CHAPITRE V

INTERSECTIONS EXCÉDENTAIRES.

Soient U“ et V' deux variétés de dimensions w et de l’espace affine A" (ou projectif P*); on sait [ WF, [] que toute composante M de leur intersection est de dimension mm u+6—n; le nombre posiif e—m—(u++v—n) est appelé l'excès de la composante M; une composante d’excès nul (resp. = 0) est dite propre (resp. eæcédentaire). Nous allons indiquer une généralisation aux composantes excédentaires de la théorie de Weiïl-Chevalley relative aux composantes propres.

À. QUELQUES PROPRIÉTÉS DES DIMENSIONS. — Proposirion 1. — Sorent U et V deux variétés de dimensions r et s: il existe une variété À de dimension Sup (u, 6) +1 contenant U et V.

Supposons par exemple r.Zs; soit K un corps infini de définition

Re à cs

de U et de V. Considérons la famille des variétés linéaires L/—" parallèles à une Li" donnée, définie sur K et prise de telle sorte que les intersections de UÜ et V avec une L/" générique de la famille soient propres (th. 2, SA, Chap. IV}; soient (u) les seconds membres des équations d’une L"” générique; LU est un ensemble fini de points (P,) et de L. V est un ensemble fini de variétés ( Wi”"); soit Q, un point générique de W, sur K(u), etposons P,—(x;)et Q;=—(7;). Soit t une variable indépendante sur K(u, æ, y); la variété A ayant ({æ;+(1—1)y;) pour point générique sur K est de dimension Cs—+1; comme (æ) est un point générique de U sur K et (y) de V sur K ([ WF}, prop. 2, Chap. V), et comme (x) [resp. (y)] est une spécialisation de (tæ+(1—1)y)sur &— 1 (resp. to)avec référence à K, il s’ensuit que U et V sont contenues dans A. Si l’on suppose que UdV (sinon la proposition À est triviale), on a dim À —5s +1.

Supposons maintenant que U’ et V* contiennent une variété M”, et cherchons les variétés À contenant U et V et sur lesquelles M est simple. Considérons l’anneau des quotients Q(M) de M dans l’espace affine A"; c’est un anneau local régulier; soient «a et b les idéaux premiers de Q(M) correspondant à U et V, et soient a et b leurs idéaux directeurs dans l’anneau de formes F(n); rappelons que F(w)

s : O(M est isomorphe à l’anneau de polynomes x, MARS leltque

a et b sont des idéaux homogènes.

LEmME. — Une condition nécessaire et suffisante pour que M soit simple sur une variété W! d'idéal p dans Q(M) est que p sou l'idéal d’une variété linéaire. Tout idéal » de F(w) qui représente une variété linéatre est d’ailleurs idéal directeur d’un idéal premuer.

est un

Le fait que M est simple sur W équivaut au fait que SL

anneau local régulier, donc au fait que le polynome 9(7) est de la

p forme (1h. 7, Chap. If) on(i) = U ar 1. La fonction caractép

l— mm

ÊÉ— m—1

ristique de l’idéal directeur p est donc XU)= É Re Ne de il y a

donc m—+t formes linéaires linéairement indépendantes dans p; elles

engendrent un idéal premier p,, contenu dans p, et ayant même fonc- . RS . + TE 4 . ,

tion caractéristique ; donc p, — p et la première partie du lemme s’en

déduit. Pour la seconde partie nous pouvons supposer que p est

engendré par (X;,, ..., X, ,); soit a; un élément de ayant X; pour forme initiale, et soit g l’idéal de Q(M) engendré par (@, ..., ami); m—t

l'idéal directeur q de g contient évidemment p; soit b > c;a; un élé- A

ment quelconque de g; je dis que, si b&w', on peut prendre les c;

dans n°‘; ceci est en effet vrai si Mm—+t—1 car a, est superficiel par

rapport à m; procédons par récurrence et considérons l’anneau local

n—t ne

b=Ÿ cia;(mod(a)); c’est-à-dire b—Ÿ ca=ca; OA alors

régulier ; la classe de b est dans . et l’on peut écrire

C4, En, donc c, Ew° ‘. Si nous supposons que b&m*" et si nous

n—!l CRT LT

prenons les formes initiales nous voyons que LOI W(c;)w(a;) 1— A

car, dans un anneau local régulier, la forme initiale d’un produit est

égale au produit des formes initiales des facteurs; comme es

est un anneau local régulier, ceci prouve la seconde partie du lemme.

Remarque. — On peut déduire de ce lemme la proposition 9, page 705 de [LR].

Revenons maintenant à la question posée. Si p est l’idéal premier dans Q(M) de la variété cherchée A, on doit avoirpCa, pcb,etp doit représenter une variété linéaire L. Si B et B' sont les ensembles algébriques projectifs représentés par a et b, l'analyse du Chapitre I montre qu’ils sont de dimensions r = r— m— 1 et$ = $— m— 1 dans un espace projeclif de dimension 7 — m—1. Supposons maintenant que M soit simple sur U et V, donc que B et B' soient des variétés linéaires; si a +b—mn (nous verrons que ceci exprime que M est

de multiplicité 1 dans U.V), alors a+ b est l'idéal irrelevant et

Lie TR

B;B'—59. Un théorème classique d’Algèbre linéaire montre que p — «,b représente une variété linéaire L de dimension r+5s+ 71. Soit (ui, ..., Am) une base dep composée de formes linéaires linéairement indépendantes, et soient 4,€ « et b;eb de formes initiales égales

à 3 On à 4 —b;Ew’; comme w est engendré par la réunion d’une base (x) de a et d’une base (y) deb,ona

di bi=R;i(x) + Si(7) + T;(zy)

où R;et S; sont des formes quadratiques, et T; une forme bilinéaire à coefficients dans Q(M ); on a donc

a Ri(x) —(bi—Si(y))ew,

et par conséquent &i— Ri(æ) appartient à b. Nous prendrons donc pour idéal p l'idéal engendré par les (a; — R;(x)), lequel est contenu dans « et b. Ainsi :

Proposition 2. — Si M” est simple sur U" et V°, et si sa multiplicité dans U.V est égale à 1, il existe une variété À, de dimensionr+ s —m, contenant U et V et sur laquelle M est simple.

Remarques. — La proposition 2 n’est pas vraie si M n’est pas de multiplicité 1 dans Ü.V. Prenons pour M l’origine, pour U la courbe (X —#4, Y—#?, Z—1) Étpobr Ne acourbe (Xe, Y=r, 2). Soit PIX, Y, Z)—0o.une surface passant par U et V; écrivons

PP M EUX /V)Z CR FX: Y)7r:

l'équation F, (4, E)+...+F,(é, &)Z22—o à coefficients dans K(£) a pour racines & et &; son premier membre est donc divisible par (Z — #5) et (Z — 4), donc par leur produit Z2— (43+ 45)2 + #5; soit Go(é) + ZGi(#) +... l’autre facteur, les G; étant des polynomes; F,(£, &) est donc divisible par #1, et F,(X, Y) ne contient pas de termes de degrés o ou 1; on a d'autre part

F4, P)=45G(t)+ (+ 6)Gi(e) et F;, ne peut avoir de terme constant. Ainsi P(X, Y, Z) ne peut contenir que

des termes de degré >» 2, et la surface ne peut avoir O pour point simple.

Tuéorème 1. — Soit M une composante excédentaire d'excès e de U',V'; «existe deux cylindres US U et V'3 V de dimensions r + e, et

| ; . en s+ es, tels que ee, —e et que M soit composante propre de LAVE On peut prendre leurs directions génériques et indépendantes sur un corps de définition k commun à U, V et M.

En procédant par récurrence il nous suffira de trouver U’ de dimension r +1 tel que U/,V admette M pour composante; soit D une direction générique sur 4, de paramètres directeurs (w;) algébriquement indépendants sur #, et soit U’ le cylindre de dimension ner passant par U et de direction D. Soit M’ une composante de U',V contenant M. Supposons M’ M. Si M’ contient le cylindre de direction D passant par M, un point générique de l’espace se trouve sur V, et M — U est une composante propre de UV. Il existe donc un point

générique P de M' sur Æ(u) dont la projection Q sur U selon D n'appartient pas à M; soit Q —(p;), P—(x;)=(pi+tu;);onat<o sinon tout point de M’ serait dans U et M ne serait pas composante de U,V. Comme la parallèle à D passant par P n’est pas dans M', £est algébrique sur Æ(u, p), donc aussi (x). Comme la projection de M’ sur U contient M et en est distincte, la dimension de (p} sur #(u)est SD m+1. Soient r’ ets’ les dimensions algébriques de (p) et (x) sur 4; comme QEU et PEV,onar“rets'<5s. La dimension de k(o, u, t) sur k(æ) est Cr + 1 puisque Æ(p, u,t)—#(x)(p,t);ona donc +s +i=n+m+i, c'est-à-dire r+s = m<+n, contrairement au fait que M est une composante excédentaire.

Remarques. — 1. Le théorème 2 ($ 4, Chap. IV), montre que les couples de direction telles que e; + e, — e et que M ne soit pas composante de U’,V' forment un ensemble algébrique.

2. e, et €& peuvent être pris arbitrairement de façon que l’on ait e 0, EX 0 ete + ee —e.

2. MuLTIPLICITÉS DES COMPOSANTES EXCÉDENTAIRES. — Soient U” et V° deux variétés de l’espace affine A" (ou projectif P*), n et » leurs idéaux premiers associés. Rappelons qu'une composante M de U,V est une des variétés, en nombre fini, ayant pour idéal associé un des idéaux premiers minimaux, c’est-à-dire relatifs à des composantes isolées, de n + v.

Nous formerons, comme d’habitude, deux copies de A" et consi-

N'ee

dérerons leur produit A" >< A"; les variétés de ce produit correspondront aux idéaux premiers de OPEN NX | lideal DK XX: .:., X;,— X,,) est premier, et il lui correspond la diagonale À, variété linéaire de dimension n. Si U € A", nous noterons souvent Ü’ la copie de U dans le second facteur, et UA la sous-variété de À dont la projection sur le premier facteur est U; UA et U sont en correspondance birationnelle partout birégulière. Si u est l’idéal de U dans Q[X], nous noterons x l'idéal de U' dans Q[ X’]|; par abus de langage nous noterons encore u et les idéaux engendrés parunets dans Q[X, X’]; u est alors l'idéal du cylindre U % A’, x’ celui du cylindre A" >< U’. La variété produit U % V' a alors nu + v’ pour idéal premier; US a pour idéal u® = u + D qui contient u + u’. Considérons u+v + D; c'est aussi l'idéal nu + v + D; si n est un idéal premier minimal de uv, m\—m+ 1 est un idéal premier minimal de u+vu+D—u+v +1 et réciproquement. Donc les composantes de (U = V'),4 sont les variétés M3 où M est composante de UV.

Considérons l’anneau des quotients 0 — Q,,(M*) de Mi dans U >< V'. Soient x; et x, les fonctions induites par X; et X; sur U et V', et soit Æ l'idéal engendré par les (x; — x, )dans o ; comme m*

est un idéal premier minimal de u + v’+ 9, l'idéal #, quiestengendré nu +v + D ;

d 0 poserons donc la définition suivante :

dans 0, est primaire pour l'idéal maximal de 0. Nous

Dérinirion 1. — Nous appellerons multiplicité d’intersection de U et V en M et nous noterons (M; U.V) l'entier naturel e(X) multiplicité de l'idéal X engendré par les (x; — x, ) dans l'anneau local = Q;, (M).

Notons que (M; U.V) est égale à la multiplicité, dans l'anneau

QIX, X'] nt D Un 7 = relative à L ù + v’ u + v

Notons aussi que, comme dimo=r+s—m, on a n=r+s$s—m, doncm>r+s—n; dire que (æ;—x,) est un système de paramètre de o revient à dire que la composante M de UV est propre. Notons enfin que la définition 1 est symétrique en U et V.

de la composante primaire de NW — 0

Proposition 3. — S'il existe une variété A" telle que M soit simple sur Aetquem—r—+s—# (ce qui veut dire que M est composante

propre de U,V sur À), la multiplicité absolue (M; U.V) est égale à la multiplicité relative i,(M; U.V) définie en [1], (p. 67, déf. 3).

Soit en effet (X,, ..., X.,) un ensemble de variables uniformisantes sur A le long de M, et soient (X3) les autres variables; si F,

MS Er nn

parcourt une base de l’idéal de A dans Q[X |, la matrice (5e) a rang. : +de

n — w sur M; soient donc (F;)(1.<k.Zw) tels que < 0 sur M.

Puisque U X< V'EA %X À’, on a F{(x)=F;(z')— o sur MA. Mais,

par développement de Taylor, il vient

st 0F , , o—=F;(x) +YŸ Ce a) (æ) +Ÿ Dij(di — di) (x; — &j). à j

et Ainsi >; œ x) (a)eX": donc si 4 est l'idéal engendré par les A u (æ,— æ,) dans 9, on a # — q + X?; on en déduit Z=g+X(s+ €) = 13 +X et LC

par récurrence; ceci montre que *# — gq et notre assertion résulte du

- théorème 6 (Chap. IT).

Remarque. — Dans la démonstration du fait que *—q nous ne nous sommes pas servi du fail que 4 —r+5s—m. Si donc nous définissons 1,(M;U.V), M étant simple sur A, par la formule (M; ÜU.V)=e(g), nous voyons que z,(M; U.V)—7#(M; UV). En particulier si A est une variété linéaire, ceci montre que le symbole :(M; U.V) ne dépend pas de l’espace affine dans lequel U, V et M

sont considérées comme plongées.

THÉORÈME 2. — Soit k un corps de définition commun à U', V° et à une composante excédentaire M" de U.V et soit W°*° un cylindre de direcon (u) générique sur k, et passant par V ; alors M est une composante

de U;W, (th. l)e l'on a CMS UN) = 7 CMOURW

Soit e excès de M dans U. V, et soit W®+ un cylindre de direction

to BTE D° générique sur k et passant par V; comme W est un cylindre de

direction D" générique sur #(u) et passant par W,, il nous suffira :

de démontrer ë(M; U.V)—:{(M; U.W) et d'appliquer ce résultat W,,et W. Soit ee", UaiXi=O(a—=1,...,n—e) un système

d'équations de D, les (4) étant des variables indépendantes sur #, et soient (X3,, ..., X8,)tels que (Y,, X3) soit un système de n formes linéairement indépendantes sur le domaine universel. Soit »/ l’anneau des quotients Qu(M) et &, &, n, les fonctions induites sur W! par

1 / 1 . s' X;, X, Ys5 0 — Qi (M°) est un anneau quotient ,; de p/; 0’ est de

dimension n, et o est de dimension nr —e. D’après le scholie au théorème 5 (Chap. IE, $ 6) la multiplicité de l'idéal # dans 9 est égale à la multiplicité de l'idéal engendré par le système de paramètres (Ya— Ya). D'autre part :(M;U.W) est égale à la multiplicité de l'idéal de 0’ engendré par le système de paramètre (£ — x;), ou par le système équivalent (1,—Y:, £4—æ3). Par définition l'idéal w' de W‘ dans Q[X/] est engendré par Q[ Y,].v’. Nous noterons U,, NM Mrtle--prorectionside LP. vM sur les "etpaces/des variables Y, et Y,; comme les indices de projection de Ü, V et M sont égaux à 1,0na

(M; U.W)—z:(Mp; Up.Vr) d’après la formule de projection; ainsi AM UW) = e( Qurxve (MP ); Var VON de Jne— Yn-e) D’après les hypothèses l’anneau » est intégral et fini sur 07 Que (M8) et 0 et D» one corps des quotients (le corps des fonctions rationnelles sur U % V') et des corps résiduels e et isomorphes (en tant

qu’isomorphes aux corps des fonctions rationnelles sur MS et M).

Soit 0 DS 4,9»; on a ([LR |, prop. 3, p. 694) es 4,0»; donc les

Men de complétions 0 et o, ont même anneau total des quotients. Par consé-

-quent, si Lest un corps de base de 0», et si l’on pose

dv Lil = Ye. Yn-e— Yne]h on a

Feat hs

d'autre part, w et m, désignant les idéaux maximaux de 0 et 0»,

nt Ntp que l’on a (M; U.W)=z(M; U.V). CURE ND.

Remarque. — Nous aurions pu éviter toute la théorie algébrique développée aux Chapitres I et II en définissant géométriquement et de façon symétrique la multiplicité :(M; U.V), pour une composante M d’excès e, par la formule ë(M; U.V)—=2(Mp; Up. Vr) où Up, VP et M sont les projections de UÜ, V et M selon une direction D‘ générique sur un corps de définition commun à U, V et M. On démontrerait alors le théorème 2 au moyen de la formule de projection, et l’on déduirait la proposition 3 de [I|, (th. 6, p. 72), ou de [ WF}, (th. 2, Chap. VI). Les principaux résultats qui vont suivre dans ce Chapitre V seraient susceptibles d’un traitement analogue, à l'exception toutefois de la formule des variétés produits (th. #) et de l’invariance birationnelle (th. 6).

: Par applications répétées du théorème 2, on en déduit le corollaire suivant :

CoroLLatRe. — Sr M est une composante d’excès e de UV, st D“ et D“ sont deux directions génériques et indépendantes sur un corps de définition commun à U.V et M, de dimensions e, et e, telles que e + e-<e, et si Ü et V sont les cylindres de directions D“ et D‘: passant par U et V, M est une composante de UV et l'on a

Nous allons maintenant donner des critères de muluplicité 1. Nous reprenons les notations de la définition 1.

1° (M; U.V)=e(X)= 1 veut dire, a fortiori, que l'anneau 9 est de multiplicité 1; comme il est équidimensionnel, il est régulier

Eat

(Chap. IL, th. 7) et X est son idéal maximal. Ceci exprime que M4 est simple sur UK V' et que, mû est une composante primaire de RS DE LE

2° Nous passons maintenant de Q[ X, X’] et des anneaux dérivés de celui-ci, à Q[X] et aux anneaux dérivés correspondants; ceci veut dire que nous identifions X; et X;, ou encore que nous réduisons mod ; alors u + u, 0, mm. Nous voyons ainsi que mn est une composante primaire de nv, ou, ce qui revient au même, que uQ(M)+vQ(M) est l'idéal maximal de Q(M) (A). D'autre part on déduit par projection du fait que M3 est simple sur U % V’, que M est simple sur Ü et V (B). La condition « (A) et (B) » est évidemment suffisante pour que (M; U.V) soit égale à 1.

Remarque. — Contrairement au cas des composantes propres ({ 1], corollaire du théorème 2, p. 38) (A) n’entraine pas (B) dans le cas des composantes excédentaires. Considérons en effet dans l’espace à trois dimensions la cubique plane U(Z=0, +Y5— XY —o) et la droite V (X = Y — 0); l’origine M est composante d’excès 1 de U.V. L'idéal nQ (M) + » Q(M), qui contient X, Y et Z, est évidemment l'idéal maximal de Q(M); cependant M est un point double de U; on voit aisément que l’on a &(M; U.V)— 2.

Nous allons maintenant montrer un moyen permettant de ramener tout problème d’intersections à un problème dans lequel une des variétés est linéaire. Si L® est une variété linéaire d’équations (FX)=0)(j=1,2,...,s), les F; étant des polynomes du premier degré, et si M” est une composante de U”,L d’excès

e=m—(r+n—s—n)—=m—(r—Ss),

M est une composante propre de Lides où L est une variété linéaire générique de dimension 7—s$+e—n—r—+Im passant par L, et l’on a

i(M; U.L)—i(M;U.D) (th. 2).

Or un système d'équations de L est > FCO) où jh 1<a.<r—m, et où les (c) sont des variables indépendantes sur un

7-00 corps de définition commun à U, L et M. D’après [I], (prop. 4, p-39),ona | i(M; UD )—e(Qu(M); Yi ++, Jr-m) où ya est la fonction induite par Ÿ, sur U. Mais si q est l’idéal de

Qu(M) engendré par les (F;(æ)), on a e(g)=iM; LES FA [scholie au théorème 5, 8 6, Chap. IT)]. En particulier on a

L(MÈ: (UV) A) = e (One (MA) 7 = a 2 Vare Ye) 10M UM): Donc :

Proposrrion 4. — Sr: M est une composante de U,Vona

i(M; U.V)—:(MA; (U x V/).A).

St M est une composante de U,L, où L est une variété linéaire d'équatons (F;(X)— 0), on a, st q est l'idéal engendré par les F;(x) dans QuUM) (x: étant la fonction induite par X; sur U) (M; U.L)=e(a).

Voici enfin un résultat permettant de se ramener à une intersection ponctuelle (cf. [ WF], th. 4, Chap. V). Nous considérerons une composante M'' de l’intersection de U' avec une variété linéaire L'; soit e—m—(r+s—n) l’excès de M. On sait que M est définie sur une extension algébrique d’un corps de définition commun K à L et U; si D° est une direction de dimension e générique sur K et si L‘+ est la variété linéaire passant par L et parallèle à D, on a (corollaire du théorème 2) :

MU DA CMeU.L Soit K(u un corps de définition de L. Soit maintenant 5” un ensemble de m équations linéaires, générique sur K(u), et définissant une variété Hnéaire W'=*. D'après | WF], (th. 4, Chap. V), tout point P de W;M est un point générique de M sur K(u), et est un point d’intersection propre de Uetdel,.W;ona CM USL) = 70H UE) CAM)

Mais, comme PEM, on a PEL; donc L,W n’est pas vide, et P est

Fe nee

y une composante excédentaire de (L, WU; on voit aussitôt que son excès este. La projection, suivant une parallèle à L, de D sur W est une direction D, de dimension e; comme D est générique sur K et W sur K(u), la direction D‘ est générique sur un corps de définition commun à U et L,W. D'autre part L,W est le cylindre de direction D, passant par L,W ; on a donc, d’après le corollaire du théorème 2,

BAUME W))=TCP CCE W))

On en déduit le résultat suivant :

PRopPosiTion 5. — Soit M" une composante excédentatre d’excès e de U',L", où L est linéatre, et soit W'=" une variété linéaire générique sur un corps de définition K de L, U et M; tout point P de W M est un point générique de M sur K, et un point d’intersection d’excès e de UKL,W ), et l’on a

i(M; U.L)—i(P; U.(LhW)).

3. MULTIPLICITÉ D'UNE SOUS-VARIÉTÉ SUR UNE VARIÉTÉ. — DÉFINITION . — Soit U une sous-variété d’une variété V. Nous appellerons multiplicité de U sur V, et nous noterons m(U; V) la muluplicité de l'anneau des

quotients Q,(U) de U dans V.

Comme Q,(U) est un anneau équidimensionnel, dire que

revient à dire GA Chap aPrque.Q (QU) -estiun dnneut local régulier, c’est-à-dire que U est simple sur V.

Tréorème 3. — Si U'est une sous-variété de V*, la multiplicité m(U; V) de U sur V est égale à la multiplicité d’intersection