INTERSECTIONS SINGULIÈRES

Nous nous intéresserons, dans ce Chapitre, aux variétés et cycles portées par une variété (° (la « variété ambiante »), elle-même plongée dans l’espace affine A” (ou projectif P"); soient U“et V'portées par Q, et soit M” une composante de U , V ; le nombree,— m —(u+e—v) est appelé l'excès relatif de M dans UV; on a e—e—(n—%w), e étant l’excès absolu de M; rappelons que e, peut être négatif, mais que, si M est simple sur Q, on a e,==o. Les composantes propres, auxquelles s'applique la théorie de Weïl-Chevalley, sont celles qui

sont simples et d’excès relatif nul sur Q. Nous nous intéresserons 1c1 aux composantes d’excès relatif nul, qu’elles soient simples ou singulières sur Q.

A. DéFiNITION ET PROPRIÉTÉS LOCALES DU PRODUIT D'INTERSECTION. — Soient X et Y deux cycles de Q; supposons qu’au voisinage d’une sousvariété À de Q (en général contenue dans X et Y)X et Ÿ soient des intersections complètes : X— X,.Q, Y — Y,.Q modulo des cycles ne contenant pas À. Par définition nous poserons localement, c’està-dire modulo un cycle ne contenant pas A, X.Y — X,.Q.Y,. Cette définition ne dépend pas de X,et de Y,:siX=X,.Q et Y — Y,.0,

on a NADINE NE — NPA ONE EN CUT

en vertu du principe local d’associativité appliqué en A. Dans le cas où À est simple sur Q, X et Y sont localement des intersections complètes, et | [](th.6, p.72) montre que notre définition généralise à certaines composantes singulières la définition de C. Chevalley relative aux composantes simples.

Lorsque des multiples entiers a, X et b, Y de X et Y sont, en A, des intersections complètes (a, X = X,.0Q, b, Y — Y,.Q), nous poserons par définition a,b,X.Y —X,.Q.Y, (localement). Ceci nous amène à introduire des multiplicités d’intersection fractionnaires et des cycles à coefficients rationnels. Cette définition ne dépend pas des mulüupies: a, X. et, bi Vchorsis : sai XX Dre Ne 0 oneen déduit

MINS ONE et DNS RO; d’où par associativité CARD OCROEIC TS CR.

Si M est une composante de X.Y nous noterons #9(M; X.Y)} son ‘coefficient dans X.Y.

Soient X, Ÿ et Z trois cycles qui soient intersections complètes enAL XX, .-0Ne=V,. 027.0 X Ye et, eétantdes cycles

à coefficients rationnels. On a, localement,

(OCR 6 AAC CRU PET ETS EE tv = X,.0,(Y:.2Z:) = X (7),

en vertu du principe d’associativité local appliqué dans l’espace affine. Ceci montre que nos cycles intersections relatives satisfont au principe d’associativité, local et global.

Soient X et Y deux cycles de Q, intersections complètes en A CORAN 0 Ye et et Vl'deus cycles de (/ intersections complètes en A'(X'—Q'.X', Y'—Q!.Y!). On a alors, en À * À’,

XX OX Xi et Ye V—(R QU (Yi Ve,

d’après la formule des variétés produits appliquée dans l’espace affine. On à donc