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inlinio ot le nonibiv liuiiic' nairocto i)as los ohimcnls coiistitulifs rlc ces deux grandeurs; en ,l-;,utrcs termes, l.'S objets sériés dans la muililudc inlinio peuvnt, être de même nature que les ol.jels réunis dans le nombre fini, ear la distmction essentielle do ces deux grandeurs na pas son fondement dans la nature distinclive des mules qui les composent, mais bien dans la nature de la somme de ces unités. C'est à ce point do vue exclusif que nail ot apparaît leur dislniction spécifique.

De là résulte que les modes do detcrminaiion de ces deux grandeurs sont opposes l'un à l'autre. Tandis que le fini trouve dans son genre et son espèce les limites principales qui fixent la perfection relative de' son être, l'infini, au contraire. n'est réellement déterminé qu'à la condition do s'étendre au delà do toutes les limites possibles dos genres ot des espèces. En un mot, l'absence de limites est sa détermination essentielle.

La raison de cotte tendance, que nous éprouvons tous, à concevoir la multitude infinie comme une chose indéterminée, se trouve dans l'imperfection de notre intelligence finie. .\u delà dune certaine extension, d'ailleurs bien limitée, notre esprit n'est plus à mémo do concevoir distincte-

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ment les éléments individuels qui constituent les nombres. Le vague de ce concept augmente de plus en plus, à mesure que la multitude devient plus complexe, et nous finissons par attribuer à la multitude même, l'indétermination subjective qui est le fruit de notre faiblesse intellectuelle. Ainsi tombe un premier reproche que l'on a coutume de faire à la multitude infinie, et qui consiste à ne lui reconnaître qu'un caractère essentiellement indéterminé.

De la distinction spécifique placée entre le fini et l'infini résulte une seconde conséquence : on ne peut former l'infini par l'addition successive d'éléments finis. « Plus et minus non mutant speciem « comme dit le vieil adage. Une augmentation progressive faite dans un genre, quelle que soit d'ailleurs sa grandeur, n'autorise jamais le passage à un genre différent. Les ajoutes finies à un nombre déterminé en reculent les limites, mais ne les suppriment pas.

Pour le même motif, la soustraction successive d'éléments finis n'altère en rien le caractère de la multitude infinie. Aussi longtemps que ces opérations ont pour objet des quantités limitées, elles ne peuvent atteindre le domaine de l'infini.

II en est de môme de la multiplication, de

rélévntion du fini à une certaine puissance, de la division. Les deux premières opérations ne sont qu'une addition déguisée. La division est une espèce de soustraction, comme on le prouve aisément en mathématiques. (1)

Bref, pour résumer ces attributs de rinfini, nous dirons avec saint Thomas : « infinita non est transire r ; on ne peut j)arcourir l'infini.

Ces mêmes propriétés soulèvent une seconde difficulté : « Si le monde était éternel, dit-on, une infinité de jours aurait précédé le jour actuel. Or, étant donné qu'il est impossible de parcourir l'infini, jamais, dans cette hypothèse, le monde ne serait arrivé au jour présent. «

La conclusion logique qui découle de ces prémisses, c'est qu'en remontant le cours des siècles écoulés, jamais on ne pourrait atteindre un jour qui fut le premier, pour le motif très simple que cette multitude n'a pas de terme initial.

En posant notre point de départ dans le temps, nous arrivons forcément à une série toujours limitée dans le passé. 11 en est tout autrement si nous renversons les termes, et si d'un passé sans commencement nous dirigeons notre marche vers le présent. La durée du monde, étant infinie dans

(1) GuTBERLET. Das Unenclliche, S. 37.

le passé, se trouve de ce chef proportionnée à la multitude infinie des jours écoulés. Mais limitée au contraire dans le présent, elle possède un terme que le monde peut atteindre à une époque déterminée.

Cette réponse nous donne l'occasion de mettre en lumière une seconde propriété de l'infini : c'est de pouvoir atfecter la multitude en un sens déterminé tout en lui laissant , sous d'autres aspects, tous les caractères du fini. « Nam nihil prohibet infinito ex ea parte additionem fieri qua finitum est. Ex hoc autem quod ponitur tempus seternum, sequitur quod sit infinitum ex parte ante, sed finitum ex parte post : nam praesens est terminus prœteriti. ^ {l)

Supposez, en effet, une ligne placée devant vous, s'étendant à l'infini, à droite et à gauche. De ces deux côtés, la ligne n'a pas de limite et partant n'est susceptible d'aucun accroissement Mais dans toutes les autres directions, cette ligne peut être limitée. Libre à vous de restreindre sa largeur ou de l'augmenter en y ajoutant d'autres

(1) S. Thomas. Cont. Gent. lib. II. c. 38. - Item, II dist. q. 1 a. 5 ad 4um.

lignes perpontliciilairos (|iii, dans cos directions nouvelles, l'ctendront à votre gré. Ainsi en esl-il de cette mullitude iniinie d'êtres auxqinds aurait donne naissance le monde éternel. Si l'univers n'avait pas eu de commencement, cette mullitude n'aurait point de terme dans le sens de son origine, mais elle serait limitée par les créatures actuelles. Dès lors, du coté où elle se trouve finie, peu importe que vous ajoutiez des éléments nouveaux ou que vous en supprimiez, ces op(*rations, ne portant que sur le côté fini de la multitude, laisseront indemne son caractère d'infini.

L'infini possède une troisième propriété que saint Thomas met admirablement en lumière daiis sa Somme tliéologique (1). « Un être, dit-il, qui sous tous ses aspects jouirait de l'infînitude, serait nécessairement un. Mais s'il n'est infini qu'en un sens déterminé, rien n'empêche qu'il existe en dehors de lui plusieurs infinis du même genre.

» L'infini n'est pas une substance, mais un accident qui affecte les choses infinies. Il se multiplie avec les sujets divers où il se trouve réalisé, de façon

(1) Sum. theol S--» p. q. 10. a. 3. ad 3um.

que sa propriété caractéristique s'harmonise avec chacun des sujets qu'il détermine. Or l'infini a pour propriété, d'être le plus grand possible. En conséquence, si une ligne est infinie, il n'est rien en elle qui soit plus grand que l'infini. De même, dans chacune des autres lignes infinies la multitude des parties est infinie. Pour chacune d'elles, il n'y aura donc rien de plus grand que cette multitude infinie de parties.

» Néanmoins, si au lieu d'une seule ligne, vous en prenez en même temps deux, trois, ou plus, il est clair que la totalité de leurs éléments constitutifs sera plus grande que la multitude propre à chacune d'elles. Les nombres nous en donnent un exemple. Il existe une infinité de nombres pairs, et une infinité de nombres impairs; et cependant la totalité des nombres entiers pairs et impairs est plus grande que la multitude des nombres pairs pris isolément.

« Les conclusions qui se dégagent de cette étude, c'est que d'une manière absolue, il n'est rien de plus grand que l'infini qui l'est sous tous rapports ; en second lieu, que si l'infini ne possède cette propriété que dans un sens déterminé, il n'en existe point de plus grand, mais dans son ordre seulement; enfin, dans des ordres différents, il peut se rencontrer des infinis de grandeur inégale. ^

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Ce passago de saini Thomas fournit la solution de ])lusleurs didicultés.

L'hypothèse d'une création éternelle, disent les adversaires de l'opinion thomiste, conduit à de réelles contradictions. Si le monde était éternel, une infinité de jours, de mois, d'annér'S, de siècles serait écoulée. Chacune de ces muliitudes serait infinie, sinon le nombre de siècles cesserait de l'être. Mais ces multitudes auraient toutes une valeur différente, car dans cette durée sans fin, il y aurait plus de jours que de mois, plus de mois que d'années, plus d'années que de siècles. N'est-ce pas la négation même de l'infini dont la propriété caractéristique est d'être le plus grand de tous les nombres ?

Cet argument repose sur deux principes absolument erronés : P la multitude infinie est la plus grande de toutes les multitudes ; 2^ tous les infinis sont égaux. D'ailleurs, « ces deux principes se ramènent à un seul, à savoir qu'il n'y a qu'une multitude infinie ; car si l'on admet qu'il ne peut y avoir de nombre plus grand que l'infini, on en conclut immédiatement que tous les nombres infinis se réduisent à un seul « (1).

Comme le fait observer saint Thomas, l'infini

(1) L. CouTURAT. De Vinfini mathématique, l IV, p. 454.

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est un accident qui se multiplie avec les sujets qu'il affecte. Il en résulte qu'il peut y avoir autant d'infinis que de sujets divers. Si le monde n'a pas eu de commencement, la multitude des jours écoulés aussi bien que celle des mois, des années et des siècles est réellement infinie. Tous ces infinis diffèrent l'un de l'autre, parce que l'unité qui en constitue le sujet est différente pour chacun d'eux.

Conformément à la définition de l'infini bien entendue, chacun de ces infinis est, dans son ordre, le plus grand qui puisse exister, ou être simplement pensé. En remontant vers l'origine du monde, impossible d'augmenter les séries des jours, des mois, des années, des siècles, car chacune de ces séries est sans premier terme et réellement illimitée.

Mais pour avoir toutes la même propriété essentielle, faut-il aussi que toutes ces séries soient égales entre elles ^ L'affirmer serait nier du même coup la possibilité d'une pluralité d'infinis . Quoique identiques, au point de vue de l'absence de limite qui leur est commune, ils diffèrent et doivent différer sous le rapport de leur réalité concrète. L'unité qui caractérise chacun de ces infinis peut être plus ou moins grande, posséder les valeurs

les plus diverses ; de l;i, une dilï'érencc inévitalde dans ](Mirs contcMius.

I/aiguiiK^nt (lue iiousvenonsde rencontrer n*cst, du reste, (qu'une application au monde réel du fameux argument de (Jauchy (1) contre la possibilité de la multitude infinie. On peut le résumer en substance comme suit :

Supposons établie la suite des nombres entiers ; à côté de cette suite on peut en former une autre qui ne comprendrait que les carrés de la première. Si ces suites sont infinies, toutes deux doivent avoir le môme nombre de termes. Or, la première contient tous les nombres entiers, les carrés et les non carrés ; la seconde, au contraire, ne contient que les carrés. La première est donc plus grande que la seconde et comme toutes deux, par hypothèse, doivent être égales, on arrive cà cette absurde conclusion qu'il existe des nombres égaux dont l'un. est plus grand que l'autre.

Il est clair que dans cette argumentation se retrouve la conception vicieuse de l'infini que nous relevions tantôt : cà savoir, que l'identité des infinis sous le rapport de l'infinitude emporte avec elle l'identité de leurs contenus, ou plus simplement, la réduction de tous les infinis à un

(1) Sept leçons de Physique générale, par l'abbé Moigno, 3nae leçon.

seul. " Species numerorum, disait déjà saint Thomas, en prévenant ce sophisme, sunt infinitiB, et similiter species numerorum imparium ; et tamen numeri pares et impares sunt plures quam pares « (1).

Il n'est peut-être pas d'argument que l'on ait présenté sous des formes plus variées mais cachant toujours au fond la même confusion d'idées. Nous n'en citerons qu'un seul exemple.

« Tandis que le soleil exécute une révolution complète dans son orbite, la lune en opère douze autour de son axe. Dans l'hypothèse d'une création éternelle du monde, les révolutions du soleil formeraient une multitude infinie comme aussi celles de la lune. Si l'on superpose ces deux infinis, l'un aura forcément un excédent sur l'autre, môme sous le rapport de l'infinitude ; l'un des deux sera donc fini, ou mieux ils le seront tous les deux. « (2)

Outre les vices dont se trouvent entachés les arguments similaires réfutés plus haut, nous rencontrons, dans le fait de la superposition des infinis dont il est ici question, une nouvelle conception vicieuse de la multitude infinie.

(1) Sum. theol S» p. q. X. a. 3. ad. 3um.

(2) S. BoNAVENTURA. Iii II. Sent. dist. I. p. I. a. 1.