LONGUEURS D'IDÉAUX PRIMAIRES

Nous entendrons dans tout ce travail par « anneau » un anneau commutatif ayant un élément unité noté 1. Un anneau A satisfaisant à la condition maximale pour ses idéaux (c’est-à-dire le « Teilerket- -tensatz » : tout ensemble non vide d’idéaux de A, ordonné parinclusion,

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possède un élément maximal », qui est équivalent au « Basissatz » : tout idéal de A possède une base finie) sera appelé un anneau noethérien (*). Un anneau satisfaisant à la condition minimale pour ses idéaux (tout ensemble non vide d’idéaux de A, ordonné par inclusion possède un élément minimal) sera appelé ün anneau d’Artin; tout anneau fini, toute algèbre de dimension finie sur un corps est un anneau d’Artin.

A. STRUCTURE DES ANNEAUX D’ARTIN (?). — Soit À un anneau d’Artin; tout anneau quotient de À est un anneau d’Artin; d’autre part un anneau d’intégrité d’Artin B est un corps, car, pour tout aëB, on a, pour n assez grand, Ba'— Ba", donc a'— ba"*" et ba — 1; par conséquent tout idéal premier de A est maximal. Soit À l'intersection de tous les idéaux maximaux de A (le « radical » de A); puisque A est un anneau d’Artin, À est déjà l’intersection d’un nombre fini d’entre eux Ja, ..., Ps Si ü est un idéal premier distinct de ceux-ci, on a pu et il existe x;,€p; tel que x;iéu; alors y—x,...x,€n, mais YE À, ce qui contredit la définition de &; donc A ne possède

qu'un nombre /int d'idéaux premiers p,, ...,p,, et a = fr: est un FI

idéal distinct du radical À.

Lee. — Le radical R d’un anneau À est l’ensemble des éléments a € À tels que 1 + xa soit inversible pour tout x € A.

a. Soit a&€ À; considérons l'idéal A(r1+xa); s'il était contenu dans un idéal maximal m, on aurait 1+xagm, xage Cm, donc 1 Em, ce qui est absurde. Donc A(1+xa)— À, et 1 + xa est inversible.

b. Si, réciproquement, 1 + xa est inversible pour tout +€ A, supposons que a n’appartienne pas à un idéal maximal m; alors

(!) Pour la théorie élémentaire des anneaux noethériens, nous renvoyons le lecteur au Chapitre XII de la Moderne Algebra de Van Der Waerden.

(2) Ce n'est qu'un rappel de résultats bien connus [cf. Jacoson, Theory of rings et Radical and semi-simplicity for arbitrary rings (Amer. J. Math., vol. 67, 1945, p. 300 à 320)|.