MARGE TES JET

, : : il dérons la fraction oncle = er Ge OLPC Ce

que soit «a et T=T,(p,). Écrivons x“ et Consi-

Car Ts (xe)) = 01 186224; 1T er si nous écri- ACT tout”x. Donc le = AO A) P

monoide M (An DÉRE PO) —=o)enle "cylindremN(OCX)— 0) rare Servir pour “touse lés Vi: V=C, (MN): Donc AL Œ). (M—N)= YU, U étant un diviseur.

P (a) vons = nous avons x“

3° Ilsuffit alors d'appliquer le même raisonnement à Y'*', et ainsi de suite, pour obtenir le résultat annoncé.

Remarque. — Si X est un cycle rationnel sur le corps énfini K, il est clair

que > No Cx Sera aussi rationnel sur K, car on prend un point de vue à coorœ données dans K. Nous pourrons décomposer X en une somme de cycles Ha

rationnels sur K, et former pour chacun d’eux la somme partielle R — DE DE

soit (x®)) un point générique sur la clôture algébrique K de .K d'une 4 composantes de ce cycle; les autres s'en déduisent par + automorphismes ©, : æ@=5,(x°). On pourra alors prendre P,—=o,(P.), Qc=o(Q); si nous prenons T.ép. et T.eyp, pour a;<e, et No on aura T,ép., T,epsg (6<a). Alors R aura ses coefficients invariants par les automorphismes oc,, donc contenus dans une extension radicielle de K. Ainsi M et N seront définis sur une extension radicielle de K. Par conséquent, si X’ est rauonnel sur un corps infini K, on aura X—U,...U, ,;, les UÜ; étant des diviseurs radiciels sur K; ils seront rationnels si K est un corps parfait.

Nous allons maintenant donner quelques compléments sur les monoides (X,Q(X)—P(X)=—o) passant par la variété V' (ou le cycle X7).

Lemme. — Soit 6 un élément intégral et séparable sur E[u,, ...; u], les u; étant des variables indépendantes sur k. Si 3 Eu, +) est intégral suru el CL Ee) = PAG EE RRTEE P,(u) est le polynome minimal de v sur k(u), alors 3F'(+)ek[u, | (autrement dit F'() est un élément du conducteur de la fermeture intégrale de #[w; v]).

Les P;(u) sont des polynomes d’après le lemme de Gauss. Soient (v;) (o-<i.<d — 1) les conjugués de + sur Æ(u), et (si) ceux de 3. Posons

d—1 2 Fe) =Ÿ r;(u)vi, où rj(u)ek(u).

Prenant les conjugués il vient d—1 3; F'(v:i) DA r;(u)vi.

J=0 Le déterminant de ce système linéaire en (r;(u)) est le déter-

minant de Vandermonde D —=]](— c;). Le mineur S;; de sa en i< facteur [El (rx— +), l'autre facteur T;; étant intégral sur #[ |. RCLEAS A) La règle de Cramer donne

PAUSE Il (ee vn) } P'(#5).

F0 Kk<m, k£j, mAÆj ?

Or F'(+;) —=]](,— Ps); d’où SÆj Dr(u)=N?; 23; T;D et FUG)=S ET; j Î

est intégral sur #[u]. Doncr;(u)ek[u]etz:F'(v)ek[u, e].

Proposition 3. — S1 V' est une variété de degré d définie sur un

corps infint k, on peut écrire, (x) étant un point générique de V PÉTER AU RE) à

sur k, &j= 2 où P; et Q; sont des pol oTé.

RD Cape dre ‘et Q; s polynomes de degrés

TOR Le

inférieurs à d'et d — x respectivement, et où les (u;) appartiennent à k(x) et sont liés par une relation irréductible Eu yum) =0odedegred.

Nous prendrons pour (u;) des combinaisons linéaires des (æ;) à coefficients dans # telles que (S 1):

DU oi rar Lio es Lara) sOnt linéairement indépendants sur # b. La variété linéaire à l'infini L-! dans la direction WE .…. Ur [0]

ne rencontre pas V.

c. La projection de V à partir de L'” test d’indice 1. :d. (y, ..., u,) est une base séparante de #(æx) sur £, et w,,, est intégral sur Æ|u,, ..., u,|(ce qui veut dire que la projection W de V sur l’espace des Ü;, qui est une hypersurface, ne contient pas le point

à l'infini de OÙ,.,).

Le fait que F est de degré d est alors évident. Appliquonsle raisonnement du.théorème de Severi à la projection V de V sur l’espace OU Ur NX), NX jouant lcæôle de: Xe, 0) coli de Xi, Xe) Onsaalonsz;— nt mais +; est fini sur toute spécialisation (u)—(u') avec référence à Æ d’après b; il est donc intégral sur #[u]([ WF], prop. 22, Chap. IT), et par conséquent LiF5.,,(u) €k|u]d’aprèslelemme.On peut doncécrirex;— pue où Q; est un polynome de degré d — 1. Mais alors V=CUUME N) d’après le raisonnement du théorème de Severi; V est de degré d ainsi que le cylindre C; donc le diviseur M — N doit être de degré 1 d’après le théorème de Bezout. Or M est le monoïde d’équation X;,QUU)— PU)= 0, et N le cylindre Q;(U)—o; comme Q; est un polynome de degré d—1, ceci montre que le degré de P; est au plus égal à d.

Remarque. — Considérons maintenant un cycle positif X7 de degré d, et soit

e— > ny Va, les V, étant des variétés définies sur # et de points génériques +)

PRET re Ke 0F, sur #, satisfaisant à toutes les conditions a, b, cet d. Posons G(w)= ET (u); F7

. d'après la proposition 3 on a a{%Ge4[u], soit x{%G — P;(u). Posons d’autre

part ee à Égietie ha T,; T;(u) est nul sur toutes les Vg sauf V,, et l’on 2 œ se a T(u)=T,(u) sur V,. On aura donc z{%GT => PIOT,— S;(u) pour tout «. œ

Soit s, le degré de V,; on a D rasa— d. Le degré de G est DAC 1), celui

(4 œ de T, est D donc le degré de GT est D (sa— 1) + sx( D) Si so est , Ba le plus petit des 5, le degré de GT est égal à Ÿ(25a— 1) — 5. Le cas le pire œ est celui où 2,—1 pour tout æ, et où l’ensemble des à possède deux éléments (0, 1); alors le degré de GT est égal à 24 — 2 —5,; il est donc en tous cas au sé P;(u) Qu)

plus égal à 24 — 3. Et l’on peut écrire X{°) où P; et Q; sont des poly-

nounes de degrés au plus 24 — 2 et 24 — 3.