RON

Remarquons ([1], p. 41, haut) que Qu4(M>X<M') est un produit kroneckérien de Q;(M) et de Q;(M') et que l’idéal b déterminé par VX V' dans Qi (M>x<M') est engendré par les idéaux 4 et 4 déterminés par V etV' dans Q;(M)et Q;(M'); en. tenant compte de la proposilion 4 nous nous ramenons au cas où V et V''sont des variétés linéaires. Appliquant alors le théorème 12 (Chap. Il), nous obtenons le résultat suivant.

Taéorème 4. — Si M er M' sont des composantes excédentaires de U,V Che ENE on a

i(M x M’: (U X U').(V x V'))= (M; U.V)i(M'; UV’).

CoroLLaIRE À. — Sr U et U' sont des sous-vartétés de NV et V',on a

MU U NEO EE mOCENPrrACUrNS

CoroLLaIRE 2. — Si M est une composante de UV, on a

En effet, le second membre est égal à la multiplicité de M<M' sur UXV'; d'autre part (M;U. V) est la multiplicité d’un idéal primaire

de Qu (MS), donc M; U.V)= m(MS; U%< V'); comme M est une sous-variété de M>X< M, on a m(MSU XX V')y>m(MXM'; UxV'). (remarque à la proposition 6).

Taéorème 5 (formule de projection). — Soit U une variété de l’espace produit A">< A", se projetant en U, sur A" avec indice de projection fint [U:U,]; soient V une variété de A" et M une composante excédentaire de V.U,. Si U ne contient pas la variété à l'infini de M>x< A" etsiM,, ..., M, sont les composantes de U,(V>< A") se proje- ‘tantenM,ona

[U:U;,]i(M; U,.V) =YŸ [M;:Mji(M;; U.(V x Aw)).

T1 Faisons passer par V >< A" un cylindre générique W de dimension

dim(V>x<A")+ e, e étant l'excès de M dans VU, qui est évidemment aussi celui de M; dans U,(V ><A"); comme V ><A" est déjà un

cylindre parallèle à A", la direction de W pourra être engendrée pare directions de droites génériques, indépendantes et contenues dans A". Si donc V est un cylindre de A" de direction générique, de dimension dim V +e, et passant par V, on a W— V >< A". Les composantes de WU qui se projettent en M sont évidemment les M,. La formule de projecuon relative aux composantes propres ([1], th. 8, p. 77 ou

[WE], th. 8, Chap. VID s'écrit alors

[U:U: p0M; U.V)=Ÿ [MM TiCM;; (Ÿ x A").U).

TE Il suffit d'appliquer le théorème 2 pour obtenir le résultat annoncé.

Remarques. — 1. La restriction relative aux composantes à l'infini peut être levée en se plaçant dans un produit d'espaces projectifs, et en changeant de coordonnées dans le second facteur.

2. Il aurait été possible de faire passer un cylindre générique Ü par U au lieu de V. La démonstration, plus compliquée, se serait déroulée comme suit. Si Ü, est la projection de ÜÙ sur A’, on montre d’abord, par récurrence sur dim Ü — dimU, que les indices de projection [ U:U,] et | Ü:Ü, | sont égaux, ceci par des considérations de disjonction linéaire. On montre ensuite que les M; sont les seules composantes de UA(V x A”) se projetant sur M, ceci au moyen de [ WF} (prop. 13, Chap. VII), du théorème 2 et du corollaire 1 au théorème 4. Et l’on applique enfin la formule de projection relative aux composantes propres. On constate qu’ainsi on laisse échapper le cas où V € U;, qui n’était pas exclu par la démonstration précédente.

Tuéorèue 6. — Sr M est une composante de UV et st U et V sont contenues dans une variété À, en correspondance birationnelle et birégulrière le long de M avec une variété A', on a, U', V' et M' désignant les sous-vartétés de À! correspondant régulièrement à U, Ve M,

LOMSURV ET CMEUTENE)

L’entier :(M; U.V) est la multiplicité de l'idéal X engendré par les (æ;— y;) dans Quw(MS), les (x) étant les fonctions induites par les coordonnées (X) sur U, et les (y) les fonctions induites par les coordonnées (Y}) sur V (nous prenons ici U XV dans l’espace des variables X; et Y;); soient (£) et (n) les fonctions induites par (X)

et(Y }sur À et sur sa copie dans le second facteur; æ; et y; sont les classes de É;et de n; dans Q4., (MS) considéré comme anneau quotient de QRA(MS). Nous définirons de même (£’), (n!'), (x') et (7) pour A’. Comme M et M'se correspondent régulièrement sur À.et À’; il en est de même pour M3 et M’ sur A<A et AA; en: effet, fe correspondances MM, MM, M’ M'* sont régulières. Les anneaux de quotients Q,.A(M®) et Qu (M) sont donc identiques ([WE], th. 17, Chap. IV), et évidemment aussi Quy(M3) et Qu (M'). Par définition on a Ë —R;(£) et n, —R;(n), où les R; sont des fractions rationnelles dont les dénominateurs ne s’annulent pas sur M; on peut donc écrire &, —R;(x) et y; —R;(y); ainsi

: : PAU PB NET) é T, —Y; — R;(æ)—R;(7) peut s’écrire > DE DOS où D est

est un polynome non nul sur M et P;un polynome; ceci veut dire que les (x; — y; ) appartiennent à X. En échangeant les rôles nous voyons que les (æ;— y;) et les (æ, — y;) engendrent le même idéal # dans Quart MS)— Que (M4). c. OF. D.

Si nous nous souvenons que la multiplicité d’une sous-variété U d'une variété V est la multiplicité de Q,(U), et qu’une correspondance birégulière conserve les anneaux de quotients, nous obtenons le résultat suivant :

Prorosirion 9. — Sr U est une sous-vartiété de V, et si V est, avec V!, en correspondance birégulière le long de U, on a, U' désignant la sous-

variété de V' correspondant à U, mQU; V)—m(U'; V').

9. ASSOCIATIVITÉ DES COMPOSANTES EXCÉDENTAIRES. — Soient U“, V'et W® trois variétés, et M” une composante de U,V,W d’excès e—m—(u+v+w)+an. Nous supposerons qu’une condition d’homogénéité est satisfaite, c’est-à-dire que les composantes A,, ..., À, de UÜ,,V contenant M ont toutes même dimension a, et donc même ExCÈS au Een) etrquetles composantes BMP, de V,W contenant M ont toutes même dimension b et donc même excès g—b —(v+w—n); alors M est composante d’excès f—e— f de A;. W, et composante d’excès 8 — e — g de U.B,. Soit # un corps de définition commun à U, V, W, M, (A;)et (B;). Nous allons faire

passer par U, V, W des cylindres Ü, V, W de directions génériques sur #, et de dimensions u+ x, 6+ y, w +3, en nous efforçant de trouver æ, y et 3 tels que A; soit composante propre de Ü,V, B,

de V,W, M de A; W et de U,B;; ceci s'exprime par les conditions GHY=f 2=/f,y+3=8,x=8g) Onentire(æ—g,3—/f'et Y=8g—/f —=f—Z3!),cequiestcompatible, carona f + f—2+8"—e; d’où y = f+g—e. Mais, afin que notre construction ait une réalité géométrique, il faut que y = f + g — e soit positif.

Nous verrons plus loin un exemple dans lequel le calcul donne y <o,etoù le principe d’associativité des intersections n’est pas vrai.

Nous supposerons donc f + g—e=o (un cas particulier important sera indiqué plus loin). Nous exclurons également les cas où l’un des nombres u+ x, 6+ y, w + 3 serait égal à x (dans un tel cas, Ü par exemple remplirait tout l’espace, et l’on aurait VGU). Nous allons considérer comment M intervient dans les cycles AAA et (Ü.V).W:; les composantes de Ü,V contenant M sont toutes propres et de dimensions a; parmi elles figurent les (A;); nous supposerons que ce sont les seules. De même pour les (B;). Le principe local d’associativité pour les composantes propres ([1], th. 4,

p-69)ou([ WF, th. 5, Chap. VI) donne alors

DUGU Ü.V)i(M; NAUDEDONQUE Ü.B;)i(B;; V.W).

D’après notre théorème 2 et en vertu du choix de x, y et 3, ceci s'écrit

D'iCA;; U.V}i(M; A W)=Ÿ i(M; U.Bj)i(B;; V.W); i Î

nous pouvons donc énoncer le résultat suivant :

Proposrrion 10. — Sorent M une composante d’excès e de UV, W, À; les composantes de UV contenant M, B; les composantes de VW contenant M ; nous supposons :

a. Les À; ont toutes méme dimension et donc même excès j; les B; ont toutes méme dimension et donc même excès 8 ;

b. Onaf+g>e.

ce. SÙ ; so W sont des cylindres génériques et indépendants sur un corps de définition commun à U, V, W, M, À; B;, passant par U", V”, Ww et de dimensions ue—g,v+f+g—e, w+e—f, les composantes de Ü ,V contenant M sont les AÀ;, celles de VW contenant M

sont les B;.

d. On a u+e—g<n, p+f+g—e<n, wm+e—f<n.

On a alors ;

Di U.V)i(M; Ai W)=Ÿ i(M; U.B;)ë(B;; V.W).

Nous voyons donc que, pour les composantes excédentaires, le principe d’associativité des intersections n’est applicable que sous des conditions très restrictives. Des contre-exemples variés seront donnés plus loin.

Remarques. — 1. Si M est simple sur V, À; et B; le sont aussi. On a donc MmSa+b—p=u+v+w—aon+/f+g; ainsi e.f+ g; si la condition c est vérifiée, on a donc f+—g—e et V — V.

2. Si U, V et W sont plongées dans une variété Q® et que toutes les variétés envisagées ont sur {2 la « bonne dimension », c'est-à-dire que, dans l’espace, elles ont le même excès 7 — w, on a e=2(n—0), f—=n—0, g—=nRr—%"%;

ainsi c est vérifiée; on a V—V,etæ—=5—n—0«.

3. Supposons que u+e—g—n, c’est-à-dire que Ù remplisse tout l’espace, et donc que VCU; M est alors composante de V, W et l’on a A;— V, B;—M. Les deux membres de la formule d’associativité sont donc m(V; U):(M; V.W) et m(M; U)i(M; V.W), et peuvent être différents si m(V; U) << m(M; U). De même si w +e— f—n. Si V remplit tout l’espace, ceci veut dire que UCV et WCV;on a alors A; —U et B;— W; les deux membres de la formule d'’associativité sont m(U; V)i(M; U.W) et m(W; V):(M; U.W) qui peuvent être “différents.

k. Si nous passons au produit de trois copies de l’espace A? et à sa diagonale A, et si (cf. [1], p. 45, haut) nous définissons #(M; U.V.W) comme étant la mul-

/ tiplicité de l'idéal # de Quyew (MA) engendré par les éléments (x;— x! ,x;—x;), on montre, comme dans notre théorème 9, que l’on a

Si seules les conditions a, b et d sont vérifiées, le fait qu'il peut y avoir d’autres

composantes de Ü, V et de VW contenant M que les A, et B;, et la démonstration de [[] (th. 6, p. 45) montrent que l’on a

d'é(Ai; U.V)i(M; A; W)=i(M; U.V.W)

dEM; U.B;)i(B;; V.W)Zi(M; U.V.W).

Voici maintenant quelques contre-exemples :

1° Cas où le calcul impose y 0. — Prenons dans A° un cylindre quadratique Ü, un plan tangent V à U selon une génératrice A, et une normale W à U en un point M de A. On a

EE, ro 2 — 0, LD, Zi TS VS:

car M est simple sur U.

Un autre exemple est le suivant : U est une droite de A°, À un cercle tangent à U en M, W une droite passant par M et non contenue dans le plan de Uet V. On a

C0, TR £ UV=2M, (UV). W=2oM: VW=M U{V.W)=M.

> Cas où il y a d'autres composantes de Ü ,V (ou VW) que les À, (ou B;). — Soient U un plan de A°, V un cône quadratique de sommet MEU et W une génératrice de V non contenue dans U.

On a

CT, Et0; PEAR Li 0, V0! Rire ainsi Ü —U, V — V et W est un plan générique passant par W. Les composantes de V, W contenant M sont ici W et une autre généra-

trice B; soient A, et A, les génératrices de V contenues dans U. On a

DV AE A, (UV) W=3M: 2 VWM=W. Der UN) M

Un autre exemple, où cependant M est simple sur V, est le suivant: nous construisons dans A un cercle U,, une droite V, le rencontrant en À, et non contenue dans le plan de U,, et une droite W, rencontrant V, en B, et rencontrant U, en un autre point; nous prenons un point M de A’ non contenu dans A°, et nous construisons les cônes U, V, W, A et B projetant U,, V,, W,, A, et B, de M; U est un cône quadratique de dimension 2, V et W des plans, A et B des droites. Ondes; /=re Tr \donc 21,702" W est un hyper-

plan générique contenant W, Ü un hypercylindre générique conte-

nant U et ayant pour base dans A° un cylindre générique Ü, contenant U,. Ici U, recoupe V, en un point A <A,; donc les composantes de Caen sont À et la projetante A’ de A. On a

U.V=A, (UV) W=M: V.W=B, U.(V.W)=U.B—2M,

car M est point double de U. Dans ce dernier exemple U, V et W sont portées par un hypercône Q projetant de M une quadrique de A*° non singulière contenant U,, V, et W,; et sur (° toutes les intersections considérées ont la « bonne dimension », c’est-à-dire qu’elles sont toutes d’excès 1 — 4 — 3 — n — « dans l’espace A*.

Pour terminer ce Chapitre donnons des traductions de la formule de projection (th. 5) et de la formule des variétés produits (th. 4) dans le langage des cycles. Un-cycle sera pour nous une combinaison linéaire formelle à coefficients entiers de variétés non nécessairement

de la même dimension : D n,V.. Etant donné deux variétés U

et V, nous poserons U.V (Nb U.V)M,, la sommation étant LA

étendue à toutes les composantes M, de U, V, quelles que soient leurs dimensions; on définit le produit d’intersection X.Y de deux cycles X et Ÿ par linéarité. La formule des variétés produits s’écrit alors

Si U est une variété de A*>x< A" d’indice de projection fini sur A", nous poserons pr. U ={[U:U,J}U, et nous étendrons cette définition par linéarité aux cycles; la formule de projection s'écrit alors, si l’on tient compte des éléments à l'infini,

MODES DE NE OV CAN) La formule d’associativité (prop. 10) se traduit par EL) (XYZ,

mais avec des conditions de validité très restrictives.

Nous avons donc, dans ce Chapitre, étudié la généralisation aux composantes excédentaires des propriétés des composantes propres. Nous avons vu que, des quatre premières propriétés de celles-ci, trois se généralisent : celle des variétés produits, celle des projections, et celle d’invariance birationelle ; par contre, la propriété d’associativité ne se généralise pas. Quant à la dernière propriété fondamentale des composantes propres, celle de spécialisation des cycles (prop. 2, Chap. IV), qui généralise le principe de conservation du nombre, l'exemple de deux droites non sécantes de A° que l’on spécialise en deux droites sécantes, — ou celui d’une droite D et d’un cercle de A, se coupant en un seul point, où D est spécialisée en une droite du plan du cercle, — montrent que toute tentative de généralisation est vouée à l'échec.