AU UN) = CU: DV

Ü étant un cylindre générique passant par U.

Comme U est simple sur Ü, [I], prop. 4, p. 35 s’applique, et

l’on à va DEN) = QU UND) = OU); Gr... CT.)

Lu SD

où les (G*) sont les fonctions induites sur V par des polynomes (Gi)

qui forment un système régulier de paramètres de Q(Ü) et qui peuvent être inclus dans un système de paramètres de Q(U). Ceci nous montre d’abord que, quelle que soit la variété W-7 contenant U comme sous-variété simple et telle que U soit composante de W,V,ona ee

CU: W.V)= m(Qv(U)) = m(U; V).

Soit (reg uux0, «Zacne=s) un système d'équations de D; nous reprenons les notations du théorème 2, c’est-à-dire que nous prenons les Ÿ, et les X$ pour nouvelles variables. Nous allons étudier l’anneau local 3 — Q(U }; si p est l’idéal premier de 3 correspondant à Ü,on a Q(Ù) — 3,. Comme nous pouvons supposer UZ£ V ebtrÆS [SU —=V;lethéoreme estival (ui V)etr QU TN) étant égaux à 1], U est projeté sur l’espace des coordonnées Y, avec indice de projection égal à 1 (Chap. IV, $ 4, c). D’après [I] (prop. 1, p.60), la complétion 3 de 3 contient un corps isomorphe au corps Q, des fonctions rationnelles sur U, auquel nous Pidentifierons ; si æ8 et y, sont les fonctions induites par X8$ et Y, sur U, ona

ts EQ,, — Q(7y), et 3 est isomorphe à l'anneau de séries formelles (Ya Mrs. DIR PPS CET RACE Va, Ho Ke X3,) NE NÉS æp,.]].

Mais Q(Ü)) est l’anneau des quotients de 3 par l'idéal p engendré par les polynomes de 3 — Q(U) qui ne dépendent que des (Y,). Or on peut identifier: (7,725) ue 0) les (Var) Sont algébriques sur Q(y,, ..., y); donc les éléments (HA Re trouvent dans l’idéal 3p engendré par p dans 3; commeils engendrent un idéal premier de dimension 7 —s, et que p est de dimension r—s également, l'idéal 3p est engendré par les CRE DR Passons

: : à . 3 maintenant à l’anneau Q,(U), qui est un anneau quotient a de 3; sa

complétion est un anneau quotient de 3, dont l'idéal maximal est engendré par les classes des X;—x;; un système de paramètres

de Q,(U) ayant même multiplicité que cet anneau sera formé [scholie

’ au théorème 5, ($ 6, Chap. Il)] de r—s combinaisons linéaires génériques des classes des (X;—x;); ceci sera réalisé par les

CNE me). Donc m(U; V) est égal à la muluplicité de l'idéal p+3 ee ; à 6 à = dans Q,(Ü); d après la première partie du raisonnement cet

idéal est celui engendré par les (G*), ce qui démontre le théorème 3.

Remarques. — 1. Dans le cas où U est un point P (a;), il n’est pas besoin de passer aux complétions : l’idéal maximal m de Qy(P) est engendré par les (si &) où Ë,; est la fonction induite par X; sar V'; alors s combinaisons linéaires des (3), par exemple celles provenant des Y,, engendrent un idéal‘ de même multiplicité que n; mais e(q) est la multiplicité d'intersection de V' avec la variété linéaire parallèle à D passant par P, ce qui montre que m(P; V)=i(P; P.V) (prop. #). Dans le cas où V est une hypersurface ce résultat a déjà été obtenu au Chapitre II ($ 1).

2. En reprenant les notations de la définition {, on a ici » Cu; donc l'idéal u + »/+ D est identique à u + + D, c’est-à-dire à u4. Nous voyons donc que les multiplicités des anneaux locaux Qy(U) et Qui, (UA) sont égales.

Proposirion 6. — La muluplicité de U" sur N'est égale à la muluplicité sur V d’un point P de U générique sur un corps de définition commun K à U et V.

Considérons toujours une direction D’ générique sur K(P) et le cylindre Ü de direction D et passant par U; soit L la parallèle à D passant par P. Puisque P est générique sur K(w), les (u) désignant les coefficients d’un système d'équations de D, U est la seule composante de Ü,V à contenir P. Soit M"-” une variété linéaire générique sur K(u, P) passant par L; les composantes de M,Ù sont alors des cylindres parallèles à D ; comme M est générique sur K(w, P), elles sont propres, et sont donc de dimension 7 —s; ce sont donc des variétés linéaires parallèles à D, et la seule composante de M, Ù à contenir P est L. Appliquons maintenant le principe local d’associativité des intersections aux composantes contenant P et aux variétés

Ù, V et M; il vient CU; Ü.V)i(P; UM)—:L:D.M):(P; ISA E

Or iP ; M.U) est égal à 1, puisque M est transversal à U en P; de

Te

même #(L; U.M) est égal à 1, puisque M est transversal à Ü en L. On a donc

iÇU; DEVIENCP ENS

c'est-à-dire MU; V)=m(P; V) d’après le théorème 3.

Remarque. — Si P est un point quelconque de U, i(L; Ü.M) est égal à m(P;U) d’après les théorèmes 2 et 3 et la formule des projections; £(P; U.M) est aussi égal à la multiplicité de P sur U. Mais UÜ n'est pas nécessairement la. seule composante de UV à contenir P; on a donc, si les W}; sont les autres : composantes de U.V qui contiennent P,

RP AU) re CRNS = (Re Om QUE V)+ di CW;: Ü.V)i(P; W,.M). /!

Ceci montre que m(P; V)>= m(U; V)et qu'il y a égalité lorsque P ne se trouve

sur aucune autre composante de U,V que U.

Nous allons maintenant nous intéresser aux points muluples d’une variété V de dimension +. Soit P un point de V et £ un corps de définition de V contenant les coordonnées de P; soit D une droite passant par P,(u;) ses paramètres directeurs; posons K — #(u). Soit L une direction générique sur K de dimension »n—(e+1), d’équa-

tions (x s— ZeuXr= O0 MES LP ‘D V est alors projeté génériquement Are la direction L sur l’espace des Y, ; soit V, sa projection; l'indice de projection de V est égal à 1 (Chap. IV, SA). Comme P a ses coordonnées dans K, et que L ne rencontre pas V à l'infini, P est le seul point de V ayant pour projection la projection P, de P. Soit enfin N°" la variété linéaire projetant D selon la direction L, et soit D, la projection de D (L ne contient pas la direction D). Comme N est un cylindre passant par D et générique sur K, on a (th. 2) i(P; D.V)=:(P; N.V); d'autre part, d’après la ae de pro-

jection, On a i(P; NV) UP. Diva

Soit e la multiplicité de P sur V; si D est générique sur #, on a (th. 3) e—1(P; N.V); ceci montre que la multiplicité de P, sur

MO

l’hypersurface V, est égale à e. Si D a avec V une multiplicité d’intersection >e en P, il en est de même de D, avec V, en P,; comme V, est une hypersurface dans l’espace des (Y,), la considération de son équation F(Y )— 0 montre immédiatement que D, doit alors se trouver sur un hypercône H, de sommet P,, non nécessairement irréductible, et purement +-dimensionnel; si l’on amène P à l’origine, une équation de H, s'obtient en annulant la forme de plus bas degré de F(Y). Si nous appelons tangentes à V en P les droites D ayant en P une multiplicité d'intersection avec V strictement supérieure àe, nous voyons donc que l’ensemble H des tangentes à V en P se projette en H, suivant L; soit H; le cylindre de direction L passant par H,; on a donc, si o parcourt l’ensemble des #-automorphismes du

domaine universel, H€ NE Si réciproquement DE (NE un au moins L, des L, est Ecbenie sur Æ(D), et l’on a CRD ND CPE DANSE, ce qui veut dire que D est une tangente à V en P ; ainsi H = @\ He ”

H est donc un cône algébrique, non nécessairement irréductible;

d’après le théorème de la base finie on peut écrire H — f\ EH; ainsi H FA

est définissable sur la côliure algébrique de Æ(L;, ..., L,); appliquant

les automorphismes o nous voyons que H est algébrique sur #.

Comme toutes les projections génériques de H sont de dimension r,

et qu’un cycle est déterminé par la donnée de sa projection générique

(Chap. IV,$ 5), H est purement e-dimensionnel. Donc :

Prorosrrion 7. — L'ensemble des tangentes en un point P d’une vartété V° est un ensemble algébrique purement v-dimensionnel, qu’on appelle le cône des tangentes à V en P.

Remarques. — 1. Nous appellerons variété linéaire tangente à V en P toute variété linéaire L contenant une tangente à V en P. Le théorème 2 montre que, si P est composante de L,V, les variétés linéaires tangentes L sont caractérisées par la relation &(P; V.L)>e.

2. On peut considérer H; comme un cycle; c’est alors la projection générique

d'un cycle positif de support H.

gg 3. Supposons pour simplifier que P soit à l’origine des coordonnées; soit æ; la

à ni fonction induite par X; sur V; et soit m l'idéal maximal de o = Qy(P); est un

x : : LAS corps isomorphe au domaine universel. Nous appellérons le module l’espace

tangent de Zariski à V en P; c’est un espace vectoriel sur {2 de.dimension d telle que p<d Zn. Si U est une sous-variété de V contenant P, son espace tangent en P est un quotient de celui de V en P. L'espace tangent de Zariski est le

quotient de l’espace des formes linéaires Dax par le sous-espace des formes > diX; telles que > d;x;en; si T est la variété linéaire définie par les d i s e ; : se 3 ; équations dax o, les d; étant tels que D die, 2T est isomorphe à T. Soit (w) une direction D n’appartenant pas à T; un système d'équations de D est(X;u —X;u;—0,2<j<n); soit q l'idéal de s engendré par les (x; — æu;); puisque D n'appartient pas à T il existe des (d;) non tous nuls tels que

d'dxew -et DETETE î

è alors l'élément > di(Xius — Lai) = 7» d;x; — Ad diu; appartient à 9; i è i À

comme > diu;/0, on a x, Eq+ n°, et de même x;€ j + n°? pour tout 1 PEN.

On à ainsi m — ÿ + m°? et, par un raisonnement maintenant classique, 4 —m. Les droites qui n’appartiennent pas à l’espace tangent de Zariski sont donc « celles dont les équations engendrent l'idéal w ». En particulier toute tangente à V en P, engendrant un idéal ÿ tel que e(gj) <e(w), appartient à l'espace tangent T de Zariski. Mais l'exemple du point de rebroussement de la cubique plane (Y?— X°—0), où T est le plan tout entier, montre que T peut être strictement plus grand que l’espace vectoriel engendré par le cône des tangentes à Ven P.

Nous allons maintenant voir comment les tangentes à V en P peuvent, en un certain sens, être considérées comme des mites de sécantes. Soit P (a) un point de V'; par une sécante à V menée par P nous entendrons l’ensemble (u, y) d’une direction D (u) et d’un point Q (y) de V distinct de P tels qu’il existe z tel que

Vi di + tu (rte n).