. Projections d'indice © 1. — Soit V une variété de dimension d

n dans un espace de dimension n. Si D'a;X;= OCT dE) A sont les équations d’une variété linéaire L-(#+1), et si (æ) est un point générique de V sur un corps # contenant les (a), les coordonnées d’un point générique sur # d’une projection de V selon la direction

r de L seront, avec des axes convenables, les ds aijæ;. Rappelons = que, si #(y)=#(x), on dit que la projection est d'indice 1. Cherchons les directions de L”(#1) telles que cet indice ne soit pas égal à 1. Nous pourrons toujours supposer que (y1,...,y4) forme, ou contient, une base séparante de Æ(y) sur #. Alors les (ay.1,;) devront satisfaire à toutes les équations (5) ci-dessus, qui sont des polynomes en (a;;) à coefficients dans #. Donc les (a) donnant lieu à une projection d'indice > 1 constituent un ensemble algébrique B. Si nous projetons sur la Grassmannienne des directions de L'-(#) nous voyons que ces directions exceptionnelles de projection constituent un ensemble

algébrique.

d. Composantes excédentaires. — Soient V' et W' deux variétés de dimensions r et 7’ dans l’espace affine S", ou projectif P". Rappelons que toute composante M de V,, W a au moins la dimension r +r— n; une composante de dimension 7 +7 — n est dite propre; une composante est dite excédentaire dans le cas contraire. Nous nous proposons de montrer que l'existence de composantes excédentaires est « un phénomène algébrique et exceptionnel ». Plus précisément nous supposerons que W” parcourt une famille algébrique de variétés, c’est-à-dire que, dans l’espace produit S>< S", ilexiste une variété U, de projection U’ sur S, et telle que pour certain point P, € U’, la projection de (P, >< S"),U soit W; ainsi W est plongée dans la famille de variétés (et cycles) W,= prs.((P x S’).U) où P eU/. Il s’agit de

montrer la propriété suivante :

Tniorème 2. — Les points P EU! tels que V,, W, ait au moins une composante excédentaire forment un sous-ensemble algébrique de U'.

Comme dans la plupart des cas nous saurons que VA Wh n’a que des composantes propres lorsque P est un point générique de U/ sur certain corps de définition, nous voyons donc bien que l'existence de composantes excédentaires est « un phénomène algébrique et exceptionnel ».

Soit # un corps de définition commun de U, U’et V. Nous ne considérerons que les points P EU’ dont les coordonnées sont dans une extension K de 4, algébriquement close et de degré de transcendance infini sur #, mais telle que le domaine universel Q soit de degré de transcendance infini sur K. Alors les composantes de W,, V sont toutes définies sur K quel que soit P ([ WF], prop. 1, Chap. V). Nous supposerons que W, est de dimension r/ pour P générique sur #, et que V', W? n’a que des composantes propres, c’est-à-dire de dimension rE7—n. Soit Lett-n-1= [21 tr) 1 ne variété linéaire de S” générique sur K.. Il résulte de[ WF ](prop. 2, Chap. V), que V.L est défini et est un cycle de dimension n—7r—1,que L,M est vide si M est une composante propre de V,, W,, et que L,M n’est pas vide si M en est une composante excédentaire. Les points P eU' donnant lieu à des composantes excédentaires sont donc ceux tels que L,V, W, ne soit pas vide, donc tels que W,,C;<# pour au moins une composante C; de L, V. Considérons donc, dans S\ >< 5" l’ensemble algébrique « cylindrique » B= S\X(L, V). Les points P en question seront évidemment ceux qui appartiennent à l’ensemble

algébrique pry (BU).

Remarquons que toute composante de ce dernier ensemble est définie sur le corps Æ(a, b), clôture algébrique de Æ(a, b) où les (x) et les (b) sont les coefficients, algébriquement indépendant sur #, des équations de L. En faisant varier les (a) et les (b) nous voyons que toute composante de pry(BAU), dont la définiion est indépendante de (4, b), est algébrique sur k.

2. SPÉCIALISATIONS DE piviseurs. — Le reste du présent Chapitre va être consacré à la solution du problème des spécialisations de cycles

m0 DE

de dimension arbitraire, problème posé par A. Weil CHECWE], Chap. IX, n° 6). Nous allons d’abord nous préoccuper des spécialisations à. diviseurs, c’est-à-dire de cycles de dimension n—1 de l’espace projectif P", dans lequel nous nous placerons pour le reste de ce Chapitre. D'autre part, comme tout cycle se représente comme différence de deux cycles positifs, nous nous bornerons aux cycles positifs, laissant au lecteur la généralisation, d’ailleurs triviale, aux cycles quelconques.

Soit + > n; V; un diviseur de P”", c’est-à-dire une combinaison

linéaire d’hypersurfaces V; d'équations (irréductibles) F;(X)— 0. Nous ferons Re au diviseur X l’équation 11 CAN DS

que nous de l'équation du diviseur X. Il ÿ a ainsi un homomorphisme du monoïde multiplicatif des formes en (X}) sur le monoide additif des diviseurs positifs, deux formes ne différant que par un facteur constant donnant le même diviseur. Considérons plus particulièrement les diviseurs de degré d, c’est-à-dire représentés par

des formes de degré d, et soit (7, (X)) l’ensemble des monomes de | degré d en (X,, ..., X,). Soit C la variété de P*>x< P\ représentée

par l'équation G > A,mX)= 0; si (a,) est l’ensemble des coeffip=—0 cients de l'équation du cycle X et si (æ) est un point de P”, les rela-

tons «(æ)EX » et «(æ, a)EC » sont équivalentes. On a l'égalité suivante :

(1) CPE D OX Se )S

en effet les composantes du cycle du premier membre sontles V;>x (a) si l’on pose Le) niV;; et la multiplicité de V; est égale à (QG) si G est la fonction induite par G sur P'X<(a)([ WF], Chap. VIIT),

nombre qui est égal à n; puisque P(l Det.

(:) Le problème a été résolu indépendamment par MM. Matsusaka, Barsotu et Chow, par des méthodes analogues à la nôtre.

Soit X un diviseur de degré d, (a) les coefficients de son équation. Un cycle X' ne saura être spécialisation de X que s’il est aussi un diviseur de degré d, comme il résulte des conditions naturelles imposées dans [| WF]; soient (a') les coefficients de l’équation du cycle X’ spécialisé de X sur #. Si nous supposons que les-eonditions de A. Weil sont satisfaites, nous pouvons prolonger XX’ en une spécialisation (a”) de (a); (1) montre alors que l’on a (P:x(a").C—X!'><(a")) puisque la spécialisation des cycles doit être compatible avec le produit d’intersection et que C est définie sur le corps premier; ceci exprime que les points (a') et (a”) sont identiques. Nous dirons donc que le diviseur X’ de coefficients (a) est une spécialisation du diviseur X de coefficients (a) si (a') est proportionnel à une spécialisation de (a) sur k; cette définition est la seule qui soit susceplible de satisfaire aux conditions de [| WF]. Nous remarquons aussitôt les propriétés suivantes :

1° Cette notion de spécialisation de diviseurs est transitive.

2° Un diviseur rationnel sur # n’a d'autre spécialisation que luimême sur #.

3° Toute spécialisation d’un diviseur positif est un diviseur positif.

4° Le théorème d’extension des spécialisations s'applique aux spé-

cialisations de diviseurs ([ WF}, prop. 10, Chap. IF).

Soit maintenant V une hypersurface de degré d et de coefficients (a), et (æ) un point générique de V sur un corps K contenant #. Soit X' une spécialisation de V sur #, et (a!) les coefficients de X/, (a') étant une spécialisation de (a) sur #4. Utilisant les notations de [ WF], (Chap. VIT), la formule (1) donne V—C((a)) et X'— C((a')). Donc si (x') est une spécialisation isolée de (x) sur (a) + (a!) avec référence à k, (x') est un point générique sur la clôture algébrique de K(a’) d’une des composantes du diviseur X!, et réciproquement.

9. PROJECTIONS GÉNÉRIQUES. SPÉCIALISATIONS DE CYCLES DE DIMENSION ARBITRAIRE. — Soit X un cycle positif de dimension r dans l’espace

projectif P’; posons X ED ni V;, les V; étant des variétés de dimen-

RG ee

sion r. Soit K un corps de définition commun des V;, et soit # un

sous-corps de K ; supposons que X' soit une spécialisation de X sur #,

quel que soit le sens que l’on puisse attribuer à ces mots. Posons ñn

RES CiXi(j =0,...,r—+1), les c;; étant tels que #(c) et K soient linéairement disjoints sur #. Alors X' doit être aussi une spécialisation de X sur Æ(c). Considérons les projections de X et X' selon la direction d(Z;— 0); si les (c) ne sont pas sur certain ensemble algébrique ($ À) les cycles pr,X et pr,X' sont définis et sont des diviseurs de l’espace projectif P'+!, D’ après les conditions de [ WF], pr,X’ doit être une spécialisation de pr,X sur #(c). Prenons maintenant pour (c) un ensemble de (n+1)(r+2) variables indépendantes sur K. La projection ci-dessus sera alors appelée projection générique de X. Toute variété V; du cycle X est alors projetée sur une hypersurface H; . de P'* avec indice de projection 1 ($A,c); ainsi pr,X >. n:H,;. Raisonnons pour simplifier sur un cycle réduit à une variété V; l’hypersurface H projection de V aura une équation G CAES, dia), u les r,(Z) étant les monomes de degré d en les indélerminées Z;; les coefficients d, sont dans K(c); d’après l’homogénéité nous pouvons les prendre dans K{[c]. Si nous spécialisons sur 4 les (c) en (c') de façon que Æ(c') soit linéairement disjoint de K sur # (cette spécialisation est alors aussi une spécialisation sur K), les d, se spécialisent de façon unique en d,. Soit (æ) un point générique de V sur K ; alors H admet

7 ma

2 : inéri K re br 4 Re pour point générique sur K(c); et D Ne est A T—=1

point générique sur K(c') de la projection H' de V suivant la direc-

tion (c'). L’équation G'(Z/ =Ddr(2) 2; Pr est alors à

satisfaite par les (z'); réciproquement toute spécialisation isolée (u)

de(z)sur (c) + (c') avec référence à K se prolonge, puisque lindice

de projection est supposé fini, en une spécialisation isolée (æ') de (x)

sur K, et (w) est donc la projection suivant (c’) d’un point générique

de V sur K. Ceci montre que tout point qui satisfait à G'(Z')—o est

sur la projection de V et réciproquement. Si donc G,—o est l’équation de cette projection H’ on a G/=(G;)'; en comptant les intersections de H' avec une droite générique D de P’**, et de V avec la variété linéaire projetant D, la considération des degrés de V (égal à celui de G ou de G') et de H' (égal à celui de G,), montrent que s est égal à l’indice de projection de V. Donc G'— o représente le diviseur Pre) V. Le cas d’un cycle X (au lieu de V) s’en déduit par linéarité. Comme [ WF] la spécialisation des cycles doit être compatible avec la projection algébrique, nous sommes amenés à poser la définition suivante :

Déremrrion 1. — Un cycle X' est dit spécialisation d’un cycle X sur un corps k, si et seulement si, le diviseur projection générique de X' (sur un corps de définition de X et X') est spécialisation sur k(c) du diviseur projection générique de X [les (c) désignant les coefficients de la projection générique |.

Passant à l’espace affine, considérons les r+1 hyperplans LS ox 0 |. La relation G(Z)—0o veut dire que V a un

point commun avec l'intersection L”"-* des hyperplans L;. Explicilant G(Z) en écrivant ses coefficients comme des polynomes en (c), soit G(Z;, c;), nous voyons donc que G(z,c})est la zugeordnete Form de V(ou du cycle X) selon Chow et Van der Wærden. Des résultats

de ces auteurs nous déduisons (‘):

1° La condition nécessaire et suffisante pour que les b,(c) soient les coefficients de la projection générique d’une variété V' (ou d’un cycle X’) s'exprime par un nombre fini de relations algébriques entre les b,, ou encore entre leurs coefficients en fonctions des c;; ces te algébriques ont leurs coefficients dans le corps premier.

2° Ceci montre donc qu’en spécialisant les b, sur # on obtient effectivement l'équation de la projection générique d’un cycle X'”. Ainsi le principe de prolongement des spécialisations est vrai pour les cycles.

(') Van er WæRDEN, A/gebraische Geometrie ($ 36, 37, p. 155-162).

AC yes

3 Les cycles positifs de dimension r et de degré 4 se répartissent donc en un nombre fini de systèmes algébriques irréductibles. Ceux-ci forment donc un ensemble algébrique défini sur le corps premier. Les cycles positifs de dimension r de l’espace projectif se répartissent donc en une enfinité dénombrable de systèmes algébriques irréductibles, tout cycle appartenant au moins à un et au plus à un nombre infini de ces systèmes.

4° Si l’on considère maintenant les cycles portés par une variété U définie sur #, les résultats de Chow-Van der Wærden montrent que les (b,) doivent satisfaire à un nombre fini de relations algébriques. Celles-ci sont à coefficients dans #, ou, si l’on veut, dans le plus petit corps de définition déf (U) de U. Le cycle spécialisé X' de X sera alors automatiquement porté par U et le théorème de prolongement des spécialisations s’appliquera encore.

Le fait que X’ est porté par U pouvait se déduire aussi des considérations terminant le paragraphe 2).

Une analyse analogue à celle de 3° montre que les cycles positifs de dimension r portés par U se répartissent en une infinité dénombrable de systèmes algébriques irréductibles, tout cycle appartenant au moins à un et au plus à un nombre fini de ces systèmes. Ces systèmes sont définis sur la clôture algébrique de déf (U); qu’ils ne soient pas nécessairement définis sur déf(U )est montré par l’exemple des génératrices rectilignes de la sphère X°+ Y?+ Z°—T°—o, chacun des deux systèmes étant défini sur Q(7) et non sur Q.

5° Tout cycle est déterminé de façon unique par sa projection générique. Ceci résulte des résultats cités. Nous allons cependant établir directement un résultat un peu plus fort. Nous avons vu que ‘ Ja connaissance de la projection générique de V détermine toutes les projections de V suivant des diviseurs d'espaces P'*". Après un changement éventuel de la numérotation des coordonnées nous pourrons supposer que (X,—o) ne contient pas V, passer aux coordonnées affines et supposer que (æ1, ..., æ,) est une base séparante de K(x)

rs 70

sur K, (æ) étant un point générique de V sur K. Si alors (@,.4, ..., 43) sont » — r variables indépendantes sur K(æ), on a re KEANE Ra) ET a) où: Y— D az; ($ 1).

Jar ds o | ; La projection de V selon la direction 0,40, > Xe) j=n+1 est alors d'indice 1 ; nous l’appellerons projection semi-générique de V. Nous allons alors montrer que V est déterminée de façon unique par sa projection semi-générique. Soient donc V et V' deux variétés définies sur K et ayant la même projection semi-générique H. Tout point générique (æ,, ..., x.) de H sur K(a) est projection de points D'ÉNOPIMUES. LE) » 2 2 dre Dies 20 En) Je Ve CD (Er Le OPA de V’ sur K; les (x;) et (x;) sont algébriques sur K(zx,, :.., x)

G=itr, :..,n)etlona De a;j(xæ;— x;)—0;comme les (a;)sont , j=n+1

des variables indépendantes sur la clôture algébrique de K(x:,, ...,æ,)

ce sont des quantités linéairement indépendantes sur ce corps; on voit

donc que = ielqueM— VV?

Voici maintenant quelques conséquences immédiates de la définition 1 :

a. Au moyen d’un K-automorphisme o, nous voyons que cette définition est indépendante des variables indépendantes (c) choisies.

b. Elle est compatible avec l’addition des cycles.

c. Elle est indépendante du corps de définition K de X choisi; il suffira en effet, d’après a, de prendre les (c) algébriquement indépendants sur le corps composé des deux corps de définition de X considérés.

d. En prenant les (c) algébriquement indépendants sur un corps de définition commun de trois cycles X, X’, X', nous voyons que la notion de spécialisation des cycles est transitive.

e. S1 X est rationnel sur k, pr, X est rationnel sur #(c) CL WE],

Ah TE ES

Chap. VIL th. 14), donc n’a d'autre spécialisation que lui-même sur k(c) ($ 2); comme tout cycle est déterminé par sa projection générique, X n’a d’autre spécialisation que lui-même sur #. ®

J. La phase « X’ est spécialisation générique de X sur # » voudra dire par définition que les coefficients de la projection générique de X’ se déduisent de ceux de la projection générique de X par un E(c)-automorphisme. Par prolongement des automorphismes nous voyons que ceci veut dire que X’ est un conjugué de X sur 4.

- g. L'analyse précédant la définition ! montre que la spécialisation des cycles est compatible avec la projection algébrique lorsque celle-ci donne des diviseurs. On peut lever cette restriction en appliquant aux cycles prX et prX' une projection générique dans la variété linéaire qui les contient (« principe des trois perpendiculaires »).

h. La même analyse montre également que la notion de spécialisation des cycles ne dépend pas de l’espace projectif P* dans lequel ils sont plongés puisque tout cycle est déterminé de façon unique par sa projection générique.

. Pour les cycles de dimension zéro la notion de spécialisation définie ici coïncide avec celle de[ WF |; en effet, pour un point P(æ), la

projection générique est > cit; — 2; une spécialisation z' de z sur Æ(c)

se prolonge en une spécialisation (x) de (x); comme on aa > ét? Ge

z' est la projection générique du point (x'), et notre affirmation est

une conséquence de la détermination unique d’un cycle par sa projec-

tion générique.

4. COMPATIBILITÉ DE LA SPÉCIALISATION DES GYCLES AVEC LE PRODUIT DIRECT ET LE PRODUIT D'INTERSECTION. — PRoposirion 1. — SE (Y’, Z') est une spéciakisation de (Y, 2) sur k, le cycle Y' ><} est l'unique spécialisation de Y <Zsur(Y, Z)—(Y, Z') avec référence à k.

Nous nous bornerons au cas où X — Y *< Z est une variété, le cas général s’en déduisant par linéarité ([ WF], Chap. VIT, p. 203);

Y et Z seront donc des variétés de dimensions r et r; soit K un corps

Sao eu

de définition commun de Ÿ et Z contenant #, et soient (æ) et (x) deux points génériques indépendants sur K de Yet Z; X admet alors (x, + 2) pour ti générique sur K. Si (æ1, ..., æ,) el + A > &3) sont des bases séparantes de K(æx) et K(æx)sur K, PR MES Liy ee.) +)

à LL

est une base séparante de K(x, x) sur K. Soient y— > dj), j=n+1

ÿ—= > axæx, les (a,a) étant des variables indépendantes sur Kk=n+1 K(æx, æ). Les coefficients del’équation de la projection semi-générique de X (resp. YŸ, Z\ sont proportionnels aux fonctions symétriques élémentaires des conjugués de y+ y sur Ka, D, Dire Li æ.) [resp. de y sur K (a, TAC T ES x), de y sur K(a, PRE æ;)]; mais ces premières fonclions symétriques sont des polynomes, à coefficients dans le corps premier, des autres. Ainsi'les coefficients (6) de l'équation de la projection semi-générique de X sont des polynomes, à coefficients dans le corps premier, en les coefficients (b) et (b) des équations des projeclions semi-génériques de Y et Z. D’après le principe de prolongement des identités algébriques ces expressions des (6) en fonction des (b, b) sontencore valables si X, Y et Z sont des cycles (de mêmes degrés respeclifs). Or se donner des spécialisations Y’

et Z' de Y et Z sur k revient à se donner des spécialisations (b') et (4!) de (b)et (b) sur 4(a)et Æ(a), c'est-à-dire une spécialisation (b, b') de (b,b) sur Æ(a, a); en effet (b') et (b') sont des spécialisalions de (b)et(B }sur ka, a) d'après WF] (cor. du théorème 5, Chap. IL; d'autre part comme K(æ) et K(x) sont linéairement disjointssur K, k(æ) et k(æ) le sont sur #, donc k(a, a, æ) et ka, a, æ) le sont sur E(a, a); a fortiori k( a, a, b) et k(a, a, b) sont linéairement disjoints sur #(a, a), et notre affirmation résulte de [ WF] (Chap. I, th. 4). Donc les (B) se trouvent spécialisés, et de façon unique en (8), et, d’après la première partie du raisonnement, les (8) sont les coeffificients de l'équation dela projection semi-générique du cycle Y' > 7.

COURS De

Proposition 2. — Soient Let YŸ deux cyles positifs portés par une variété U définie sur k; st (Y', Z') est une spécialisation de (Y, Z)) sur k telle que Y'.Z! soit défini (*), alors Y .Z est défini et Y'.Z! est l'unique spécralisation de Y .Z sur (Y, Z) = (Y', Z!) avec référence à k.

. Le fait que X.Y soit défini se voit ainsi : si Z,Y avait une composante excédentaire C, une spécialisation C/ de C sur (Z, Y) + (Z/, Y!) avec référence à Æ appartiendrait à Z/,Y', et Z'.Y' ne serait pas défini. Si une composante C de Z,Y appartenait à l’ensemble singulier de U, C’ appartiendrait à cet ensemble, qui est défini sur #, et Z'.Y' ne serait pas non plus défini.

Pour le reste de la proposition 2, nous examinerons d’abord le cas où Ù est l’espace projectif. Par utilisation des cycles produits et de la diagonale, nous sommes d’abord ramenés au cas où Z est une variété linéaire L, définie sur le corps premier (prop. 1). Si K est un corps de définition commun de Ÿ et Y’, soit L, une sous-variété linéaire de L,, générique sur K, et ayant une intersection propre et de dimension zéro avec Ÿ et Y’; L, est définie sur # linéairement

disjoint de K sur #; ([ WF], th. 4, Chap. V), montre que, si

> Da LP et YO, me Q8g, œ 8

on à

D LE mA

où V, (resp. W,) est la variété ayant P, (resp. Qs) pour point générique sur K ; il nous suffira donc de montrer que Y’.L, est l’unique spécialisation de Y.L, sur Y — Y' avec référence à #. Nous sommes ainsi ramenés à des intersections de dimension zéro. Par projection générique sur #'(K) nous sommes ensuite ramenés, d’après la définilion À, à l'intersection d’un diviseur H et d’une droite D, cas où la

compatibilité se déduit aussitôt de [| WF] (Chap. IL, prop. 9).

(*) Conformément à [I], et contrairement à [ WF], nous disons que le cycle intersection Y’.7Z/ est défini si toutes ses composantes sont simples et d’excès

nul sur U.

Lime

Reste maintenant le cas où les cycles Y.Z et Y’.Z' sont définis sur une variélé ambiante U° définie sur #. Par passage au produit et à la diagonale, nous pouvons supposer que Z— Z’ est une sous-variété simple de U définie sur 4. Parallèlement à une direction de dimension z — w et générique sur K, faisons passer par Z un cylindre H; celui-ci est défini sur un corps #’ linéairement disjoint de K sur # ([E], th. 6, p. 92); il est clair (8 4) que H.U est défini et que Z est

une composante de multiplicité : de ce cycle. Toute autre composante T de H.U ne peut être algébrique sur 4; en effet un K-automorphisme quelconque 5 laisserait T invariante; T serait donc une composante de tous les cycles U.H°; mais chaque cylindre H° est contenu dans un hypercylindre C° projetant Z sur une de ses projections génériques; le fait que Z est déterminé de façon unique par l’une de celles-ci ($ 5) entraîne en particulier que l’on a Z =f) GE

d’où Z=f\ H°. Donc le cycle H.U est somme de Z, algébrique

sur #, et d’un cycle À transcendant sur k.

Considérons maintenant les cycles (Z.Y et H.Y [resp. (Z.Y'y et H.Y’]. [I] (th. 6, p. 92) montre que H.Y est somme de (Z.Y }, et d’un autre cycle positif B; le raisonnement ci-dessus montre que toute composante de B n’est définie que sur une extension transcendante de K; on a doncH.Y —(Z.Y},+(A.Y} où B—(A.Y est transcendant sur K; et de même H.Y'—(Z.Y',};+(A.Y'} où B'—(A.Y'), est transcendant sur K. La partie du raisonnement relative à l’espace projectif montre que H.Y’ est l’unique spécialisation de H.Y sur Y — Y’ avec référence à #'. Soit(Z.Y ;, > R’ une extension de cette spécialisation; c’est une spécialisation sur #’ mais elle est déterminée par une spécialisation sur # puisque £' est linéairement disjoint de K sur #. Ceci montre que R’ est invariant par tout K-automorphisme 0, et par conséquent R'(Z.Y');;. Mais comme les cycles (Z.Y },, (Z.Y'}; et R' sont positifs et de même degré, on en déduit R/—(Z.Y'} et la proposition 2 est démontrée.

D. LE THÉORÈME DE SEvert. — Nous allons maintenant donner une démonstration d’un théorème dû à F. Severi. Notre démonstra-