Timée, 32, A. B

46. Cantor: Vorlesungen, 1, p. 165, traduit par cette formule

le principe arithmétique : Les produits de nombres premiers p1 Pa, Q1 69

Tel est, semble-t-il, le procédé connu au temps de Platon et auquel 1] est fait allusion dans le texte du Timée, procédé arithmétique, exprimé à la manière des Grecs, sous forme géométrique.

Nicomaque se rapportant sans nul doute à ce dialogue nomme platonicienne * la preuve suivante exposée par Euclide : entre deux nombres Carrés on peut introduire une seule moyenne proportionnelle; deux moyens termes sont nécessaires pour établir une proportion entre des nombres cubiques *.

Mais dans Timée, le ton même du récit, le simple rappel, sans insistance du reste et sans plus ample explication, du principe arithmétique, montre bien que l'on veut énoncer ici non une doctrine nouvelle, mais une application d’une théorie courante des médiétés.

I. — L’Harmonie. - Les théories harmoniques des Pythagoriciens, disions-nous, sont très voisines des proportions. Elles en dépendent, je crois, directement. Dès le plus ancien pythagorisme, les nombres et lharmonie se trouvent associés : le rapprochement des termes ἀριῇμός, ἁρμονία, συμμετρία n’est pas rare et leur synonymie est presque complète. Le ciel est « harmonie et

représentant des nombres superficiels, on obtiendra une moyenne géométrique à facteurs entiers, Si p, — p, et en même temps 64] — Go. Le troisième nombre pq réalisera seul dans ce cas les conditions du problème. Mais s'agit-il de nombres solides p; Pe Ρ5, Qi 4» 65, leur

moyenne géométrique \ P1 P> Ps qi > 45 n'est jamais rationnelle à

moins que l'hypothèse ne suppose égaux les termes des deux séries. Au contraire, grâce à deux médiétés, on établira la proportion de diverses manières, par exemple : Pi P2 Ps : Pi Pa Qi — 4. 6: Ps : Qi 4. 45 Où Pi Pa Pa : Pi Ps 45 — Qi 65 P2 : αἰ 49 45. Ce qui semblerait indiquer que la connaissance des ἀριθμοὶ ἐπίπεδοι et des ἀριθμοὶ στερεοί remonte bien au-delà d'Euclide où de Théon de Smyrne et qu'il en faudrait peut-être rapporter l’origine aux pythagoriciens eux-mêmes.