ANNEAUX LOCAUX
A. NorioN DE DIMENSION. — Soient a et b deux idéaux primaires pour l'idéal maximal m d’un anneau local o. Il existe évidemment deux entiers a et b tels que bDa* et a 2b°”; donc a*3b°", b'3 a", c'est-à-dire P,(n)-<P;(bn)et P,(n).-ZP,(an). Ceci prouve que les polynomes P,(n)et P;(n) ont méme degré d; ce degré commun sera appelé la dimension de v; il est clair que o a même dimension que sa complétion.
Taéorème 1. — Tout idéal j primaire pour w est engendré par au moins d éléments.
Soiten effet (2x, ,...,æ,) une base de q et soit »m la longueur de
. nu Q ’ 4 l’anneau d’Artin ne À ; nous reprenons les notations du théorème 9 f E
(Chap. [); la longueur du A-module F,(q) des g-formes de degré n est évidemment inférieure à la longueur du A-module des formes de degré x dans l’anneau de polynomes A[X,, ..., X,];celle-ciest égale à m (7 Det F - Donc la longueur P,(n) de est inférieure à
PL
[+gqg—1 2 n + q D Are T=Y
En comparant les degrés on voit que celui, d, de P,(n) est inférieur à q, ce qui démontre le théorème 1.
THÉORÈME 2. — Sotent 0 un anneau local, w son idéal maximal, à un rdéal primaire pour w,b,,...,b, des idéaux de à ne contenant pas g. St . o . ee :
6 Eau æ 1 4 4 le corps résiduel K — est infini (*), exist aeg,a&b;,(1—1,...,8)
tel que (g": oa),9° = q"", pour n assez grand et c indépendant de n.
(*) Gette condition sera toujours vérifiée dans les applications géométriques.
LEMME. — Soit an un idéal homogène de l'anneau de polynomes A[X,, ..., X,], À étant un anneau d’Artin primaire d'idéal premier »
tel que K — 5 où un corps infini. Il existe une forme linéaire F telle.
que a(n) et Gu:r)(n) soient égaux pour n assez grand, et l’on peut prendre Ken dehors d’un nombre fini de sous-modules propres du A-module £ des formes linéaires de A[X:, ..., X,].
D’après la formule des idéaux irrelevants [formule (1)S4, Chap. I] nous pouvons remplacer «à par sa composante non irrelevante S;
soit 5 — [AE avec g; primaire pour p; etX d:p;; p:, £ est alors un sous-
module propre de £. Nous chercherons ainsi à prendre F en dehors d’un nombre fini de sous-modules propres AM, de £, les p;, £ et les sous-modules donnés. De “gr p£ — £ on déduirait, pour 1<r<5,
X,EAU,+p£, donc X,— D Lu X + Se. X, avec Ep, X, e fl,
LE U— A et r,€p; on a donc, pour 1.<r<5, Y,—X,— En, X, et Y,e M ;; le déterminant des s formes Ÿ, est donc de la forme 1 + 7 avec rep; il est par conséquent inversible dans À puisque À est un anneau d’Artin primaire; donc X,€ A; et A,;— £, contrairement aux hypothèses.
On en déduit donc que A,+ p£ 7< £. Sinous réduisons les coefficients . pŸ ss NE DS TZ
mody, les sous-espaces vectoriels V;— T sont
: À propres; comme V est un espace vectoriel sur à corps infini K — T°
il existe F& V qui n’appartient à aucun sous-espace V;. Nous pren-
drons pour F un représentant de la classe F.
Ceci étant, soit P un polynome tel que FPE; alors FP €1;, F&p;, donc Peget PE. Ainsi $ —($:F) et
Pa(n)= 9s(n)= (sr) (2); mais-comme aC$, on a (a:F)C($:F); d'autre part aC(a:F). Donc o(a:r)(2)= pa(r)= ?(5:F (2), ce qui démontre le lemme.
, ‘ nu Pour démontrer le théorème 2 nous prendrons À — PE nt
pour Lt #4 l’anneau de formes F(4), et pour a un élément deg
ayant la forme linéaire F du lemme pour forme initiale. Nous aurons
; . 2+ b; en effet à éviter les images dans F(4) des modules ne or le lemme
le Din car, si l’on avait 9 +—b;24q, on en déduirait g Ca +b, ni d’où g°Cq°+b;q+b;=1+b;, et, par récurrence, gCq'+ b; pour
tout r; comme Né: g')= b;, on en déduirait gCb; contrairement aux hypothèses. Il est clair que g”*€(g"':0a); soit æég"—" tel que axe" et soit G un représentant dans A[X,, ..., X,] de la forme initiale de æ dans F(q); le degré p de G est Æn—2. On a alors FGEX"+ a; comparant les degrés on voit que FGEa, donc GE(a:F). Si donc, d’après le lemme, p est supérieur à un entier c ne dépendant que de 4, on a GEa; ceci montre que si nr >œc+41, on
a (ge: 04), — ju:
Remarque. — En considérant les formes de degré Æ au lieu des formes linéaires, on voit qu'il existe be g# tel que (4*:0b) 9° — 9"—# pour n > c+k.
Un élément a€q tel que(g":04a),a°— q"" sera appelé un élément superficiel par rapport à g. Un élément b eg tel que (q": ot Ho sera dit superficiel de degré #.
COROLLAIRE. — Si m ne se compose pas uniquement de diviseurs de zéro, d'existe un élément superficiel a, non diviseur de zéro, et l’on a, pour Ce (NO) AR.
Nous pouvons en effet prendre a en dehors des idéaux premiers de (O) car aucun ne contient g. La démonstration du fait que (g':oa)C aq se fait exactement comme à la fin du théorème 10 :
(Chap. D.
Exemple d'élément superficiel. — Soit o l'anneau de séries formelles Kf[a, ...,a,|], et soit j un idéal (non nécessairement primaire pour l'idéal maximal) de »; on montre facilement que l’on a (9:04) — g" pour tout », lorsque 4 contient &.
Nous allons maintenant considérer un anneau quotient — de », ; 0x .
HR
et donner une formule reliant les polynomes P(n) che):
Soitq= -(æ€g). On a PE(2) = longueur(q" + ox);
donc
ECS Pa2) = longueur |? LE }=tongueur 9” "nt
; 1 2 à . o Dr d’après le second théorème d’isomorphisme. Considérons l’homomor-
phisme de (o-modules)o:y— 7x. On a
25 * 1 —9(5x) et (gt:9&)—= 9 (gt; sæ);:
donc (1) Pat) = Pa(x)— longueur(gt:0x).
CoROLIAIRE 1. — Pour tout x En, on a dim 0 > dim — dim 6 — 1.
La première inégalité vient du fait que longueur (g":0æ) =. D'autre part on a (g':0æ)2q"*, donc
longueur (g*:0æ)=Paq(r—1) et Pa(2) > Pa(n) — Pa(r — 1) ce qui démontre la seconde inégalité.
CoroLLaiREe 2. — Si æ est un élément superficiel par rapport à 4, on a Pan) — Pa(r —1) £Pa(n) £ Pa(r) — Pa(r—1)+ Pa(c),
, nul ë et donc dim = — dim 6 — 1.
Onaeneffet (g":0x),q°— 4"; donc Pa(r — 1) > longueur (4:02) > Pa(r — 1) — Pa(c);
comme P,(c) est une constante, le polynome P;(r) est de degré dim 0 — 1.
Tuaéorème 3. — St d est la dimension d’un anneau local 0, l'existe un idéal ÿ primaire pour l’idéal maximal w de », et engendré par d'éléments.
Nous procéderons par récurrence sur d. Si d = O on a longueur w’— const, pour x assez grand, donc m'—(O) et (O) est primaire pour m. Prenons, dans le cas général, un élément x,€em tel que
— — d—1 [corollaire 2 de la formule (1)]. Soit, dans =
