IÏOB3F.S. Logic, chap. m, § 8-9. Physic, chap. xxv, § i

école, c'est : 1° la nature artificielle des définitions, des principes et des postulats de la science, qui ne sont, disent-ils, que des conventions; '2° le caractère purement approximatif et provisoire de toutes les vérités ou lois scientifiques ; 3° la commodité prise pour critérium des meilleures conventions et pour substitut de la vérité. Ces trois prétendues nouveautés de la philosophie des sciences sontelles bien établies? C'est ce que nous devons voir.

Mach, à la suite de Spencer et des Anglais, comme aussi de Nietzsche, voit dans toute science un effort d'adaptation au réel continuant l'effort de l'organisme et de la connaissance vulgaire ; et cet effort consiste à découper dans l'ensemble des sensations celles qui sont utiles pour. la vie. Cette théorie darwinienne et spencérienne a eu un grand succès, dû précisément à son caractère exclusif et systématique, à ce quelle offre elle-même de « découpé » à Pemporte-pièce et d'artificiel. Nous avons déjà eu plusieurs fois, dans ce livre, l'occasion d'en faire voir l'inexactitude; mais elle a joué un si grand rôle dans la nouvelle philosophie des sciences que nous sommes obligé d'y revenir.

ïl n'est pas vrai que le rôle de l'intelligence soi! de morceler la réalité pour la rendre utilisable. Ce n'est nullement mon intelligence qui morcelle l'eau en hydrogène et en oxygène, ni qui donne son poids et sa forme à l'atome d'hydrogène, ni qui fixe les espèces chimiques ; et ce n'est pas non plus pour utiliser ces espèces si parfaitement déterminées indépendamment de mon utilité que j'en découvre les propriétés objectives, soumises aux lois du poids, du nombre et de la mesure. Ce n?est pas non plus pour mon utilité que je découpe la vie en espèces animales telles que le tigre ou le

LA NOUVELLE PHILOSOPHIE DES SCIENCES y. .>. >

serpent. Ces découpages se font sans moi et, parfois, contre moi. La science n'est pas une discontinuité artificielle au sein de la nature continue. Voici, dans un bocal, de la soude et, dans un autre, de l'acide sulfurique. Malgré la continuité de l'univers, les deux substances n'agissent pas l'une sur l'autre d'une manière chimique; si, au contraire, je les mêle, il se produit du sulfate4 de soude. Dira-t-on que les concepts d'acide sulfurique, de soude et de sulfate de soude sont découpés artificiellement dans le grand Tout par une abstraction volontaire? Nous aurons beau vouloir que l'acide sulfurique et le sodium donnent du chlorure de potassium, ne comptons pas sur nos volontés pour modifier d'un iota le livre de la nature.

D'après ce qui précède, il est inexact que les notions et définitions des sciences soient, comme le disent les nominalistes avec M. Le Roy, des décrets de l'intelligence, auxquels on aurait pu substituer les décrets contraires. En quoi la définition du cercle est-elle un concept arbitraire ? Outre que ['apparence du cercle est partout dans la nature, depuis le soleil et la lune jusqu'à la corolle de maintes fleurs, il est logique et nécessaire, quand on analyse les propriétés de rétendue, de concevoir un centre et des points également distants de ce centre. 11 n'y a non plus aucun décréta concevoir la ligne droite : tout animal suit cette ligne pour aller où il veut aller ; toute pensée conçoit une ligne assez simple pour être déterminée par deux points seulement dans toute son étendue. L'abstraction qui dégage l'idée de ligne droite est une opération offrant un caractère de nécessité psychologique en même temps que de nécessité logique ; la volonté n'y est absolument pour rien.

Aussi ne saurions-nous voir dans les mathématiques, malgré l'autorité de M. Boutroux, des « intuitions que l'esprit crée librement ». Nous comprenons mal comment on peut créer une intuition et encore moins la créer librement. Même lorsque l'enfant s'amuse à tracer des figures de toutes sortes sur le sable, il obéit inconsciemment à des lois de combinaison qui n'ont rien de commun avec la liberté. L'enfant n'est libre de tracer ces figures que comme il est libre de mouvoir son bras à droite ou à gauche, c'est-à-dire que l'enfant est déterminé par les lois des combinaisons géométriques comme il est déterminé par les lois des mouvements de la main. Aussi tous les enfants arrivent-ils nécessairement à tracer les mêmes figures, les mêmes cercles, les mêmes carrés, les mêmes triangles.

— On ne peut plus soutenir, objecte-t-on, qu'il n'y a d'une notion mathématique qu'une seule définition satisfaisante, dont toutes les autres ne seraient que des expressions diverses ou des conséquences partielles; par exemple, il y a plusieurs définitions de l'ellipse logiquement acceptables. — Logiquement, peut-être, en ce sens qu'on peut les employer toutes, à leur vraie place, dans les déductions; mais, parmi ces diverses définitions, il y en a toujours une qui est la meilleure, la raison première de toutes les autres, la vraie génératrice des propriétés de l'ellipse, le vrai principe des déductions bien ordonnées concernant cette courbe.

— Pourtant, réplique-t-on, la définition d'une figure géométrique consiste dans l'énoncé d'une propriété caractéristique de cette figure; or, on peut choisir entre plusieurs propriétés de ce genre. — Non ; il ne suffit pas, pour la vraie définition, d'une

propriété caractéristique; il faut énoncer les propriétés essentielles et premières, d'où dérivent toutes les autres selon Tordre le meilleur et le mieux gradué. A ce titre, la vraie définition de l'ellipse, croyons-nous, est celle qui la définit comme le lieu des points tels que la somme de leurs distances à deux points intérieurs et fixes est constante. Nous ne nions pas que, peu après, on remplace cette définition par d'autres, au moyen du foyer et du cercle directeur, ou du foyer et de la directrice correspondante. Mais qui ne voit que ce sont là des conséquences à établir par théorèmes, et que ces théorèmes, qui d'ailleurs n'ont rien d'arbitraire et de « choisi », portent sur certaines relations extérieures de l'ellipse ? Dans la géométrie descriptive, l'ellipse se définit comme la projection orthogonale du cercle; mais c'est encore là une caractérisation dérivée, non primitive. A vrai dire, ce n'est pas une définition, c'est un théorème. Pareillement, si on part de la géométrie analytique, l'ellipse se définira (nécessairement et non arbitrairement) comme la courbe du second degré qui est fermée; nous voilà encore à coté de l'objet, non au cœur même. Il est clair que, par leurs progrès, les mathématiques enrichissent sans cesse les concepts que Platon et Euclide pouvaient se faire de l'ellipse ou de la circonférence; mais l'idée-mère, l'idée qui définit l'objet par le dedans, par les liaisons internes de ses éléments, est restée et restera toujours identique. Aucun décret, aucune convention, aucun artifice n'empêcheront jamais, dans le cercle, les layons d'être égaux, dans l'ellipse, la somme des distances aux foyers d'être constante. On n'ira pas plus chercher les projections pour définir primitivement une courbe et en donner l'idée essentielle.

Fouillée. 15

qu'on n'ira chercher, pour définir l'homme, l'oml qu'il projette sur le sol.

L'implication mutuelle et nécessaire des vérités. en mathématiques, fait qu'on peut suivre désordres divers, mais toujours rationnel tem/enl déterminés, dans les définitions et les démonstrations ; elle fait qu'on peut, parfois, prendre les conséquences pour principes et les principes pour conséquences. Ce n'est pas une raison pour croire qu'il y ait là un réel arbitraire. Si S -+- 8 =16, on en peut déduire par régression que 1 -f- 1 .= 2; mais c'est cette seconde vérité qui est la raison de la première et en fonde la nécessité. Selon nous, dans les sciences exactes, pas une seule définition, pas une seule démonstration n'est arbitraire : tout y est motivé par les redations nécessaires sous lesquelles on est amené logiquement à considérer l'objet'.

En géométrie, les postulats comme les définitions s'imposent à nous en vertu même de notre constitution mentale, corrélative à la constitution des objets étendus et de l'espace. Au lieu de dire : « Je demande que », Euclide aurait dû dire : « J'exige ». ou plutôt, lanaturede la représentation de l'espace exige nécessairement que nous puissions tracer des lignes droites, combiner 1rs droites en figures, transporter ces figures sans altération d'un pointa l'autre dans l'espace vide ethomogène. Gomme nous lavons lait voir en un précédent chapitre, ce sont là dos

' Autre exemple Ou dit que, selon les théories a démontrer, il est wl libitum de définir la bissectrice, tautôt comme la droite qui divise uu angle en deux parties rurales, tantôt comme la droite qui fait avec l'un des côtes un angle égal à la moitié de l'angle total. Mais la vraie définition,

déductions de l'idée d'espace. De même, dans le seul espace que nous puissions nous représenter, l'espace homogène cl isotrope, les figures semblables sont nécessaires et l'oblique doit rencontrer In parallèle. Ce qui est conventionnel, dans une certaine mesure, ce sont les géométries imaginées en dehors de ces postulats. Encore ne sont-elles pas vraiment factices, sans quoi on les laisserait dormir dans les bibliothèques sons la rubrique : fantaisies de géomètres. Chercher ce qui arriverait si l'indémontrable postulat d'Euclide était taux, voilà une idéelogique, quoique née tard, et les conséquences qu'on a tirées de l'hypothèse anti-euclidienne n'ont rien d'arbitraire une Fois l'hypothèse admise. Elles sVnehainenl conformément à la logique des relations ; elles ont une nécessite'' <|ifi réduit la part dr prétendue liberté c'est-à-dire, an fond, d'imagination combinatrice) à des limites très étroites: une hypothèse initiale et certains signes convenables pour ['exprimer. L'hypothèse même dont on part iTest pas arbitraire ; les signes seuls le sont, et ils le sont jusqu'à un certain point seulement. Un songe géométrique serait encore un songe bien lié; en conclure que tonte géométrie est fictive, c'est, sous prétexte qu'il va des états de sommeil, déclarer imaginaire la vie éveillée.

Les diverses géométries élaborées à Laide de postulats divers sont des systèmes à la t'ois hypothétiques et déductifs : chacun de ces systèmes est un ensemble de propositions qui se déduisent logiquement d'un certain nombre d'hypothèses logique-

contenue dans le mot même de bissectrice, est la première; la seconde n'est qu'une conséquence immédiate: et si. dans cer'ains théorèmes, cette conséquence devient un principe plus logiquement conforme ;t ia conclusion qu'il est nécessaire d'établir, il n'y a en touteela «pie des considérations de logique, non de choix arbitraire ou de convention,

nient conçues et déduites de la nature même des notions. Mais c'est un paralogisme où tombent la plupart des géomètres, de prétendre que ces hypothèses expriment des propriétés de l'espace, tout au moins d'un certain espace possible. Des systèmes analytiques et déductifs ont beau être bien ordonnés, ils ne sont pas pour cela des systèmes de propriétés spatiales réelles ou possibles; ce sont seulement des séries de raisonnements sur des suppositions algébriques qui, quoique motivées algébriquement, peuvent fort bien correspondre à des impossibilités réelles dans l'espace.

On dit que le choix entre ces divers systèmes analytiques est déterminé par Y expérience. Nouveau paralogisme. Notre expérience ne suffirait nullement à nous faire opérer ce choix, car elle pourrait ellemême, à la rigueur, se couler dans chacun des systèmes proposés. Par exemple, si les trois angles d'un triangle ne valaient pas deux droits, nous ne pourrions nous apercevoir d'erreurs qui tomberaient au-dessous de l'observation et de l'expérience. Il est naïf de compter sur les distances mêmes de la terre aux étoiles pour vérifier si, dans de grands triangles, la somme des angles ne va pas se mettre à changer.

Après avoir vainement invoqué l'expérience comme raison de choix, on invoque la simplicité : on dit que la géométrie euclidienne n'a été choisir que parce qu'elle est moins compliquée. Mais la vraie raison de notre choix n'est pas là ; elle est dans ce fait que nous n'avons réellement pas le « choix ». Nous ne possédons, en effet, la représentation que d'un seul espace, celui qui a trois dimensions el est homogène, isotrope, sans courbure, etc. ; tout le reste est un ensemble de relations que nous

LA NOUVELLE PHILOSOPHIE I>KS SCIENCES '^t.\)

décorons fictivement du nom d'espace, par une analogie sujette à caution. Ces prétendus espaces n'ont de l'espace que le nom ; ce sont des fictions mathématiques par lesquelles nous projetons les ombres de l'étendue réelle dans un monde imaginaire de symboles ; ce sont des hypothèses algébriques qui peuvent avoir leurs conséquences exactes, comme les quantités négatives, mais qui n'onl aucune valeur comme expression de la réalité. On pourrait aussi supposer un temps où il y aurait n présents, // passés, n futurs, et déduire logiquement des conséquences de ces hypothèses sans objet réel.

La proposition relative à la rencontre de l'oblique et de la perpendiculaire n'est ni un axiome, ni un pur postulat sans motif, encore bien moins une convention arbitraire ; c'est la conclusion d'un raisonnement qui, sans doute, n'est fondé ni sur le principe de contradiction, ni sur la superposition, qui, en conséquence, n'est pas le raisonnement géométrique ordinaire, mais qui n'en est pas moins une véritable induction, réductible elle-même à une déduction plus ou moins conditionnelle : Si toutes les conditions restent les mêmes, la même conséquence aura lieu. Etant donnée une oblique infinie qui coupe une perpendiculaire, je puis la faire mouvoir autour de son pied comme centre ; chacune de ses positions constituera une nouvelle oblique qui coupera la perpendiculaire en un point de plus en plus éloigné du pied de cette perpendiculaire à mesure que l'angle du pied de l'oblique s'agrandira et se rapprochera de l'angle droit. Vax d'autres termes, le point où une oblique coupe une perpendiculaire est fonction de la grandeur croissante de l'angle au pied de l'oblique. Toutes les

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conditions restant les mêmes, je ne vois aucune raison suffisante de supposer qu'en un point, plutôt qu'en un autre. L'oblique pourrait cesser de couper la perpendiculaire*

— Il peut y avoir une raison, direz-vous. — Alors, trouvez-la : c'est à vous qu'incombe la preuve. En attendant cette preuve, j'ai toutes les raisons de dire, par induction, analogie et symétrie, que les obliques coupent les perpendiculaires, tant que l'angle à leur pied n'est pas droit, et j'attends que vous me donniez une raison de croire le contraire. Si donc je le suppose, c'est gratuitement*: par jeu de concepts, pour voir les conséquences qui s'en déduiraient. Mais il est clair que la géométrie euclidienne et les autres géométries ne sont pas, comme le soutient M. Poincaré, sur le même pied l'une que l'autre. Tout est raisonné et motivé dans les postulats comme dans le reste. quoique le raisonnement puisse ne pas être géométriquement apodictique selon les méthodes ordinaires.

De même, si j'admets que, par deux points, on ne peut faire passer qu'une droite, c'est en faisant varier par la pensée la ligne intermédiaire de manière à la courber ou à la briser ; je conçois alors que les courbures ou brisures, en diminuant, se rapprochent d'une limite qui est une ligne que deux de ses points suffisent à déterminer. Riemaun suppose que plusieurs droites peuvent passe]' par deux points ; c'est là une hypothèse absolument gratuite et sans aucune raison assignai) le, tandis que la thèse contraire enveloppe en elle-même ses raisons. Donc, dire qu'il est tout aussi conventionnel d'admettre une seule ligne droite passant par deux points que d'en admettre une infinité, c'est ne te-

LA NOUVELLE PHILOSOPHIE 1>KS SCIENCES >>r

ni r compte d'aucune raison autre que la non-contradictiûn ; c'est assimiler ce qui est sans aucun motif à ce < | ni à des motifs, ces motifs ne fussentils pas une démonstration more geometrico.

— H n'en reste pas moins vrai, répond-on, que diverses géométries, exemptes de toute contradiction logique, peuvent être obtenues en partant de divers systèmes de définitions et postulats. — Seins doute. C'est le contraire qui serait étonnant, puisque de principes donnés, vrais ou faux, on peut toujours déduire des conséquences logiquement liées et sans contradiction. Mais l'accord logique des conséquences entre elles et avec les principes ne prouve absolument rien sur la vérité de ces principes eux-mêmes. Là gît le paralogisme. Si je suppose qu'il n'existe que des nombres pairs et si je supprime gratuitement tous les nombres impairs, je puis faire une arithmétique des nombres pairs. Si même, dans un tout autre ordre d'idées, je suppose que le Diable est à la place de Dieu, je puis en tirer des conséquences sur la manière dont le monde sera gouverné et sur la morale plus ou moins byronienne ou nietzschéenne qui s'ensuivra ; je puis faire une théologie satanique, qui ne serait pas sans beaucoup de points communs avec la théologie actuelle : l'enfer y jouerait un grand rôle. Pour revenir aux postulats des géométries « conventionnelles)), comme ces postulats doivent offrir un sens quelconque, et même un sens géométrique, donc relatif à nos idées d'espace, de dimensions dans l'espace, d'ordre dans l'espace, etc. ; les déductions des néo-géomètres, fussent-elles au fond contraires au réel, contiendront cependant des rapports plus ou moins subtils et en partie vrais avec la seule géométrie qui soit conforme à la constitution de notre

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intelligence et à celle des choses données. On pourra même, an moyen de géométries fausses, faire des découvertes relativement à la géométrie vraie; on pourra, an moyen d'hypothèses paradoxales, trouver des systèmes de relations vraies qui n'auront plus un caractère paradoxal. Tout cela ne prouvera encore rien sur la valeur objective des postulats adoptés au début. Un système d'économie politique où Ton supposerait éliminés certains éléments de la réalité actuelle, — par exemple les sentiments altruistes qui contrebalancent en partie les sentiments d'intérêt égoïste, surtout d'intérêt pécuniaire, — un tel système pourrait se développe r en conséquences de toutes sortes et même en conséquences partiellement susceptibles de formules mathématiques. « Qu'arriverait-il si?..-. » Rien n'empêche de faire des si. L'école de Manchester en a fait et les a trop souvent pris pour des réalités. Cela peut être utile pour dégager, par abstraction et combinaison imaginative, des rapports intéressants, curieux, vrais en tant que rapports. par cela même suggestifs à l'égard de la réalité. Si certains néo-géomètres étaient aussi habiles logiciens qu'ils sont habiles algébristes, ils ne se flatteraient pas d'avoir établi des possibilités, encore moins des réalités, par leurs hypothèses el leurs déductions en l'air, qui sont des danses légères sur la corde mathématique. En rejetant le principe de continuité ou axiome d'Archimède, on a construit des géométries de rêve, dans lesquelles, si on prend à partir d'un point d'une droite une succession de segments égaux, il n'est pas possible d'atteindre un point- déterminé de la droite, quelque grand que soit le nombre de ces segments. V Achille est dépassé. Croirez-vous

pour cela que, en ajoutant sans cesse un mètre à un mètre à partir de Versailles, vous n'atteindrez jamais Paris?

(Test l'homogénéité, la simplicité essentielle, l'unicité de la ligne droite, c'est l'homogénéité du plan, celle de l'espace tout entier, qui entraînent la vérité de la proposition relative aux parallèles et aux ligures semblables; or, cette homogénéité est inhérente à la seule représentation positive que nous ayons de l'espace, quand nous le vidons de toute matière capable d'en différencier les parties, sans aucune hypothèse altérant cette notion pure d'espace vide (comme l'hypothèse d'un espace curviligne). Le mot même d'homogénéité est une métaphore d'ordre physique transférée à ce qui n'offre qu'une identité de relations. S'imaginer un espace qui change de nature à mesure que l'on se promène dedans par la pensée, c'est, encore un coup, concevoir un espace contenant autre chose que de l'espace, ce qui est un paralogisme contraire à l'idée dont on part. Les espaces autres que notre espace sont aussi inconcevables, aussi noumènes, qu'un temps autre que notre temps. On peut, on doit faire méthodiquement toutes les suppositions algébriques possibles, mais non pas mettre les fictions sur le pied des réalités ou des réelles possibilités, ni déclarer tout également conventionnel.

Les partisans d'espaces imaginaires confondent les dimensions réelles de l'espace avec certains éléments variables dont notre représentation concrète de l'étendue est fonction. Quelques géomètres ont appelé ces éléments variables des déterminants. Toute dimension est bien un déterminant ; mais on n'a pas le droit d'en conclure : tout déterminant est une dimension. M. Poincaré, dans la

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Science et l'hypothèse, identiiie pourtant les deux concepts. Il dit qif à proprement parler, notre espace musculaire a autant de « dimensions » que nous avons de muscles. En ce cas, lui a-t-on répondu, l'espace aurait un nombre de « dimensions » variable pour l'homme normal et pour le manchot, pour Celui qui marche et pour celui (fui touche du doigt! » (Test là une extension illégitime du mot dimension. Un son a parmi ses déterminants la hauteur, L'intensité ; vous pourrez les appeler des « dimensions » et supposer que le son en a encore d'autres inconnues1. On pourrait prétendre aussi que la couleur a pour dimensions sa longueur d'onde, son intensité, etc. Concluez donc à des hypercouleurs et à des hyper sons ayant i , .')... // déterminations ou dimensions inconnues qui s'ajouteront aux précédentes. De ce que le nombre peut symboliser l'espace, il ne s'ensuit nullement que tout ce qui est vrai du nombre soit applicable à un élément réel de l'espace, à une détermination réelle, à une dimension réelle. La fonction de // variables dont parlent les partisans de Thyperespace n'est qu'un « cadre logique » qui n'est pas plus espace qu'autre chose". On a excellemment remarqué que l'espace se distingue des « déterminants sensibles » dont nous parlions tout à l'heure (comme la hauteur et l'intensité d'un son), en ce que les dimensions spatiales jouissent toutes les trois des mêmes propriétés, sont interchangeables, peuvent être multipliées l'une par l'autre, etc.3 — Gela reyientàdire, selon nous, que

1. Les philosophes américains, qui aiment souvent à jouer avec les mots. appellent la qualité, la quantité, la relation, etc., des dissections de la réalité.