EST

tatif À sera noté A[[X;,, ..., X,]] et son corps des quotients KCX SX) détdègre.-de la forme de oi bas degré d’une série formelle PF. . appelé l’ordre de F.

Le mot corps signifiera ici « corps HobRres »; l’eæposant caractéristique d’un corps K de caractéristique p est, par définition, l’entier p si p>o, l’entier 1 $i p—o. Les nn d'une extension E d’un corps K d’exposant caractéristique p qui satisfont à des équations de la forme X”/— a— o(aekK) sont dits radiciels sur K. Un corps qui n’a d’autre extension algébrique que lui-même sera dit algébriquement clos : l’épithète algébriquement fermé est réservé à la notion relative : K est dit algébriquement fermé dans une extension E si tout élément de E qui est algébrique sur K appartient à K. La clôture algébrique de # est l’extension algébrique algébriquement close de k (définie à un

isomorphisme près); elle sera souvent notée #.

Gi G = G G2 Les isomorphismes UNS COCG)et——— + GaG, seront “

appelés premier et second théorèmes d ’1somorphisme.

Un élément x d’un anneau B est dit sntégral sur un sous-anneau A de B s’il satisfait à une équation de la forme "+ aa" +... a,—o avec a;€ À; un anneau d’intégrilé À est dit intégralement fermé («ganz abgeschlossen », «integrally closed ») si tout élément du corps des quotients de À qui est intégral sur À appartient à A. Si S est un ensemble multiplicativement stable d'éléments non diviseurs de zéro d’un anneau À, nous noterons À, et nous appellerons anneau des quo-

trents de À par rapport à S, l’ensemble des classes de fractions . où

agAetses, avec les identifications et les lois de composition classiques; S sera souvent le complément d’un idéal premier p de A auquel cas À, sera noté À, est appelé l'anneau des quotients de À par rapport à l’idéal premier p, ou encore l’anneau des quotients de p. Si 5 est l’ensemble de tous les éléments non diviseurs de zéro de À,

À, prendra le non d’anneau total des quotients de A. Il faut se garder

de confondre cette notion avec celle d’anneau quotient à de À par un p

LT gl

idéal p; il serait peut-être préférable de parler d’ « anneaux des fracons » afin d’avoir deux expressions de consonances différentes, comme les expressions anglaises « factor ring » et « quotient ring ».

Le reste de la terminologie a été, ou bien défini en son lieu, ou bien, lorsque la traduction était immédiate, traduit de la terminologie anglaise correspondante, celle de C. Chevalley [I, LR] pour les notons algébriques, ou celle de A. Weil [ WF] pour les notions géométriques : par exemple « système de paramètres » est l'équivalent de « system of parameters », et « spécialisation » celui de « specialisation »; sinon l’équivalent anglais a été indiqué.

Nous avons suivi la méthode du « domaine universel » de A. Weil, sans cependant nous conformer à toutes ses conventions; par exemple les « anneaux des quotients de sous-variétés » seront pris avec le domaine universel comme corps de base, et sont donc distincts des « anneaux de spécialisation » de À. Weil (voër Chap. IIL, $S 5). Lorsque nous avons employé l’épithète générique nous nous sommes parfois permis de ne pas préciser le corps K sur lequel les êtres géométriques en question sont génériques, étant entendu que K est n'importe quel corps de définition commun à toutes les variétés précédemment définies. Une variété linéaire ou une direction de variétés linéaires (direction d’un cylindre, direction d’une projection) est dite générique sur # si cette variété, ou la variété linéaire passant par l’origine et parallèle à la direction donnée, peut être définiepar un système d'équations linéaires dont les coefficients sont des variables indépendantes (c’est-à-dire algébriquement indépendants) sur 4; nous parlerons alors de projection générique et de cylindre générique sur k.