TUE

tion suit de près le raisonnement géométrique de F. Severi (‘ ), mais insiste sur certains points de nature plus algébrique laissés de côté par cet auteur. Ce théorème nous donne d’ailleurs une seconde démonstration du fait que le principe de prolongement s'applique aux spécialisations de cycles.

Taiorème 3 (Severi). — Soi X' un cycle de dimension r de l’espace projectuif P"; dl existe n—7r diviseurs U,, ..., U,,, s’intersectant proprement dans P", et tels que X —U,...U,

1° Supposons d’abord que X soit une variété V, définie sur un corps infini K; nous supposerons, ce qui est toujours possible au Del d’un done d’axes ($ 1), que le point à l'infini sur OX, n’est pas sur V, et que le cylindre C’+!' parallèle à OX, et s'appuyant sur V projette V sur l’hyperplan (X,— 0) avec un indice de projection égal à 1. Soit alors (x) un point générique de V sur K; on a NE 2) Cri. 0 L'a)et-lohpeut'ecrire

P et Q étant des polynomes, et Q(x)><o. Soit M le monoïide d’équation X,;,Q(X)— P(X)=o, et N l'hypercylindre Q(X)— 0,

ce dernier n'étant pas nécessairement irréductible; si Q —]| | (Qs)* B

les Q3 étant irréductibles, nous conviendrons ($ 2) que Q(X)— 0 représente le diviseur 2Ne Ng étant l’hypercylindre irréductible

d’équation D 0 Considérons l'intersection C:M; toutes ses composantes sont propres car Cd M; V' en est une composante. En un point générique de V l’hyperplan H tangent à M est engendré par

Se CEA linéaire tangente à C contient la parallèle à OX,; comme H ne contient pas cette droite, ces variétés linéaires tangentes sont transversales, ce qui montre que V a multiplicité 1 dans C.M. Les autres

oR 0R Er les vecteurs { 1, 0, ..…, =) (00-25 h qe , et la variété

() F. Severr, Sistemi di equivalenza, p. 62 (Rome, 1941).

ÉnTETE

composantes de C.M sont des cylindres parallèles à OX,, obtenus P (6) Q(6) en effet un point générique de V.sur K a pour coordonnées homogènes (æ, Q(æ), …, æ à Q(æ), P(æ), Q(æ)); si l'on avait Q(E)=0 sans avoir P(Ë) — 0, cela voudrait dire que le point à l'infini de OX, est sur V contrairement aux hypothèses. Donc les composantes A; de C.M autres que V sont identiques à celles de C.N; ces dernières sont toutes propres car Q(X) ne s’annule pas sur C par hypothèse. ‘Il nous reste à montrer que l’on a V—C.M—C.N; or C.N est, sur C, le diviseur (Q(X)), des zéros de Q(X)([WEFT, Chap. VII, n°2), et C.M le diviseur (P(X)—X,Q(X)),. Nous supposerons, ce qui est possible par changement d’axes, qu'aucune des A; n’est à linfini; C.M—C.N est le diviseur (x GX ne peut figurer dans ce diviseur; en effet, si v est une valuation de

se) = car le point à l'infini de OX, ne se.

trouve pas sur V (cf. ci-dessus), et l’on déduirait de (x — nd) 0:

lorsque se présente sous la forme : IL suffit pour cela que Q(Ë)—0;

) ; aucun cylindre A,

centre À,, on a e(

une contradiction, car, si (€) est un point générique de A;, £, est

P(X transcéndant sur K(E,, ..., E£, ,): On a donc s(X— Go) SN

pour toute valuation + de centre À, : comme, par application de la formule de projection à C et à un modèle normal de C, on voit que 2(A,; C.(M—N)) est combinaison linéaire de ces nombres, on à (A; C.(M—N))—o. Comme le point à l'infini de OX, ne se trouve pas sur V, C.M—C.N est un diviseur positif; donc on a

2° Considérons maintenant un cycle Fe n, V,. Nous ferons les

mêmes hypothèses relatives à la situation du point à l'infini de OX,, et ceci par rapport à toutes les V,. On a alors V,— C.(M,— N,). Nous allons nous arranger pour que le méme monoïde M et le méme hypercylindre N puissent servir pour toutes les V,. Soit K un corps de définition commun des V,, (æ*) un point générique de V, sur K. Soit p, l'idéal premier de K[X;, ..., X,, ] associé à la projection

de V, sur (X,—o); avec des axes convenables nous pourrons les supposer tous disuncts; alors pydp, si a <8. Soit S,3 un polynome

de K[X,, ..., X,.,] tel que Sas Pa Das Es; posons ILES D Ba

alors T,p, et T,eps pour Ba. Si BEST on à T'ép, quel

ar 0 NE RUe