RES

m—+ Aa— À, etil existe me À tel que 1 + Ta EM, ce qui est absurde. Donc a appartient à tout idéal maximal et par conséquent à ü.

D’après l’identité (1—xa)(1+xa +...+ M) quiragheu si æ"*!a"t!— 0, on voit que tout élément rélpotent a appartient à 4. Si, réciproquement, a est un élément du radical d’un anneau d’Artin À, la considération de la chaîne descendante d’idéaux (Aa) montre qu'il existe æe A tel que a*—xa"*'; mais 1 — ax est inversible, soit (1—4ax)(1+y)=1 où œa(1+y)—7y—o; multipliant par a" il vient æa"*'= a"— 0. Donc, dans un anneau d’Artin, le radical est l’ensemble des éléments nilpotents. C’est donc le plus grand nilidéal de À, si l’on entend par nilidéal un idéal dont tous les éléments sont nilpotents.

Taéorèue 1 (Hopkins). — Dans un anneau d’Artin À tout nilidéal à est nilpotent.

La suite d'idéaux, «a, a°?, ..., af, ... étant décroissante, on a, à partir d’un certain exposant nr, b—a’— «a"*'—.... Supposons que

b=<o et considérons la famille ® des idéaux v tels que bu £(O ); puisque b°—=b£(0), bed et D n’est pas vide. Soit v un élément minimal de ®; il existe ce tel que bc <(O), donc Ace et l’on a u— Ac. D'autre part bu—bu—bc;<(0); donc bre et l’on a tw—bc— Ac On. peut: ‘donc écrire c— be) avec "beb;; d’où C—be—b?C—,."..—b'ce—\..; mais. b, est un élément milpotent: donc b1— 0 et c — 0, en contradiction avec be £(O).

Soit donc À un anneau d’Artn et À son radical; on a —(0).

TL Exprimons comme intersection N\ p, d'idéaux maximaux p;. Puis-

que p;dp;, soit +;,€p; tel que x;;#p;; posons mx; on a æ;, €};

ÎÆi

et t;E [REZ Puisque : est un corps, ilexiste c;,€ À tel que cx;=1(pi). EX | |

Soit gs 1 (1 (cr) Vsilestclairquen;=1(p)etn; = (Ir)

Posons e; = n;. Onae;e;€ [El piC;, donce;e; — osir<j. De même

e(1—e)—0, c'est-à-dire e,—e;, ete +...+e 1. L’anneau A est ainsi composé direct des anneaux Ae;; Ac; a évidemment pour radical ep e; À, et c’est le seul idéal maximal (et premier) de cet anneau. Donc, en appelant anneau primaire un anneau où l’idéal (O) est primaire, on a le résultat suivant :

Taéorème 2. — Tout anneau d’Artin est composé direct. d’anneaux d’Artin primaires. , Considérons un anneau d’Artin primaire A, d’idéal maximal p tel PET 7.0 n—1 que p— (0), p''£(0). Considérons les A-modules ne RER À Ê À EE Comme ils sont annulés par p, ce sont des , nodules, c'est-à-dire des

5 A : es CIN c espaces vectoriels sur le corps > Ceux-ci sont de dimension finie

puisque les satisfont à la condition minimale pour leurs sous-

modules. Donc À, considéré comme module sur lui-même, a, d’après le premier théorème d’isomorphisme, une série de composition finie. Donc tout ensemble, totalement ordonné par inclusion, d'idéaux de A est fini d’après le théorème de Jordan-Hôlder. On obtient donc, par passage au composé direct, le résultat suivant :

THéorème 3. — Dans un anneau d’Artin toute chaine d’idéaux est finie. En particulier tout anneau d’Artin est noethérien.

Dérinirion. — On appelle longueur d’un anneau d’Artin (resp. d’un module E) la longueur d'une chaîne maximale d’idéaux de À (resp. de sous-modules de E).

2. ALGÈBRES PRIMAIRES. — Soit À une algébre primaire de dimension finie sur un corps K, et p son unique idéal premier. Comme on peut compléter la chaîne A35p23p°3...3p"—(0) en une chaîne maximale d’idéaux, la longueur de A est égale à la somme des longueurs

des A-modules a Mais ceux-ci sont canoniquement des espaces

Dia

ë A vectoriels sur le corps 1 Donc longueur ND LR: Mais p :

comme : est une extension finie de K on a Le résultat suivant :

TnéoRèuE 4. — Soit À une algèbre primaire de dimension finie sur un corps K.,, et soit p son idéal maximal; on a

(longueur A). É xK | TALK],

Soit maintenant L une extension séparable (algébrique ou non) de

K, et soit A, l'algèbre obtenue à partir de A par extension du corps

de base. L'idéal p Ar de À, est nilpoltent; d'autre part a estisomorphe SOA ; : k à ! SERe

à Ce) qui, comme L est séparable, est une algèbre semi-simple, composée directe de corps; donc pA, est le radical de A,. D’après l'étude du paragraphe 4, A; est composée directe des algébres primaires A,e; (où les e; sont des idempotents orthogonaux), et A,e; a pour idéal maximal pA,e;. Considérons une chaîne maximale d’idéaux

v, ; HA O) = 0 Dee), pr = A" ——— est un espace vectoriel SA

; L À ee iLE EE de dimension 1 sur : et l’on a pu, Co, ,; soit v, l'idéal A,v,e;de A,e;; c’est un module sur A,e;; tout élément de pA,e;transportew, dans, ;;

A €; pALe; Vs

>» ina A ; :

n'importe quel générateur | sur — } de l’espace vectoriel — ; il est donc p v

donc

est un espace vectoriel sur le corps Z;— , engendré par

Vs 1

de dimension o ou 1. On a donc

m;= longueur (Are;) < m = longueur (A).

Mais, d’après le théorème 4, on a

m É 2 K| — AK] et mi[Z:L]=|[Are:L}; ; À

d’autre part

le He) sn = É K|.

On a donc m;— m pour tout z. Par conséquent :

Ÿ [Ase:L]=[AL:L]= [AK] et >

Taéorème 5. — L’'algèbre À, obtenue par extension séparable X, du

Re Die

corps de base d’une algèbre primaire À est composée directe d’algèbres primaires de même longueur que À.

5. COMPOSANTES PRIMAIRES DANS LES ANNEAUX NOETHÉRIENS. — Rappelons que, dans un anneau noethérien, À, tout idéal « s'exprime comme

intersection d'idéaux primaires : ET QUE soit p; l'idéal premier i=1 associé à g;. Si l’on suppose que cette représentation est minimale, les composantes primaires g;sont déterminées de façon unique à condition que p; ne contienne aucun autre idéal p,(j <t); de telles composantes sont dites ssolées; si p;2p;, on dit que la composante q; est zmmergée. Rappelons qu’une composante primaire isolée q; de n est l’ensemble des éléments de A transportés dans à par un multiplicateur n’appar-

tenant pas à p;; rappelons aussi que LU »; est l’ensemble des diviseurs

de zéro de À, et Nr l’ensemble de ses éléments nilpotents, si les p;

sont les idéaux premiers associés à toutes les composantes primaires (isolées et immergées) de (0 }.

On montre par des exemples que, si q est primaire pour p, g" n’est pas nécessairement primaire pour p; nous appellerons puissance symbolique n°* de j et noterons gl" la composante primaire de g" selon p. Comme tout idéal premier contenant q” doit contenir p, 4!” est la seule composante isolée de 4". A propos de ces puissances symboliques nous allons démontrer les résultats suivanis :

Taéorème 6. — S7 q est composante primaire isolée de à selon p, q! est composante primaire de à" selon p.

Soit v la composante primaire de «” selon p; puisque a” Ca! il est clair que uCql". Soit inversement y €ql"; pour certain 4€p, on a ty EN"; prenons up et appartenant au produit des composantes primaires de « autres que 4, etsoit e — w"1; on apæpetlvy —1yu"e a". Donc y €v d’après le résultat ci-dessus.

TuéorÈME 7. — Soit o un anneau noethérien, à un sous-anneau noe-

thérien de 0, p un idéal premier de v et 4 un idéal de à primaire pour ».

St p est un idéal premier isolé de op dans 0 tel que Pno —p, et si, pour tout idéal v de 0 primaire pour p, à désigne la composante primaire de op selon p, on a ÿ"— q".

D’après le théorème 6, 4!" est la composante primaire de (og) — 09" selon p. D'autre part g!") est l’ensemble des éléments eo transportés dans og!” par quelque u &p; puisque a est transporté dans g” par un élément 1€ 0, t#p, on voit que tugl" € og" avec tu &p puisquep,0 — p;

ceci montre que gl" est la composante primaire de og" selon p.

4. ANNEAUX DE POLYNOMES SUR UN ANNEAU D'ARTIN. — Considérons l’anneau 6 — A[X,, ..., X,] des polynomes à s indéterminées sur

l’anneau d’Arun A. Soit a un idéal homogène de 0, c’est-à-dire un idéal qui, avec tout polynome, contient toutes les composantes homogènes de celui-ci; il revient au même de dire que « peut être engendré par des polynomes homogènes, ou formes. Nous noterons a(n) l’ensemble des formes de degrés r contenues dans a; a(n) est un sousmodule du A-module de toutes les formes de degré n, f(n); f(n)est

. x TES En . re un A-module libre à ( Pa, ) générateurs; sin désigne la longueur

Det

de A, f(n) a pour longueur m(® RES }

Taéorème 8. — La longueur o,(n) du module a (n) est un polynome en n pour n suffisamment grand.

Ce théorème généralise le théorème de postulation de Hilbert (*), qui traite du cas où l’anneau À est un corps. Nous procéderons à partir de là par récurrence sur la longueur m de A. Soit m un idéal minimal de A; d’après le second théorème d’isomorphisme les a(n)+mt(n) a(n)

A-modules —— tn) mÉ(r)nn (2)

sont isomorphes; donc

- longueur (mt(n)An(r)).

ee):

longueur (a (7)) — longueur ( RCA

(:) Über die Theorie der Algebraischen Formen (Math. Ann., t. 36, 1890, p. 473-534).

Pers ue

a(n)+mi(n) m£(7)

: À nique de --module; sa longueur est un polynome en » pour n assez nt : x

Le module , étant annulé par m, a une structure cano-

grand par hypothèse inductive, car il est obtenu à partr de a (nr) par réduction des coefficients modulo. Étudions maintenantmf(n}),a(n); c’est le module des formes de degré n contenues dans l’idéal mo, a, qui, comme intersection d’idéaux homogènes, est homogène; soit (F,, ...,F,) une base de cet idéal composée de formes; toute forme de mf(x}),a(r) peut donc s’écrire F—A,F,+...+A,F, où les A; sont des formes de degré convenable. Si b est l’annulateur de m dans A, le module a(x}),mf (x) est annulé par b; c’est donc canoniquement

un *-module; c’est le module des formes de degré nr de l'idéal de

A. .., X,] engendré par les formes F;, obtenues à partir des F;par

réduction des coefficients modb; m étant minimal est principal et engendré par n'importe lequel de ses éléments non nuls a; sxyebet y b, alors ya — 0; ya <o, sinon y Eb; donc xEb; b est premier,

; | A UE À donc maximal, et ÿ St un corps. Ainsi la longueur du - module

b a(n)Amf(n) est un polynome en x pour z assez grand d’après le théorème de Hilbert. CO NESD:

Étant donnés deux idéaux «a et b d’un anneau quelconque 0, nous noterons (a:b})et appellerons transporteur de b dans a l’ensemble des æeo tels que æbCa. Considérons à nouveau l’anneau 0 — AIX,

-, X,] où A est un anneau d’Artin; nous noterons X l'idéal engendré par X,, ..., X, dans 0; un idéal g contenant une puissance de X sera dit vrrelevant; ceci veut dire que og(n)— ke à se ÿ ) m pour A assez

grand. Soit «à un idéal homogène de », et a = QU une représenta-

tion primaire minimale de a; soit » l'intersection (irrelevante) des 4, qui sont irrelevants, et soit & l’intersection des autres composantes primaires de a: a—1,%. Soitb—%,(r:X);ilestclairquebc(a:X); soit réciproquement F tel que FX;€«a pour tout t; puisque l’idéal premier de toute composante non irrelevante de a ne contient pas tous les X;, on déduit de FX,ea pour tout : que Fe$; puisque

Tu, +08 FE(x:#), on a donc Feb eth—$S,(r:#)—(a:X). Le second théorème d’isomorphisme nous donne Pr(n) + ps(n) = Pr+s (7) + pa(n), Prx)(2) + Ps(n) = Q(cut)+5 (72) + Y(ax)(n). Mais r, r +5, (x:#) et (x:#)+ 5 sont irrelevants; donc leurs o(n)

RSS

sont tous égaux à m( St |

) pour » assez grand. On a donc, pour

n assez grand, la formule des idéaux irrelevants

(1) qa(n) = q(ux)(n) = es(n) Ê

5. LONGUEURS D’IDÉAUX PRIMAIRES DANS LES ANNEAUX LOCAUX. — Un anneau noethérien o est appelé un anneau local (* }siles éléments non inversibles de 06 forment un idéal m; tout idéal non trivial de o est alors contenu dans l’unique idéal maximal w. Rappelons d’abord les résultats suivants :

a. MN r'= (O) (théorème de Krull); les puissances de w définis-

sent donc sur 0 une topologie d’anneau séparé; on montre que la

complétion o de l'anneau topologique o est un anneau local, que tout idéal d’un anneau local est fermé, et que tout élément qui n’est pas

un diviseur de zéro dans © n’est pas un diviseur de zéro dans 0. b. (Théorème de Cohen). Si l’anneau local complet o contient un

: É : 0 : ‘ corps, il contient un corps K isomorphe à = par l’homomorphisme

canonique de 0 sur 2; un tel corps sera appelé un corps de Cohen de o. Ce résultat, l’un des plus profonds de la théorie des anneaux locaux,

sera peu utilisé dans la suite de ce travail.

Tout idéal g tel que mDg2Dn est primaire pour m; en effet, de abeq, aEm, on déduit, a étant inversible, que be; la réciproque

(2) Voir [K], [LR] et [C].

est évidente. Je dis que ; est alors un anneau d’Artn; il nous suffira

nu . :

de le montrer pour =; soit (æ, . .…, æ,) une base de nm; les s-modules

ONE msi

Er) Sy Mon ms

; qui sont annulés par w, sont canoniquement des

espaces vectoriels sur le corps —; dans " Jes monomes (æ He) F PS 1° mt Es ASE ste

(ji+...+j,=)j), réduits modulo w/*' forment un système de génén/ ST : o rateurs; donc les espaces a Sont de dimensions finies sur =setnotre

assertion est alors une conséquence immédiate du théorème de Jordan-Hülder.

Soit q un idéal primaire pour l'idéal maximal mn d’un anneau local 9; par une q-forme de degré n sur à nous entendrons un élément du

\ 20 mn module 7; nous noterons F,(4) le groupe abélien … muni de sa

. nu . . 0 .

structure canonique de "module; soit À l’anneau d’Artin . Consi-

dérons la somme directe F(4) D F,(q); nous munissons F (4) de la

DE) structure suivante d’anneau : si æeF,(q) et 7EeF,({), æ et y sont classés modulo g*** et g?*! d'éléments æ€q" et y € qj/; on vérifie immédiatement que la classe de xy mod g"*?*! ne dépend que de x et y; en la notant æ.y, et en étendant cette multiplication par linéarité, on

obtient, sur F(4), la structure d’anneau annoncée. La longueur de * | 9”

A1 + est égale à celle du A-module à F;(4). Soit maintenant (æ,, ...,æ,)

une base de g, x; l’image de æ; dans F,(4);les monomes en La, NI engendreront alors les A-modules F;(q4), et nous pourrons écrire F(a)=AÎx,, ...,æ,|,ce qui montre que F(4) est un anneau noethérien. Si nous prenons s indéterminées X,, ..., X,, nous voyons que F(q) est isomorphe au quotient de A[X,, ..., X,] par l'idéal homogène « des relations algébriques entre les Di. Puisque A est un anneau d’Artin, nous déduisons du théorème 8 le résultat suivant :

Tuaéorème 9. — S q est un idéal primaire pour l'idéal maximal w d'un

ÿ anneau local », la longueur P;(n) de gr st un polynome en n pour n suffisamment grand.

Remarques. — 1. Au Chapitre II le degré et le coefficient dominant du polynome Pq(x) définiront les notions de dimension et de multiplicité, qui seront importantes pour les applications à la Géométrie algébrique.

2. Remarquons que la formation de l'anneau F (4) à partir de » et de la suite d’idéaux (4*) est un cas particulier de la formation d’un anneau gradué à partir d’un anneau filtré (ou valué), souvent utilisée par l'Ecole française de Topologie algébrique (1).

3. Soit o la complétion de »; on vérifie sans peine que og” est primaire pour l'idéal maximal m — on de », et que = et = sont isomorphes (4 étant un idéal ouvert de w); donc Pa(r)— Piq(n). :

k. La définition, due à Krull des « p-Reihenringe » (*) signifie que l'anneau

: ; . ° 2 F (nr) est isomorphe à l’anneau de polynomes —[X;, ..., X;]lorsque(x;, .…., æ,) nt est une base minimale de m.

Lorsque yen’ et y m1, la classe y de y mod mw*1 est appelée la forme initiale de y; si « est un idéal de o, l'idéal a de F(m) engendré par les formes

initiales des éléments de « est appelé l'idéal directeur de a (« Leitideal » de Krull).

TaéorÈme 10 (théorème des transporteurs). — Sr q est primaire pour l'idéal maximal w de l'anneau local 0 et si w ne se compose pas uniquement de diviseurs de zéro, on a (q"**:q)— q" pour n assez grand.

Puisqu'il s’agit d’une propriété de ——; il nous suffira de démontrer

le théorème 10 dans le cas d’un anneau local complet 0; en effet tout élément qui n’est pas diviseur de zéro dans un anneau local, n’est pas diviseur de zéro dans sa complétion. Il est clair que g"C(9"**:1); nous allons étudier si (g"*!:q) est, ou non, strictement plus grand que g”, c’est-à-dire, en passant à F(q)et à A[X,, ..., X,], s’il existe des formes de degré ñn—r(r >0), G(X) telles que GX;Ee a + &*

(1) Voir, par exemple, H. Carran, C. À. Acad. Sc., t. 226, 1948, p. 148. (:) Dimensionstheorie in Stellenringe (J. Reine Angew. Math., t. 179, 1938,

pour tout # (les notations sont les mêmes que pour le théorème 9, et X désigne l’idéal engendré par les X;); puisque GX;est de degré n —r+1 et que « est homogène, ceci implique Ge(a:#). D’après la formule des idéaux irrelevants [formule (1), $ 4] ceci implique, si n —rest suffisamment grand, que GE a, c'est-à-dire que la forme correspondante de F, ,(q) est nulle. Nous avons donc démontré que, sir —r est supérieur à une constante c indépendante de 7, on a

(23) (ge 1: )n mp

Restent à étudier les éléments de (g"*‘:q) qui senc en dehors de 4, (Can) += fé 1°

s d'Aruün, | ite décroissante (3,) s’arrête puisque -: est un anneau run, la suite décroi 3, ,

c’est-à-dire le module 3,— »il est clair que 9,,, C3,;

et, pour certain p,ona 3,—3,,—.... Sotye,;siy oil existe y 9° tel que (y +4), (d"*":9)<9 pour tout n =p, c'est-à-dire qu'il existe z,€q° tel que (y +4)qc*"; de (y +z;)qegtet de (Y + 3x4) 1 CF, . on déduit. (3,1 —2:,) 9 Cgftt, d'où Zn — 2h E(9"*":9),9 = g"; la suite (z,) est donc une suite de Cauchy; comme 0 est complet elle a une limite ze q° et l’on az — z,€g". Alors

(Y+23ME (+2) +(z—73)qcCd*t, et, puisque AN =(0)

d’après le théorème de Krull, on en déduit (y +z)qj—(O}); mais, puisque yq‘ etz€Eq", on a y +z<0; ainsi tout élément de g, donc de m car m° C4, est un diviseur de zéro contrairement aux hypothèses. Ceci veut dire que, pour x assez grand, on a 3,—(O), done (9“**:4)€ q° et le théorème 10 en déduit aussitôt de la formule (2).

Remarque. — Par applications répétées de la formule (a:b):e—(a:bc) on voit que (g*#4:q#) — 4% pour » assez grand.

6. PASSAGE AUX ANNEAUX NOETHÉRIENS GÉNÉRAUX. — Soient 06 un anneau noethérien, g un idéal primaire pour l'idéal p de o. On appelle /ongueur de l'idéal primaire 4 la longueur d’une chaîne maximale d’idéaux primaires pour p joignant o à g. L'étude des idéaux primaires pour p, que, pour d’évidentes raisons géométriques, l’on pourrait appeler la «localisation » à l’idéal premier p, est facilitée par la considération de

np RE

l'anneau des quotients 0, de l'idéal premier p. Rappelons-en les principaux résultats (!) : soit 5 l’intersection de tous les idéaux de o primaires pour p [ou, ce qui revient au même, l'intersection des compo-

. . è o an santes primaires de (O) contenues dans p|; dans l'anneau z tout élé-

ment en dehors de & n’est pas un diviseur de zéro; soit 0, l'anneau

‘ œ : ni 0 p ; pts des fractions g’ où AE x) BE 3 BE; si « est un idéal de 0, nous noterons av, l'idéal engendré dans 0, par l’image o(a) de « par , . nu .

l’homomorphisme canonique © de o sur 3; sl a“ Co, nous noterons = >, ; —1 4,0, par abus de langage, l’idéal o (a*). On montre que :

2° Si l'idéal « de o a pour représentation primaire minimale Dia: -nrnlrsin: : -nP, OÙ 0; est primaire pour p;, avec p;Cp pour i<retp;dp pour: >r, alors l'idéal ao, a w,0,,...,0,0, pour représentalion primaire minimale.

3° o, est un anneau local ayant po, pour idéal maximal.

Donc, si g est primaire pour p, 40, est primaire pour p9,, etil y a correspondance biunivoque monotone entre les idéaux primaires pour p et les idéaux primaires pour po,; à g! correspondra évidemment l'idéal 90, — (0, )’. Les théorèmes 9 et 10 donnent alors les résultats suivants :

Taiorème 11. — Soit j un idéal primaire d’un anneau noethérien »; la longueur P,(n) de la puissance symbolique n°" 4!" de à est un polynome en n pour n suffisamment grand. Si $ est l’intersection de tous les idéaux de à qui sont primaires pour l'idéal premuer » de à, et . n’est pas un idéal premier de (O) dans 5 on a, pour n suffisamment grand, (qe y Le ) = gl.

(1) C. CnevaLcey, On the notion of the ring of quotients of a prime ideal (Bull. Amer. Math. Soc., 1. 50, 1944, p. 93).

SAONE